Risposte alle domande esame

RISPOSTE ALLE DOMANDE

1) Si dice che la funzione f(x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0, sia

x0 un punto di accumulazione e si scrive: lim x->0 di f(x)=l. Quando comunque si

Ɛ

scelga un numero reale positivo , si può determinare un intorno completo I(i) di x0

Ɛ

tale che risulti |f(x) – l|< .

2) Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo : lim x->0+ di f(x)=l.

La definizione di limite destro è analoga a quella di limite con la sola differenza che

Ɛ

la disuguaglianza |f(x) – l|< deve essere verificata per ogni x appartenente a un

intorno destro di x0 ossia un intorno del tipo ]x0; x0+δ[. Il limite sinistro di una

funzione viene indicato con il simbolo: lim x->0- di f(x)=l. la definizione di limite

sinistro è analoga a quella di limite con la sola differenza che la disuguaglianza |f(x) –

Ɛ

l|< deve essere verificata per ogni x appartenente a un intorno sinistro di x0 ossia a

un intorno del tipo ]x0-δ;x0[.

3) Si dice che una funzione f(X) ha per limite il numero reale l per x che tende verso

+ ∞ e si scrive: lim x->+∞ di f(x)=l. Quando comunque si scelga un numero reale

Ɛ Ɛ

positivo si può determinare un intorno completo I(i) di + ∞ tale che |f(x)-l|< .

4) Si dice che la funzione f(x) ha per limite infinito per x che tende a x0, sia x0 un

punto di accumulazione e si scrive lim x->x0 di f(x)= ∞. Quando comunque si scelga

Ɛ

un numero reale positivo si può determinare un intorno completo I(i) di + ∞ tale

Ɛ

che |f(x)-l|> .

5) Se esiste lim x->x0 f(x) finito o infinito esso è unico.

6) Siano f(x), g(x), h(x) tre funzioni appartenenti allo stesso dominio |R e sia x0 un

punto di accumulazione per A. Se f(x)<=g(x)<=h(x) per ogni x€A e: lim x->0 di

f(x)=lim x->0 di h(x)=l(è una L) €|R allora: lim x->0 di g(x)=l.

7) Il limite di una successione è il valore a cui tendono i termini di una successione.

Se tale limite esiste la successione è convergente. Il dominio di una successione è

l’insieme di tutti i numeri naturali e la variabile indipendente n tende solo a +∞.

8) Una funzione è continua in x0 se: - è definita in x0, cioè esiste f(x0); - esiste ed

è finito lim x->0 di f(x); - il valore del limite è uguale a f(x0).

9) Sia f:[a;b]->|R continua, allora: - f assume massimo assoluto M e minimo

assoluto m in [a;b]; - f assume tutti i valori compresi tra M e m.

10) ) Sia f:[a;b]->|R continua, allora: se f(a)f(b)<0 esiste c € (a;b) tale che f(c)=0.

11) Data la funzione f(x) A->B biunivoca si chiama funzione inversa la f(x) alla -1

(scriverlo in potenza) B->A.

12) Data la funzione f(x) è derivabile in un intervallo A se e solo se è derivabile in

ogni punto dell’intervallo stesso.

14) Sia f continua in un intervallo e quindi invertibile. Se f è derivabile in x0 con

f’(X0)≠0 allora f alla -1 (scriverlo in potenza) è derivabile in y0=f(x0) e (f alla -1)alla

1 y=y0= 1/f’(x0) dove x0=f alla -1(y0).

15) Sia f:[a,b]->|R ed x0€(a,b) un punto di massimo o minimo relativo (o assoluto).

Se f è derivabile in x0 allora f’(x0)=0. DIMOSTRAZIONE= è sufficiente ragionare

sui punti di massimo relativo. Se dunque x0≠a,b un punto di massimo relativo allora

esiste δ>0 tale che f(x)<=f(x0)per ogni x€(x0-δ)(x0+δ) (a,b). Ne segue che:

V(qualunque)x>x0

f(x)-f(x0)/x-x0<=0 V(qualunque)x<x0 f(x)-f(x0)/x-x0>=0.

16) Sia f:[a,b]->|R continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Se f(a)=f(b) esiste c€(a,b)

tale che f’c=0. DIMOSTRAZIONE= poiché f è continua nell’intervallo [a,b], per il

teorema di Weistrass essa ha massimo (M) e minimo (m). Se M=m allora f è costante

in [a,b] e la derivata della funzione costante è nulla. Se M>m poichè f(a)=f(b) almeno

uno dei punti di massimo o minimo cade in [a,b] e per il teorema di Fermat la

derivata prima è nulla.

17) Sia f:[a,b]->|R continua in [a,b] e derivabile in (a,b): allora esiste c€(a,b) tale che

f’c= f(b)-f(a)/b-a. DIMOSTRAZIONE= è sufficiente applicare il teorema di Rolle

alla funzione: g(x)=f(x)- = f(b)-f(a)/b-a *(moltiplicando l’intera frazione) (x-a).

18) Sia f:(a,b)->|R, la funzione f si dice convessa in (a,b) se presi due punti qualsiasi

x1,x2 € (a,b) il segmento che congiunge (x1, f(x1)) con (x2,f(x2)) giace al di sopra gf

in [x1,x2] o in [x2,x1]. La funzione si dice concava in caso contrario.

19) Data una funzione f(x) R->R di cui esiste la f’’(x) si può dire che la funzione è

convessa nell’intervallo [a,b] se e solo se f’’(x)>0 V(per qualunque) x€[a,b]. Si dice

concava in caso contrario.

20) Siano f e g funzioni derivabili in un intorno (a,b) in x0. Suppongo che: lim

x->x0 di f(x)= lim x->x0 di g(x)=0 con g(x) e g’(x)≠0 per ogni x€(a,b), x≠x0. Se

esiste lim x->x0 di f’(x)/g’(x) esiste anche lim x->x0 di f(x)/g (x) e sono uguali.

21) Date f(x) e g(x) integrabili in [a,b] vale la proprietà della linearità per cui Sb,a

f(x)+-g(x) dx= Sb,a f(x)dx + Sb,a g(x)dx e un ulteriore condizione è che: Sb,a Cf(x)

dx= C Sb,a f(x) dx con C€|R. Date f(x) e g(x) integrabili in [a,b] vale la proprietà

della linearità per cui: se f(x) >=0 per Vx€[a;b] allora Sb,a f(x) dx>=0 e se f(x)<=g(x)

anche Sb,a f(x) dx<= Sb,a g(x)dx.

22) Sia f integrabile in [a,b] allora: Sb,a f(x) dx= Sc,a f(x) dx + Sb,a f(x) dx V(per

qualunque)C€ (a,b).

23) Sia f[a,b]->|R continua allora esiste C€ (a,b) tali che: Sb,a f(x) dx=f(c)(b-a).

25) S f’(x)g(x) dx=f(x)g(x) – S f(x)g’(x) dx.