Riassunti ed Esercizi svolti esame "Controlli Automatici", prof. Orlando

Controlli Automatici

Problema del controllo

In un gran numero di situazioni della vita quotidiana si presenta la necessità di ottenere che l'esterno assuma un dato valore, ovvero si comporti in un modo desiderato. Per esempio:

• Controllo della climatizzazione di un edificio;
• Controllo della portata e pressione di una caldaia;
• Controllo della velocità di un motore elettrico.

Per controllo si intende l'azione o l'insieme delle azioni volte a far assumere ad una grandezza fisica un determinato valore o a un andamento temporale assegnato.

Si consideri un determinato oggetto o processo, naturale o artificiale. Se vuole detto oggetto (o processo) controllato e si assume che in esso siano state individuate alcune grandezze di cui interessa osservare l'evoluzione nel tempo. Se si desidera svolgere determinate azioni intese a far evolvere tali grandezze in modo prefissato, si è portati a mettere in evidenza nell'oggetto o processo, oltre grandezze, manipolandole le quali risulti possibile determinare in sicuro l'andamento di dette interessanti osservazione e l'evoluzione di esse come uscite e vengono dette variabili controllate o sottoposte a controllo, quelle che possono essere manipolate al fine di ottenere l'evoluzione desiderata si presentano come ingressi e vengono dette variabili di controllo o controllanti.

L'oggetto o processo in grado di imporre alle variabili di controllo gli andamenti desiderati prende il nome di controllore.

Il controllo si dice automatico quando le azioni corrispondenti vengono svolte da dispositivi in grado di sostituire del tutto o in parte l’intervento dell’uomo.

Soluzione in catena aperta:

Controller

Soluzione in catena chiusa:

Controller

Metodi per lo studio di un sistema di controllo

Lo scopo fondamentale di un sistema di controllo è quella di assicurare che l'uscita del sistema stesso (variabile controllata) si verifichi nel tempo predeterminato, rendendo entro prestabiliti margini di tolleranza, l'andamento di una determinata grandezza di ingresso (riferimento) senza essere influenzata dall'andamento di altre grandezze di ingresso (disturbi), e in modo tale che queste proprietà vengano conservate anche in presenza di variazioni nelle posizioni e nei parametri che caratterizzano le grandezze stesse.

Scopo base di tale impostazione si possono fare discernere le fasi essenziali dei procedimenti di analisi e sintesi dei sistemi di controllo:

1. Caratterizzazione delle grandezze che agiscono sul sistema e individuazione degli andamenti prevedibili per le grandezze considerate come ingressi e come disturbi;
2. Individuazione delle parti del sistema sulle quali non è possibile, o non è conveniente intervenire in sede di realizzazione del sistema di controllo, e delle parti che devono invece essere delineate nel corso del procedimento di sintesi;
3. Definizione delle caratteristiche degli elementi che compongono il sistema, con particolare attenzione ai margini di tolleranza entro i quali sono compresi i valori dei parametri;
4. Definizione degli obiettivi in termini di specifiche riguardanti una o più caratteristiche della risposta del sistema di controllo agli ingressi ed ai disturbi;
5. Individuazione di corrispondenze tra le caratteristiche dei singoli elementi che compongono il sistema e le caratteristiche della risposta considerando in sede di definizione degli obiettivi;
6. Definizione delle caratteristiche delle parti sulle quali il progettista è libero di intervenire, in modo tale che siano soddisfatte le specifiche preselette;
7. Progetto e realizzazione dei componenti mediante i quali si completa il sistema di controllo.

ESEMPIO

G(s) = _KG/_s, P(s) = ₁/_s+5, K_r = λ, u(t) = δ_λ(t)

G(s) → P(s) → yu

u(t) = c_λΛ(t) ⟹ u(s) = _λ/₅ P·Gy(s) = W_u(s)·u(s = y(s)

λ·P·G·K_r= _KG/_s · _s+5= _{λ · KG}/_s(s+5)

W_u = _ωm/_cF+kFωm^F

=F = _KG/_s(s+5)

Se K_G=6⟹ y = ₆/_s²+5s+6 · ₁/_s = ₆/_s(s+2)(s+3) = _a1/_s+2 + _a2/_s+3 + _a3/_s

⟹ y(t) = [a₁e^-2t + a₂e^-3t + a₃] _Λ(t)δ_λ(t)

Quanto vale la risposta a regime permanente?

ĝ(t) = ??

ĝ(t) = _limt→∞ u(t) = _limt→∞[a₁e^-2t + a₂e^-3t + a₃] _Λ(t)δ_λ(t)

= a₃ = W(s) |_s=0 = C₀

Affinché venga facilitato il tracciamento dei diagrammi

di Bode, si possono scrivere le funzioni di trasferimento

nella seguente forma:

Nella precedente espressione si possono individuare

i seguenti termini elementari:

1. Il termine COSTANTE K è definito dal tipo

   della funzione F(s) e corrisponde al seguente valore

   a regime, lim SⁿF(S)=1K

2. Il termine MONOMIO già individuato per il coefficiente, _extra

3. I termini BINOMI \( ... \) sono

   rispettivamente gli zeri e i poli reali diversi da φ.

4. I termini TRINOMI \( ... \) sono

   rispettivamente le coppie di zeri e di poli complessi

   coniugati.

ESEMPIO

\( F(s)=... = ... \)

Se hO ωO = resta solamente \( F( ... ) = \frac{-30}{(jω)⁴} \)

ESEMPIO

F(s) = ⁴⁰⁄_s² → F(jω) = ⁴⁰⁄_(jω)²

|K| = 40 → 20 log₁₀ 40 = 20 log₁₀ 10 + 20 log₁₀ 4

= 20 + 40 log₁₀ 2 ≈ 32 dB

¹⁄_(jω)² = -20 log₁₀ ω² = -40 log₁₀ ω

¹⁄₄₀ = 0°

∠(jω)² = -180°

ω²_m + 2βjω_m ≈

ω_m ≈ 90°^{90°Log₁₀ω-90°Log₁₀ω_m}

β > 0

Segni invertiti per β < 0

Se il termine trinomio si trova al denominatore,

l'andamento della fase è opposto a quello già studiato

DIAGRAMMA APPROSSIMATO

²F(s) =       ______________

      (s - 5_/2)(s + 5_/5)

F(jω) =     ______________

      (jω - 5_/2)(jω + 5_/5)

ω₁ = 2      ξ₁ > 0

ω₂ = 5      ξ₂ < 0

γ(0⁺) = 2      ψ(0⁺) = 0°

γ(+∞) = 0      ψ(+∞) = 0° - 90° + 90° = 0°

→Re{F(jω)}

F(s) =     ______________

      (s - 5_/2)(s + 5_/5)

F(jω) =     ______________

      (jω - 5_/2)(jω + 5_/5)

γ(0⁺) = 2      ψ(0⁺) = 0°

γ(+∞) = ±∞      ψ(+∞) = 0° + 90° - 90°