Risk Management: teoria, esercizi commentati e tracce d'esame

Pregi e difetti del VAR

Massima perdita potenziale che una certa posizione o un certo portafoglio può subire, in un determinato orizzonte temporale, con un certo livello di confidenza.

Pregi

• Agevole comunicazione: si riferisce al risultato finale ovvero un numero con un valore monetario significativo (ad esempio in euro) comprensibile anche per chi non è del settore.
• Confronto tra tipologie di rischio diverse: permette infatti di ridurre ad un confronto in euro i rischi legati a mercati diversi come ad esempio obbligazionario e azionario.
• Determinazione di limiti all’assunzione del rischio: permette di stabilire il livello di esposizione al rischio in base al livello di turbolenza del mercato.
• Costruzione di misure di risk adjusted performance: permette di scegliere tra diversi progetti valutando sia il rendimento atteso che il rischio collegato.
• Valutazione dell’adeguatezza patrimoniale: fornisce una stima a lungo termine che permette di verificare se il patrimonio è sufficiente a coprire eventuali perdite.

Difetti

• Trascura gli eventi eccezionali: definendo il rischio come la massima perdita potenziale associata ad un certo livello di confidenza, il VAR non è in grado di coprire l’intera gamma dei possibili eventi che un’istituzione finanziaria deve essere in grado di fronteggiare.
• Trascura le relazioni di clientela: potrebbe accadere che attraverso un’applicazione meccanica la banca potrebbe essere indotta a porre bruscamente termine a tutte le posizioni la cui redditività corretta per il rischio risultasse inadeguata, senza tener conto quindi delle relazioni di clientela.
• Si basa su ipotesi irrealistiche: diverse ipotesi alla base dei diversi criteri di calcolo del VAR possono portare, se non condivisibili, a quantificare il rischio, a calcolare la redditività corretta per il rischio e ad allocare il capitale tra le diverse unità operative in modo inaffidabile.
• Risultati divergenti: confrontando empiricamente i risultati prodotti dai diversi approcci di calcolo del VAR si riscontrano risultati fortemente divergenti. Queste divergenze pur non rappresentando un’esplicita dimostrazione di inaffidabilità del VAR ci suggeriscono di utilizzarlo con cautela.
• Amplifica l’instabilità dei mercati: se tutte le istituzioni finanziarie si dotano di un modello VAR i trader delle diverse istituzioni ricevono tutti lo stesso segnale operativo amplificando l’instabilità del mercato.
• Scarsa tempestività: riguarda il ritardo con il quale il VAR riflette eventuali shock di mercato e la conseguente inefficacia nel prevenire le perdite.
• Dimensione delle perdite: trattandosi di una stima probabilistica, i modelli VAR non forniscono alcuna informazione riguardante le perdite eccedenti il VAR.
• Mancata subadditività: potrebbe accadere che il VAR violi una delle proprietà fondamentali di una misura coerente di rischio: la subadditività. Infatti non sempre il VAR di portafoglio risulta essere minore della somma del VAR delle singole posizioni che lo compongono come invece dovrebbe essere per il beneficio di diversificazione legato alla imperfetta correlazione tra i diversi fattori di mercato.

Caratteristiche del sistema TIT

Un corretto sistema di gestione del rischio di interesse del banking book richiede lo sviluppo di un sistema di tassi interni di trasferimento. Quest’ultimo consiste in un insieme di transazioni figurative interne alla banca che consentono di accentrare presso un'unica unità le decisioni relative alla posizione che la banca intende assumere nei confronti delle variazioni dei tassi di mercato.

Quattro obiettivi principali perseguiti:

• Trasferire il rischio di interesse dalle differenti unità della banca che lo generano (filiali che raccolgono e concedono prestiti) a un’unità centrale (tesoreria) che possa correttamente valutare e gestire questo rischio.
• Valutare l’effettiva redditività dell’attività di gestione del rischio all’interno della banca.
• Consentire alle diverse unità operative della banca di non doversi preoccupare dell’attività di funding connessa ai propri crediti.
• Valutare in modo più preciso il contributo offerto da ogni singola unità operativa alla redditività complessiva della banca.

Pregi e difetti della stima della volatilità basata sull'osservazione del livello implicito nei prezzi delle opzioni

La volatilità implicita è uno dei tre modelli utilizzati per la stima della volatilità. In questo modello la volatilità viene stimata in base al prezzo di mercato delle opzioni che dipende da cinque variabili (prezzo di esercizio; prezzo di mercato del sottostante; vita residua dell’opzione; tasso di interesse risk free; volatilità); se si conosce il prezzo di mercato dell’opzione, dato che tutte le variabili ad eccezione della volatilità sono note, è possibile utilizzare un qualsiasi modello di pricing a ritroso per calcolare la volatilità implicita nel prezzo stesso dell’opzione.

La volatilità implicita può risultare differente a seconda del contratto di opzione utilizzato. Le opzioni ATM producono infatti valori di volatilità implicita più bassi di quelli che si ottengono utilizzando opzioni ITM o OTM (volatility smile).

La sua caratteristica principale è quella di essere un modello “forward looking” a differenza degli altri che sono “backward-looking” e quindi può apparire come uno strumento di previsione migliore poiché attraverso il prezzo di mercato sintetizza le aspettative degli operatori che negoziano volatilità.

Questo vantaggio presuppone due condizioni:

• Il modello di pricing adottato deve essere attendibile ed adottato dagli operatori di mercato.
• Il mercato nel quale l’opzione è negoziata deve essere esente da particolari imperfezioni.

Svantaggi:

• Utilizzo subordinato all’esistenza di un contratto di opzione che abbia come sottostante l’attività della quale si intende calcolare la volatilità.
• Occorre che l’orizzonte temporale prescelto coincida con la vita residua dell’opzione.

Media mobile e media mobile esponenziale

Il metodo della media mobile è quello più utilizzato per la stima della volatilità e si basa su dati storici (backward looking).

Il metodo delle medie mobili semplici porta con sé due problemi:

• Scelta dell’arco temporale passato sul quale misurare la volatilità: infatti per quanto un campione ampio possa condurre ad una stima più stabile e ad un maggiore contenuto informativo, la scelta di un intervallo temporale eccessivamente ampio fa sì che la stima sia poco sensibile a improvvisi cambiamenti della volatilità di mercato e quindi poco influenzata dalle condizioni più recenti che invece meglio potrebbero rispecchiare l’andamento di mercato futuro.
• Il secondo problema denominato echo effect consiste nel fatto che la stima della volatilità subisce una variazione non solo quando si verifica uno shock relativo al fattore di mercato ma anche quando, nei periodi successivi, lo shock continua a produrre effetti nonostante sia uscito dall’intervallo considerato ed è stato sostituito da un dato più recente.

Il correttivo adottato dalla media mobile esponenziale per superare i due problemi del metodo delle medie mobili semplici segue la seguente logica: utilizzando un numero elevato di osservazioni passate ma attribuendo peso maggiore a quelle più recenti si ottiene una stima con elevato contenuto informativo ed allo stesso tempo più sensibile agli shock recenti (reagisce più rapidamente a shock del fattore di mercato). Questo metodo inoltre risolve il problema dell’echo effect perché fa sì che uno shock pronunciato del fattore di mercato esce in modo graduale dalla stima della volatilità evitando l’effetto eco.

Simulazioni storiche per la valutazione del VAR

Il tentativo di superare alcuni problemi legati all’approccio varianze covarianze ha condotto allo sviluppo dei modelli di simulazione che hanno come caratteristiche principali: ricorso alla full valuation, ricorso alla logica del percentile e maggiore libertà nel modellare le variazioni dei fattori di mercato.

In un modello di simulazione storica si ipotizza che le variazioni dei fattori di mercato (o meglio di rischio) siano ben rappresentate dalla loro distribuzione storica, in modo tale che il loro comportamento passato rappresenti una guida affidabile per prevedere i loro possibili movimenti futuri.

Il procedimento di questo metodo prevede che dopo aver selezionato un campione di rendimenti dei fattori di mercato relativi ad un dato periodo storico, le variazioni di questi fattori (registrate in passato) vengono trasformate in un possibile valore futuro del portafoglio della banca tramite la full valuation (che elimina distorsioni legate ad approssimazioni lineari o quadratiche delle vere relazioni di pricing).

Una volta calcolate le variazioni di valore del portafoglio corrispondenti a ciascuna delle variazioni storiche dei fattori di mercato, queste vengono ordinate in ordine crescente in modo da ottenere una distribuzione empirica di probabilità delle variazioni di valore del portafoglio che verrà poi “tagliata” al percentile corrispondente al livello di confidenza scelto. La differenza tra questo percentile e il valore corrente del portafoglio di mercato rappresenta il VAR.

Pregi:

• Rappresenta una soluzione al problema della misurazione del rischio la cui logica sottostante risulta facilmente comprensibile e comunicabile tra le varie unità di banca oltre che all’Alta Direzione.
• Non occorre esplicitare alcuna ipotesi particolare circa la forma funzionale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato.
• Non richiedono di stimare la matrice varianze/covarianze dei fattori di mercato che possono influenzare il valore del portafoglio considerato, ma catturano la struttura della correlazione riflessa nelle variazioni congiunte dei fattori di mercato.

Difetti:

• L’onerosità dei calcoli necessari per rivalutare l’intero portafoglio di un’istituzione finanziaria alle condizioni di mercato passate, che possono richiedere tempistiche troppo lunghe per le esigenze di quantificazione del rischio legate all’attività di trading di una banca.
• L’ipotesi implicita della stabilità temporale della distribuzione di probabilità delle variazioni dei fattori di mercato; se questo assunto non viene rispettato, come nel caso di distribuzione eteroschedastica, il risultato ha scarsissimo significato.
• Limitatezza delle serie storiche disponibili, quindi una scarsa definizione delle code della distribuzione empirica della probabilità.

Scelta del livello di confidenza e dell’orizzonte temporale nel calcolo del VAR

La variabile critica nella scelta del livello di confidenza è il grado di avversione al rischio delle singole istituzioni finanziarie; se la banca si dota di una quantità di capitale pari proprio al VAR, un livello di confidenza elevato implica un grado di protezione maggiore (VAR maggiore). La scelta del livello di confidenza non influenza il processo di allocazione delle risorse all’interno dell’organizzazione.

Il metodo più utilizzato per la scelta dell’orizzonte temporale è quello proposto per la prima volta dalla Bank of America che si basa sull’importanza del merito creditizio per un’istituzione finanziaria poiché spesso i clienti sono anche creditori. Esiste quindi un legame tra livello di confidenza e rating così che le banche devono detenere una quantità di capitale, quantificata attraverso un modello VAR, sufficiente per preservare il proprio rating: banche caratterizzate da un rating migliore devono dotarsi, a parità di altre condizioni, di maggiore patrimonio.

Un altro parametro importante per il calcolo del VAR è la scelta dell’orizzonte temporale: a parità di ogni altra condizione un orizzonte temporale più lungo conduce a volatilità e quindi VAR più elevati. La scelta dell’orizzonte temporale dipende da tre fattori:

• Il grado di liquidità del mercato: il VAR rappresenta la massima perdita potenziale solo se, entro l’orizzonte di rischio, la posizione che ha provocato le perdite può essere ceduta prima di provocare ulteriori minusvalenze (mercato liquido orizzonte limitato e viceversa).
• La dimensione della posizione assunta: la dimensione della posizione assunta è direttamente correlata al market liquidity risk della posizione stessa; per posizioni consistenti la banca dovrà quindi prevedere un orizzonte temporale superiore a quello giornaliero.
• Holding period: una posizione detenuta in ottica speculativa di brevissimo periodo dovrebbe essere valutata con un orizzonte temporale più breve rispetto ad una considerata un investimento e quindi con periodo di detenzione più prolungato.

Occorre considerare che la stima della volatilità relativa ad orizzonti temporali più ampi comporta problemi dovuti alla scarsità dei dati e alla loro scarsa significatività. Per superare questo problema si può ricavare la volatilità di lungo periodo da quella giornaliera ipotizzando che i rendimenti giornalieri siano variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite.

Pregi e limiti del modello parametrico per la stima del VAR

Pregi

• Efficacia computazionale: consente di stimare il VAR dell’intero portafoglio in un tempo molto limitato.
• Non richiede di esplicitare i modelli di pricing per ogni strumento in portafoglio: non essendo basato su rivalutazioni piene delle posizioni ma sull’utilizzo di semplici coefficienti di sensibilità.
• Può essere applicata anche se i fattori di rischio non sono distribuiti normalmente: grazie al teorema del limite centrale a condizione che essi siano sufficientemente numerosi e relativamente indipendenti tra loro.

Difetti

• Distribuzione normale dei rendimenti dei fattori di mercato: nella realtà la possibilità che si verifichino variazioni lontane da quella media è maggiore di quella ipotizzata in una distribuzione normale (fat tails) [leptocurtosi]; così ad esempio la possibilità che si verifichino perdite superiori al VAR con livello di confidenza del 99% è in realtà superiore all’ 1%. Le variazioni di prezzo si distribuiscono generalmente in modo non simmetrico ovvero si riscontrano più osservazioni all’estremo sinistro rispetto a quello destro (asimmetria negativa).
• Ipotesi di indipendenza seriale della distribuzione dei rendimenti dai fattori di mercato: i rendimenti dei fattori di mercato hanno distribuzione normale e varianza costante, e i rendimenti relativi a intervalli successivi non sono tra loro correlati; in realtà la varianza varia nel tempo e l’indipendenza dei rendimenti si verifica raramente.
• Ipotesi di linearità dei payoff: l’ipotesi di relazione lineare tra fattori di mercato e le variazioni di valore della posizione è incompatibile con alcune rilevanti tipologie di strumenti finanziari (es. il valore delle obbligazioni varia in modo non lineare al variare dei tassi di riferimento); possibili soluzioni a questo problema sono: l’utilizzo della convexity e quindi l’estensione al secondo ordine dell’approssimazione in serie di Taylor, e il ricalcolo del valore della posizione con modelli di pricing basati sulle nuove condizioni di mercato.

Repricing gap analysis e duration gap analysis

Il repricing o maturity gap è una misura sintetica dell’esposizione al rischio di interesse nell’ambito del banking book e si basa sull’assunto che il rischio di interesse cui è esposta una banca deriva dal fatto che le attività fruttifere e le passività onerose presentano sensibilità diversa alla variazione dei tassi di interesse, cioè lega le variazioni dei tassi di interesse di mercato alle variazioni del margine di interesse (modello “reddituale”). Il gap di un determinato periodo viene calcolato come differenza tra la quantità di attività sensibili e passività sensibili alle variazioni dei tassi di interesse ovvero quando la posizione scade o ha reset date rientrante nell’intervallo considerato.

Assumendo le seguenti ipotesi:

• Gap è costante nel corso del periodo considerato.
• Tassi di tutte le attività e passività sensibili ad un comune tasso (i).

È possibile calcolare la variazione del margine di interessi al variare dei tassi di interesse: ∆MI = Gap x ∆i.

Limiti del modello del repricing gap:

• Ipotesi di variazioni uniformi dei tassi attivi e passivi e dei tassi di diversa scadenza: in realtà attività e passività possono essere caratterizzate da una diversa reattività a variazioni dei tassi così come i tassi su diverse scadenze.
• Il trattamento delle poste a vista: il modello assume che le poste a vista (esempio c/c) siano sensibili immediatamente, in realtà l’analisi empirica mostra come queste poste non si adeguino immediatamente a variazioni dei tassi di mercato (GAP standardizzati possibile soluzione).
• Mancata considerazione degli effetti di variazioni dei tassi di interesse sulla quantità di fondi intermediati.