Riassunti di Misure meccaniche e termiche

RASDUTTORI CAPACITIVI

12.1 I NTRODUZIONE

12.1.1 Condensatore piano

Figura 12.1 Schema rappresentativo di un condensatore piano

Tabella 12.1 Formule principali dl funzionamento di un condensatore piano

Capacità =∙

Costante dielettrica −12

= ∙ = 8,856 ∙ 10

0 0

=∙

Carica

Campo elettrico =

2 2

1 1 1 1

Energia elettrostatico 2 2

= ∙ = ∙ ∙ = ∙ ∙ = ∙ ∙

2 2 2 2

2

1 1 1

Forza di attrazione 2 2

= ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ = ∙

2

2 2 2 ∙

12.1.2 Condensatore cilindrico

Figura 12.2 Schema rappresentativo di un condensatore cilindrico 147

Tabella 12.2 Formule principali dl funzionamento di un condensatore cilindrico

2∙∙∙

Capacità = >

1 2

2

ln ( )

1

Campo elettrico =

2

∙ ln ( )

1

12.2 C

ONDENSATORI A VARIAZIONE DI AREA

Figura 12.3 Condensatori a variazione di area

Per eseguire misure di spostamento relativo sfrutto condensatori con capacità variabile. Per

condensatori variabili piani con variazione si ha che:

∙

= ∙ = ∙ ⇒ = ∙

- Traslazione: 1 1

2 2

−

= ∙ ∙ = ∙ ⇒ = ∙

- Rotazione angolare: 2 2

2

Per condensatori variabili cilindrici con variazione si ha che:

2∙∙

= ∙ = ∙

- Traslazione: 3

2

ln( )

1 +

∙ 2

= ∙ ∙ = ∙ ∙

- Rotazione angolare: 4

−

I sensori capacitivi a variazione di area sono in genere utilizzati per ampi spostamenti.

Figura 12.4Relazione tra capacità e spostamento

12.3 C

ONDENSATORI VARIABILI PIANI CON VARIAZIONE DELLA

DISTANZA X

Figura 12.5 Condensatore variabile piano con variazione della distanza x

Si considera il condensatore piano a 2 piastre. La sua capacità è:

()

=∙ =∙ ⇒ = −

±

0

Si può osservare che il legame tra spostamento e capacità è non lineare, però la relazione diviene

lineare tra le variazioni relative valida solo per piccoli spostamenti. I sensori capacitivi a variazione

di distanza sono in genere utilizzati per piccoli spostamenti. Un tipico esempio è il microfono

capacitivo. Figura 12.6 Microfono capacitivo

Un esempio di condensatore differenziale a 2 piastre fisse e 1 mobile è il trasduttore di pressione

differenziale capacitivo. 149

Figura 12.7 trasduttore capacitivo differenziale

Un’altra tipologia di condensatore piano con variazione della distanza x è il condensatore con una

piastra. Figura 12.8 Condensatore con una piastra

12.4 C

ONDENSATORI VARIABILI PIANI CON VARIAZIONE DEL

DIELETTRICO

Figura 12.9 Condensatore variabile piano con variazione del dielettrico

La capacità di questo ti condensatori è calcolabile mediante la seguente formula:

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ( + ∙ ) ∙ ∙ ∙ ∙ ( − 1)

0 1 0 2 2 0 1 2 2 0 0 2

= + = = + ∙ 2

∙ ∙ ( − 1)

0 2

= ∙ 2

Un esempio di impiego di questo tipo di condensatori è la misura del livello del liquido in

contenitori. Figura 12.10 Misura del livello del liquido in contenitori

I fattori che influenzano la linearità del sensore sono l’effetto di bordo nel campo elettrico tra le

piastre del condensatore, la relazione inversamente proporzionale tra la capacità C e a distanza d e

il circuito elettrico utilizzato. Per ridurre gli effetti di bordo si utilizza un anello di guardia come

quello illustrato in figura.

Figura 12.11 Trasduttore capacitivo con anello metallico per aumentare l'uniformità del campo elettrico

12.5 R C

ELAZIONE NON LINEARE TRA CAPACITÀ E DISTANZA D

La relazione lineare tra le variazioni percentuali della capacità C e della distanza d vale solo per

piccoli spostamenti. Per spostamenti generici, si può ricavare la seguente espressione:

∆

−

∆

0

= ∆

0 1 +

0

∆

La scelta di è un compromesso tra linearità e sensibilità e generalmente si scelgono valori tra

0

0,02 ÷ 0,1. 151

Figura 12.12 Non linearità tra capacità e spostamento nel trasduttore a elettrodi piani: effetto su di un segnale

sinusoidale

12.6 C

IRCUITI DI ALIMENTAZIONE

Si distinguono i seguenti tipi di circuiti di alimentazione e lettura per i sensori capacitivi: circuiti in

corrente continua, circuiti in corrente alternata e circuiti a modulazione della larghezza di impulso

( pulse width modulation).

12.6.1 Circuito in corrente continua

Figura 12.13 Circuito in corrente continua: schema equivalente

Una variazione della distanza tra le piastre causa una variazione sia della carica Q sia della

differenza di potenziale d.d.p. tra le piastre secondo la legge non lineare appena espressa. Nel

caso di piccoli spostamenti linearizzo attorno alla posizione iniziale:

∙

= ∙ = ∙

- Quantità di carica:

∙

= ∙ = 0

- Quantità di carica nella posizione inziale:

0

- Per piccoli spostamenti:

∙ ∙

) )

() = ( ) ( + ( ) () = ∙ ( − ()

2

0

0 0

0

)

∙ ( ∙ ()

= ∙ −

Da cui:

2

0 0 = − .

Dal circuito si ricava che: Mettendo a sistema le equazioni e applicando la

trasformata di Laplace si ottiene la funzione di trasferimento approssimata per piccoli

spostamenti: ∙

0 0

() = − ∙ = − ∙

+ 1 ∙+1

0 0

= = ∙

Lo strumento è passa-alto del 1° ordine: e 0

0

Figura 12.14 Diagrammi di Bode: circuito in corrente continua

12.6.2 Circuito in corrente alternata

Figura 12.15 Circuito in corrente alternata

I circuiti in corrente alternata maggiormente usati sono quelli di lettura diretta di V o I, circuiti a

ponte, circuiti amplificatori a controreazione e circuiti a modulazione di frequenza. Questo tipo di

circuiti si usano sia per misure dinamiche, basta che la portante abbia una frequenza

sufficientemente elevata. 153

12.6.2.1 Lettura diretta di tensione V o corrente I

Si distinguono i due casi:

1) Sensore capacitivo a variazione di area o del dielettrico (spostamenti ampi); si ha una

relazione lineare tra spostamento (ingresso) e capacità C.

=

1

= =

∙∙

= ∙ ∙ ∙ = ∙ 2 ∙ ∙ ∙

L’ampiezza del segnale in corrente è direttamente proporzionale a C, quindi, allo

spostamento.

2) Sensore capacitivo a variazione di distanza tra le armature per spostamenti piccoli. Si ha

una relazione inversamente proporzionale, quindi non lineare, tra lo spostamento in

ingresso e la capacità C.

= =

∙ ∙ ∙ 2 ∙ ∙

L’ampiezza del segnale in tensione è direttamente proporzionale allo spostamento.

12.6.2.2 Circuiti a ponte per capacità differenziali

Figura 12.16 Circuiti a ponte per capacità differenziali

Un tipico esempio di questa tipologia di circuiti è il misuratore di pressione capacitivo. Quando le

= 0.

pressioni sono uguali sui due lati, il diaframma è in posizione neutra ed Se la pressione è

0

≠ 0.

diversa, il ponte si sbilancia ed 0

Le principali caratteristiche di questi circuiti sono il fatto che è richiesta una demodulazione

sensibile alla fase, consente misurazioni statiche e che i sensori a capacità differenziale presentano

una linearità superiore a quelli con capacità singola.

12.6.2.3 Circuiti amplificatori a controreazione

Figura 12.17 Circuito a controreazione

L’amplificatore operazionale ideale presenta le seguenti caratteristiche:

Impedenza d’ingresso → ∞ ⇒ ≈ 0

1)

→ ∞ ⇒ ≈ 0

2) Guadagno statico

L’uscita varia linearmente con la distanza tra le piastre, per spostamenti sia grandi che piccoli.

0 ∙

1 1 1

≈ ∫ ≈ − ∫ ≈ − ∙ ∙ = − =

0

In un amplificatore operazionale reale sono presenti correnti di bias che fanno aumentare

progressivamente la carica nel condensatore variabile fino a saturazione. È necessario introdurre

in parallelo al condensatore variabile. Tale modifica comporta l’incapacità

una resistenza di

eseguire misure statiche, poiché riduce la banda passante nel campo delle basse frequenze.

Figura 12.18 Circuito a controreazione 155

12.6.2.4 Circuito a modulazione di frequenza

Figura 12.19 Circuito a modulazione di frequenza impiegato con trasduttore capacitivo

12.6.3 Circuito a modulazione della larghezza di impulso (PMW)

Il condensatore impiegato ha tre armature e ha una configurazione differenziale. Le due capacità

e sono inserite in un circuito con 2 opAmp usati come comparatori e 4 interruttori a stato

1 2

solido. Gli interruttori a stato solido sono simultaneamente commutati dai due comparatori ogni

(3 )

volta che o superano la tensione di riferimento . Quando è collegato al

3 4 3

= 0),

potenziale di terra ( il condensatore è scarico, mentre il condensatore viene caricato

3 1 2

(6 ) ∙

dalla tensione attraverso la resistenza con una costante di tempo . Mentre si

2 2

carica, cresce esponenzialmente; per tempo molto piccoli, la crescita di può essere