Riassunto esame di Statica, prof. Sofi, libro consigliato: Introduzione alla Scienza delle Costruzioni, Muscolino, Falsone

TEORIA DELL'EQUILIBRIO

Parte più antica della fisica.

La MECCANICA studia il movimento e l' equilibrio dei corpi. Il MOVIMENTO è studiato in 2 discipline: la CINEMATICA e la DINAMICA.

• La CINEMATICA — studia il movimento escludendo le cause della produzione dello stesso.
• La DINAMICA — studia i movimenti in relazione alle cause che li producono.

L'equilibrio dei corpi viene invece studiato dalla STATICA. Nella Teoria dell'equilibrio vengono trattate le condizioni, secondo cui, un sistema di corpi soggetto a determinate forze, rimane immobile.

L'equilibrio in un corpo deve essere soddisfatto sia nella sua fase esterna (forze esterne) sia nella sua fase interna (forze interne).

FORZA è una grandezza fisica vettoriale che applicata ad un corpo dotato di massa ne altera lo stato di quiete o di moto uniforme. Questa definizione è data dal principio della dinamica = Prime leggi di Newton. Viene messa in relazione la forza e l'accelerazione impressa ad un corpo.

F = m*a = Corpo di accelerazione

In meccanica vengono rappresentate alcune grandezze, quali spostamento, velocità, accelerazione, forza, come grandezze vettoriali. Una grandezza vettoriale è caratterizzata dalla retta d'azione, dal verso, dal modulo ed eventualmente dal punto di applicazione.

PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE

Il Principio di azione e reazione (Newton - IIIº principio della dinamica) deriva dal principio di "forze contro forze", secondo cui 2 forze aventi la stessa retta d'azione sono in equilibrio, solo se hanno uguale modulo e verso opposto.

• FA - Reazione
• FA - Azione
• FP - Passivo
• TR - Reazione
• TA - Azione
• TP - Passivo

Il tavolo è soggetto ad forze che tendono a deformarlo. Queste 2 forze sono uguali e opposte.

Sul principio di azione e reazione (Iº principio dell'equilibrio) si basano le condizioni di equilibrio dei corpi vincolati. Secondo questo principio: se un corpo esercita una forza su un altro (azione), quest'ultimo esercita sul primo una forza uguale e contraria.

REAZIONI VINCOLARI

Un vincolo genera una reazione solo nella direzione del movimento che impedisce. Nel postulato delle reazioni vincolari viene studiato l’equilibrio del corpo vincolato sostituendo i vincoli con le relative reazioni vincolari.Esistono due tipi di forze che agiscono su un corpo:

• Forze attive sono note
• Forze di vincolo sono incognite

PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ROTAZIONALE

Con il principio di azione e reazione non si può valutare le reazioni dei vincoli che hanno rette d’azione diverse da quelle delle forze attive. Se per esempio si vuole coprire con un architrave una luce compresa tra sostegni fissi, può essere utilizzato il principio di azione e reazione se i carichi esterni sono simmetrici rispetto all’asse di simmetria della struttura.

1. Se a=b → R_A = R_B = P/2
2. Se a≠b si deve risolvere il principio di equilibrio rotazionale per cui serve il principio di equilibrio dei momenti.

Archimede da Siracusa con i suoi postulati sull’equilibrio della leva introdusse le leggi dell’equilibrio rotazionale. I postulati sono:

• Pesi uguali applicati a distanze uguali (dal fulcro) sono in equilibrio.
• Pesi uguali applicati a distanze disuguali (dal fulcro) non possono essere in equilibrio.

Pa . b = Pb . a → Pa . a = Pb . b

Affinché vi sia equilibrio, il prodotto dei pesi deve essere uguale ai rispettivi bracci di leva. Per risolvere il problema dell’equilibrio rotazionale bisogna utilizzare il principio di equilibrio dei momenti.

Il momento scalare di una forza F_i rispetto ad un punto G, è un vettore avente modulo F _id _i in cui d _i è la distanza ortogonale tra G e la retta d’azione della forza. Il momento è uguale a forza per lunghezza.

Perché vi sia equilibrio, il momento scalare delle forze che agiscono sulle struttura deve essere uguale al momento scalare delle forze.

Pa . a deve essere uguale al momento delle forze su Pb . b e Pa quindi Pb . b*

- Somma tra matrici:

La somma si effettua tra matrici dello stesso ordine sommando i rispettivi elementi a_ij + b_ij.

(n x p) (n x p) → (n x p)

Nella somma vale la proprietà commutativa.

- Differenza tra matrici:

La differenza si effettua tra matrici dello stesso ordine sottraendo i rispettivi elementi a_ij - b_ij.

(n x p) (n x p) → (n x p)

- Prodotto per uno scalare:

Effettuando il prodotto degli elementi di una matrice per uno scalare K si ottiene un'altra matrice C = K · A.

(n x p) (n x p)

- Prodotto tra matrici:

Il prodotto tra matrici si può effettuare solo se le due matrici sono conformi, ovvero se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B.

A (m x n) B (n x p) → C (m x p)

Non vale la proprietà commutativa, ma valgono le proprietà associativa e distributiva.

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ + a₁₃·b₃₁ = 3·1 + 0·4 + 4·3 = 17

c₁₂ = 2·1 + 8·2 + 2·3 = 3·1 + 0·4 + 4·3 = 17

mancano: Inverso di matrici, Prodotto tra vettori

PRODOTTO VETTORIALE TRA 2 VETTORI

Il prodotto vettoriale tra 2 vettori si ottiene moltiplicando i moduli dei 2 vettori per il seno dell’angolo formato dai 2 vettori. c⃗ = a⃗ · b⃗ · senx Il vettore c⃗ possiede direzione ortogonale al piano e verso quello indicato dalla regola della mano destra con il pollice puntato verso c⃗ ed il dito che segna la rotazione a b. Il prodotto vettoriale crea quindi un nuovo vettore il modulo, direzione e verso in funzione della retta di applicazione che può essere un punto qualsiasi del piano in cui si trovano i vettori a⃗ e b⃗.

c⃗ = a⃗ · b⃗ · senx

Per quanto riguarda l’algebra delle matrici: il prodotto tra 2 vettori non esiste in quanto il prodotto matriciale di 2 vettori è uno scalare o una matrice. Esso può esprimersi come il prodotto di una matrice antisimmétrica A associato al vettore a⃗ , moltiplicata per il vettore colonna b̅. Quindi: c⃗ = a⃗ · b⃗ => c = A·b

Non vale la proprietà commutativa mentre vale la proprietà distributiva.

PRODOTTO SCALARE TRIPLO

Il prodotto scalare triplo tra 3 vettori è dato da a⃗ ·(b⃗ · c⃗ ) = b⃗ (c⃗ · a⃗ ) = c⃗ (a⃗ · b⃗ )

Questa quantità scalare indica anche il volume di un parallelepipedo avente come spigoli i vettori a⃗ , b⃗ e c⃗ .

a⃗ ·(b⃗ · c⃗ ) determina: ovvero |ax ay az| |bx by bz| |cx cy cz|

Proprietà che valgono per i prodotti tra 3 vettori: - (a⃗ ·(b⃗ · c⃗ ) ≠ a⃗ · (c⃗ · b⃗ ) - a⃗ ·(b⃗ · c⃗ ) = b⃗ (c⃗ · a⃗ ) = c⃗ (a⃗ · b⃗ )- (a⃗ · b⃗ )· c⃗ =(a⃗ · c⃗ )· b⃗ - (a⃗ + b⃗ )· c⃗ = a⃗ · c⃗ + b⃗ · c⃗

(a⃗ · b⃗ )· c⃗ = (c⃗ · a⃗ )· b⃗ - (b⃗ · c⃗ )