Riassunto delle lezioni di statistica I: programma completo

PROGRAMMA COMPLETO DI STATISTICA IAppunti presi durante le lezioni della Professoressa Marzia Marcheselli all’università di Siena. Gli appunti comprendono l’intero programma, in particolareSpiegazioni della teoria e della pratica + TUTTE le relative DIMOSTRAZIONI + esercizi svolti durante le lezioni riguardanti:

STATISTICA DESCRITTIVA (univariata e bivariata):

• Nozioni preliminari, organizzazione dei dati, distribuzione di frequenza, grafici, INDICI:
• INDICI DI POSIZIONE: moda, mediana, media e sue proprietà.
• INDICI DI VARIABILITA’: ampiezza del campo di variazione, differenza interquantile, varianza e sua scomposizione (varianza within e varianza between), scarto quadratico medio, coefficiente di variazione.
• INDICI DI FORMA: asimmetria, curtosi
• -BOX PLOT (diagramma a scatola e baffi)

• DISTRIBUZIONE BIVARIATA: tabella a doppia entrata, distribuzioni di frequenze subordinate, indipendenza in distribuzione, dipendenza perfetta unilaterale, interdipendenza perfetta, dipendenza in media, dipendenza lineare, dipendenza unilaterale, INDICI DI DIPENDENZA:
• -INDICE CHI QUADRATO
• -RAPPORTO DI CORRELAZIONE
• -COVARIANZA e sue proprietà
• -COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE
• -MODELLO DI REGRESSIONE: parametri, metodo dei minimi quadrati, coefficiente di determinazione lineare.

PROBABILITA’

• DEFINIZIONI VARIE: spazio fondamentale, evento elementare, evento, evento impossibile, eventualità elementare.
• OPERAZIONI SUGLI EVENTI: evento complementare, evento unione, evento intersezione, eventi incompatibili, implicazione, eventi esaustivi, partizione.
• PROPRIETA’ TRA EVENTI: proprietà distributiva rispetto all’intersezione e all’unione, evento differenza, classe degli eventi, cardinalità.
• DEFINIZIONI DI PROBABILITA’: classica, frequentista, soggettiva, assiomatica (assiomi e conseguenze).
• -PROBABILITA’ SUBORDINATA
• -TEOREMA DI BAYES
• -INDIPENDENZA TRA EVENTI

VARIABILI CASUALI

• VARIABILI CASUALI DISCRETE E CONTINUE: Valore atteso, Varianza, funzione di probabilità, funzione di densità, funzione di ripartizione.
• -VARIABILE CASUALE DI BERNOULLI
• -VARIABILE CASUALE BINOMIALE
• -VARIABILE CASUALE NORMALE (e normale standard)
• -VARIABILE CASUALE CHI QUADRATO
• -VARIABILE CASUALE T DI STUDENT

INFERENZA

• INFERENZA STATISTICA: Inferenza descrittiva, inferenza intervallare, parametrica e non parametrica, STIMATORI e relative proprietà, indici degli stimatori.
• -STIMATORE MEDIA CAMPIONARIA e PROPORZIONE CAMPIONARIA
• -STIMATORE VARIANZA CAMPIONARIA DISTORTO E CORRETTO
• -STIMATORE DI VARIANZA DI X MEDIO

• METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA: funzione di verosimiglianza, stima di massima verosimiglianza, funzione di log verosimiglianza, stimatore di massima verosimiglianza e proprietà desiderabili.
• INTERVALLI DI CONFIDENZA: stima intervallare, quantità pivotale.
• VERIFICA DI IPOTESI: test statistico, p-value, test funzionali.

Formulario

Cambio scala di unità: Y = a + bX

Attributo variabile: f = x - ₁ ∞ ox

• Moda (Val. Mod.): Mo = V₀
• Mediana (C₂): Md = V₁
• Media (C₂, CFn): Me = [V_k-1 +F_k - F_k-1] · i / f

Modalità Valute: Freq. Assoluta (f_i)

Astre: Frequenza Cumulata Ass [F_i] - Ordina (C_i, Uni C_i)

• F.C. | Freq. Cumulativa (F_q1, X=var; x+11,33)
• Densità di Frequenza: F/m ampiezza d. classe

Indici di Posizione:

• Moda
• Peso: N valori - soprael=valore
• Ruber: Xp = Q_k, dove k = Xp1, Xq1

Mediana: X = Valore Centrale

Distrib. di Frequenza:Dist. Media | Σ_{Fk · Ck} ... Ck

x+(piccolo dis.) del X -15(CF)var2 + grande dis. di X +15(CF)

DIS. CONGIUNTA O BIVARIATA

x y possono custodire un'altra di verificacxi = ...ni pr n1pr...nk1nk...nk1n

• la dis. congiunta delle 2 variable
• la dis. marginale
• la dis. subordinata
• la dis. ...

DISTRIB. DI PIU' VARIABILIx y ... possono custodire un'altra di verifica

DISTR. CONGIUNTA (di piu' variabili)

Per un'interpretazione puntuale, devo trovare β₀ e β₁ per cui si annullano le derivate (P) parziali rispetto a quelle.

N.B.: D[f(ζ_i)] = ƒ'(ζ_i)'F(ζ_i)

∂G(β₀, β₁)_∂β0 = -2σ ∑ _i=0 (Y_i - β₀ - β₁X_i)(-1) = 0

* Derivata parziale rispetto a β₀

* F(ζ_i) derivata parziale rispetto a β₁ le uguali a sistema.

∂_G(β₀, β₁)_∂β1 = 2σ ∑ _i=0(Y_i - β₀ - β₁X_i)(-X_i)=0

Le operazione ^_Cfl 2 ed il -1 non contribuiscono.

(Semplifica con tratti)

Se divido per coulsenza:

Y ⁴ - β₀ - β₁X_i = 0 → Y = β₀ + β₁X_i (E se β₀ = Y - β₁X_i)

Sostituisco β₀ nella 2 equazione:

Sviluppo e divido per σ:

β₁ ∑ _i=1ⁿX² - ∑ _i=1ⁿX_iY ₄ + β₁∑ _i=1ⁿX_i - β₁X_i (X_i)= β₁∑ _i=1ⁿX_i

m_XY X ⁴ X² βX² βm_X

ricavo β₁ → (m_XY - X_-Y) = ex

→ ( m_X - X⁴)p(m_X² - m_X)=0

≈β

≈m_X Y _X -

β₁ = Cmr_X - Y /(m_X - S_X)*Covarianza

β = (X₄ ⁴ Covarianza )

Puunto in cui le derivate parziali si annulano.

Sostituendo, serve anche un punto calmo che sono i punti che minimizzano.

Y = (m_{x -4}