Scienza delle costruzioni 2 Esercizi

Teorema dei Lavori Virtuali

Consideriamo una trave ad asse rettilineo; definiamo sistema carichi sollecitazioni CS l'insieme di tutte le grandezze di tipo statico mentre definiamo sistema spostamenti o deformazioni SD l'insieme di tutte le grandezze di tipo cinematico.

• Congruenza: CS = {pⁱ q_c c* n^t p_i* Qⁱ C_k* M¹ N¹* T^* M_i* ∑}
• Sistema dislocamenti: SD = {W V_t V_R ϑ E δ k ∑}

L'insieme CS racchiude tutte le funzioni che descrivono forze esterne ed interne ossia carichi distribuiti e concentrati e caratteristiche delle sollecitazioni; è possibile distinguere il sottoinsieme dei sistemi equilibrati ossia quelli che soddisfano gli assiomi di Eulero ovvero corrispondenti alle equazioni indefinite di equilibrio: dN/ds + ρ ^t + dT/ds - q = dM + T ^* * c^*. dR/ds - m^*

• L'insieme SD racchiude tutte le funzioni regolari che descrivono gli spostamenti o le deformazioni della trave. È possibile individuare in questo insieme il sottoinsieme formato dei sistemi congruenti ossia i sistemi che soddisfano le equazioni di congruenza ovvero: ∑ dW/ds, ∑ dV/ds, k = dWH/ds²

Il teorema dice che considerati gli i sistemi SD e CS, il primo equilibrato e il secondo congruente, il lavoro virtuale esterno compiuto dalle forze di CS per gli spostamenti del SD è nullo.

due sistemi generalmente non sono correlati ossia gli spostame-

nti e le deformazioni del SD non sono prodotti esterni:

chi e e dalle sollecitazioni del CS;

il concetto è valido qualunque sia il modello costitutivo che

caratterizza la nave;

se la nave è rigida le deformazioni sono identicamente null-

le e quindi X ; in questo caso avremo la formulazi-

zione del teorema secondo la quale per un corpo rigido

in equilibrio il lavoro compiuto dalle forze esterne è nullo

per qualunque campo di spostamenti virtuali rigidI;

se per CS è valida l’equazione dei lavori virtuali X ;

per ogni SD congruente cio implicia che il CS e equilibrato

e viceversa se per un sistema SD è valida l’equazione dei

lavori virtuali per ogni CS equilibrato allora il sistema SD

e congruente

Per una nave linearmente elastica: la soluzione del proble-

ma di equilibrio elastica è definita dalle grandezze di

spostamento _{UW VT VH} di deformazione _{E V k X} e

di sollecitazione _{N T M} che soddisfano le equazioni

costitutive e = = EA ; = _GA = EJ = -

di equilibrio ^{dN +} = ^{T + dT +} = ^{M - G} G ( ^{dM + M +} = - int

e di congruenza = ^dv x J x A:

L’insieme delle grandezze di spostamento e di deformazio-

ne costituiscono un sistema SD congruente, per il quali

puo applicarsi il teorema dei lavori virtuali :

CS

{

N* = 0

T* = ¹⁄₂ -> S ∈ (0, L⁄2)

M* = L⁄2

{

N* = 0

T* = -¹⁄₂ -> S ∈ (L⁄2, L)

M* = ¹⁄₂ (L-S)

>λ = L⁄2

LV = ¹⁄₂ V(M) = ¹⁄₂ V(xA) = ¹⁄₂ V(1B) = ¹⁄₂ V(M) = ¹⁄₂ S

LV = λ ^Nλ⁄E + α₀ + ... [+ ^TIα⁄GA + ^{M*α (1+h})⁄C λ] dS =

= 0

|^L⁄₂ 1

| 0 S ∈ α 2Δt ⁄ H dS + |¹⁄₂ 1 (L-S)

= ...

= α 2Δt ⁄ H ... [ (L²⁄16 + 1⁄4 )+ (L-S)² ... = α 2Δt L²⁄4H = = =

= -αΔt . L²⁄4H

=^2L²⁄₈

> => LV = LV = V(M) - S ⁄ 2 = αΔt . L²⁄4H => V(M) = αΔt . L²⁄4H ⁄5

Esercizio 2

Vogliamo calcolare la rotazione in A

Sd

• N = 0
• T = ^{m m}/_L
• H = -(^{m m s}/_L)

C. S.

• N* = 0
• T* = ^A/_L
• M* = -(^{(1 - s) A}/₂)

L_v = 1 ∕ γ(A) + 1 ∕ L γ(A) - 1 ∕ L γ(B)

L_v^A = ∫₀^L [^N/_EA α(t_o) + T* x + M* γ (1 + α t_o) / EJ] ds =

= ∫₀^L [¹/_LGA m m x + (1 / L) (T* s) (m m/EJ - m m s/EJ L)] ds =

= [^{m m x s}/_LGA] ₀^L + ^{m m s}/_EJ L ₀^L - ^{m m s2}/_2EJ L ^L + ^{m m s3}/_{3EJ L} ²

= ^{m m x}/_LGA - [^{m m L}/_EJ - ^{m m L2}/_2EJ + ^{m m L3}/_3EJ] =

= ^{m m x}/_LGA - [^{m m L}/_3EJ] =

= L_v^e = L_vⁱ = D

φ(A) = ^{m m L}/_3EJ - ^{m m x}/_LGA

bisogna vincolare la struttura iperstatica in modo opportu

no per ottenere lo schema isostatico su cui imporre le condi

zioni di congruenza; in generale lo svincolamento può av

venire in modi diversi, debordare ai

vincoli interni sia quelli esterni L’ordine deporrare

o sopprimere quelli esterni o interrompere la continuità nella

la struttura interamente corrente eventualmente nei punti di

confluenza delle travi e nodi di incastro, facendo attenzione a

non introdurre labilita

Consideriamo il seguente esempio:

Dettiniamo un sistema isostatico detto principale (SP)

Il sistema presenta n soluzioni

di cui sola 1. è compatibile

con il sistema archiviario e

per il quale é soddisfatto la

equazione di congruenza g(X,q,Δt)=0

Esercizio 1

gola 3:1 - 3:4 = 1 - Struttura isostatica parabolica

SP ≡ SD

-V_B L + M + X = 0 => V_B = M - X / L =>

V_B = X / L - M / L

Lo nostra equazione di congruenza sarà φ_A(X,M) = 0. Applichiamo il PLV per calcolare φ_A

LV = ∫^L₀ φ(A) ¹/_L V(A) + ¹/_L V(B) = 1. φ(A) = 1

LV = ∫^L₀ (N* / G_A + (T*) x_t) o ds =

= ∫^L₀ [(1 / L) - (X / L - M / L) X / C_A + (1 + 1 / L )

- X( - X + M / L )] 1 / E_J ds

= ∫^L₀ [ 1 / L ( X / L - M / L ) ] ds + 1 / E_J ∫^L₀ [ 1 - 1 / L ]

[ X ( 1 - 1 / L ) S ] ds =

= X / G_A [ X - M ] (1 - 1 / S)² / E_J ds =

L

E

A

x

Quando

Quando

N

T

M

Consideriamo il primo e applichiamo il PLV alla copia

SB + CS₁

{ N = 0 Γ = X M = γ - X (L - S) }

{ N* = 0 Γ* = 1 M* = -1 (L - S) }

L_V^e = 1: V(β) = 1: S₀∫

L_Vⁱ = 1: S₀∫{ [ N_c* ( N^. N + α₀t₀ ) + Γ* ( I x G_A ) + M* ( M + α(t) ) ] ds }

= S₀∫ { ( X G_A ) ds + S₀∫ 1 (L - S) ( γ - x (L - S) ) 1_ϵJ ds }=

= X L x G_A + S₀∫ [ -γ (L - S) + x (L - S)² ] 1 _ϵJ ds =

= X L x G_A - γL² 2ϵ_J + xL³ 3ϵ_J

L_V^e = L_Vⁱ => S = X L x G_A - γL² 2ϵ_J + xL³ 3ϵ_J

Consideriamo il secondo e applichiamo il PLV alla coppia

SD + CS₂

{ N = 0 Γ = x M = γ - X (L - S) }

{ N* = 0 Γ* = 0 M* = 1 }

L_V^e = 1: φ(β) = φ(β)

L_Vⁱ = S [ N_c* ( N^. + Γ_o ) + Γ* ( I x G_A ) + M* ( M + α(t) ) ] ds =

S₀∫ [ γ - x (L - S) ] ds = L_V ϵ_J - xL³ 2ϵ_J