Scienza delle costruzioni 2 Esercizi

TEOREMA DEI LAVORI VIRTUALI

Consideriamo una trave ad asse rettilineo: definiamo sistema carichi sollecitazioni _CS l'insieme di tutte le grandezze di tipo statico mentre definiamo sistema spostamenti deformazioni _SD l'insieme di tutte le grandezze di tipo cinematica.

_CS = {Φ_i, Φ_q*, c*, μ_t, ρΦ_i, Q_i, C_k, M_E, N_I*, M*, [M_E]}_SD = {W, V_t, V_R, Φ, E, δ, k}

• L'insieme _CS racchiude tutte le funzioni che descrivono forze esterne ed interne ossia carichi distribuiti e concentrati e caratteristiche delle sollecitazioni; è possibile distinguere il sottoinsieme dei sistemi equilibrati ossia quelli che soddisfano gli assiomi di Eulero ovvero corrispondenti alle equazioni indeterminate di equilibrio: dN_t/ds + ρΦ^t + dT/ds - q + dM_E/ds + c dP_E/ds = m_E*.
• L'insieme _SD racchiude tutte le funzioni regolari che descrivano gli spostamenti e le deformazioni della trave. È possibile individuare in questo insieme il sottoinsieme formato dai sistemi congruenti ossia i sistemi che soddisfano le equazioni di congruenza ovvero E, dW/ds - dV_t/ds, K=dV_M/ds².

Il teorema dice che considerate due sistemi SD & CS, il primo congruente ed il secondo equilibrato, il lavoro virtuale esterno compiuto dalle forze del CS per gli spostamenti del SD.

Teorema dei Lavori Virtuali

Consideriamo una trave ad asse rettilineo: definiamo sistema carichi sollecitazioni CS l'insieme di tutte le grandezze di tipo statico, mentre definiamo sistema spostamenti deformazioni SD l'insieme di tutte le grandezze di tipo cinematico.

CS = {_{p q^* c^*} mut^* P_i Q_i C_k M^* N^* I^* M^* M_f^*}

SD = {_w V_t V_h ∅ _ε ∂ _k } 

• L'insieme CS racchiude tutte le funzioni che descrivono forze esterne ed interne, ossia carichi distribuiti e concentrati e caratteristiche delle sollecitazioni; è possibile distinguere il sottoinsieme dei sistemi equilibrati ossia quelli che soddisfano gli assiomi di Eulero averso corrispondenti alle equazioni indefinite di equilibrio:

dN_t + p_t dI_t - q_t dI_v^* - q_t^* dM^* - c^*

dM_f = - m^*

• L'insieme SD racchiude tutte le funzioni regolari, che descrivano gli spostamenti e le deformazioni della trave.

E possibile individuare in questo insieme il sottoinsieme formato dai sistemi congruenti ossia i sistemi che soddisfano le equazioni di congruenza ovvero:

E = dW_r d = dV_T K =

dF² / dS

Il Teorema dice che considerati due sistemi SD e CS, il primo congruente ed il secondo equilibrato, il lavoro virtuale esterno compiuto dai carichi delle CS per gli spostamenti dell’SD.

. due sistemi generalmente non sono correlati ossia gli spostamenti e le deformazioni dell'SD non sono prodotte dai carichi e dalle sollecitazioni del CS;

. il fenomeno è valido qualunque sia il modello costitutivo che caratterizza le masse;

. se la prove è rigida le deformazioni sono infitessimali e i simboli Lv+i=0 in questo caso avviene la formulazione del teorema secondo la quale per un corpo rigido in equilibrio il lavoro compiuto dalle forze esterne è nullo per qualunque campo di spostamenti virtuali rigidi;

. se per CS è valida l'equazione dei lavori virtuali Lv+i per ogni SD congruente ciò implica che il CS è equilibrato e viceversa se per un sistema SD è valida l'equazione dei lavori virtuali per ogni CS equilibrato allora il sistema SD è congruente.

Per una travo linearmente elastica

La soluzione del problema di equilibrio elastico è definita dalle grandezze di spostamento {w VT VH δ} di deformazione {ε s k }⊆

di sollecitazione {N T M}s che soddisfano le equazioni costitutive ε = N+K a d, ζ = k = H + x t t , β = Htt o - q

d'equilibrio dN dS = 0+, dT dS = 0+; dH dS = 0+ +

e di congruenza ε = dw dS ζ = dVr dS k = ö dVt dS β = d∂ dS

L'insieme delle grandezze di spostamento e di deformazione ne costituiscono un sistema SS congruente per il quale può applicarsi il teorema dei lavori virtuali.

Grazie alle equazioni costitutive possiamo scrivere il lavoro virtuale interno con la seguente espressione:

ESEMPIO 1

Vogliamo determinare l'abbassamento e la rotazione della sezione B per la trave elastica sfruttando il teorema dei lavori virtuali. Come sistema SD viene preso quello della trave stessa, se queste funzioni sono soluzione del problema di equilibrio della trave, il sistema SD è sicuramente congruente.