Radioattività

Politecnico di Milano: laurea di ingegneria industriale

Energetica

Radioattività a cura di Garavelli Leonardo

Indice

• Parte prima: Cenni di relatività ristretta
  • Le equazioni di Maxwell
  • Relatività ristretta - Cinematica
  • Relatività ristretta – Dinamica
• Parte seconda: Fisica semi-classica
  • Radiazione del corpo nero – Effetto fotoelettrico – Effetto Compton
  • Il modello atomico di Bohr
  • L'ipotesi di De Broglie e le dimostrazioni del dualismo
• Parte terza: Cenni di meccanica quantistica
  • Il principio di Heisenberg
  • La funzione d'onda
  • Soluzioni particolari: Gradino di potenziale
  • Soluzioni particolari: Barriera di potenziale
  • Soluzioni particolari: Pozzo di potenziale infinito (1-D e 3-D cartesiano)
  • Soluzioni particolari: Pozzo di potenziale infinito (sferico)
  • Momento angolare quantistico
  • Parità
• Parte quarta: Proprietà del nucleo
  • Sezione d'urto
  • Scattering coulombiano
  • Distribuzione di carica e di materia nel nucleo
  • Massa del nucleo
  • Energia di legame
  • Momento angolare nucleare e parità
• Parte quinta: Modelli del nucleo
  • Introduzione
  • Modello a goccia di liquido
  • Modello a strati
• Parte sesta: Decadimento radioattivo
  • Generalità del decadimento radioattivo
  • Accenno alla teoria quantistica del decadimento
  • Tipi di decadimento α
  • Decadimento
  • Decadimento β
  • Decadimento γ

Parte prima: Cenni di relatività ristretta

1.1 Le equazioni di Maxwell

Nella fisica classica le equazioni di Maxwell, pubblicate da James Clerk Maxwell nel 1865 ed esemplificate in seguito da Oliver Heaviside, definiscono in modo completo il legame tra campo elettrico e campo magnetico, unificando definitivamente elettricità e magnetismo e fornendo una spiegazione per tutti i fenomeni ad essi associati. Queste quattro leggi sono date, in forma differenziale, i.e. locale, da:

ρ⃗ ⃗E B⋅ = ⋅ =0ε0⃗ ⃗B E ⃗ ⃗ ⃗E B J× =−  × =μ +μ ε0 0 0 tt ⃗ ⃗

nelle quali E e B indicano i vettori campo elettrico e magnetico, è l'operatore differenziale "nabla", ρ indica la densità di carica presente, J il vettore densità di corrente e, infine, ε₀ = 8.85 x 10^-12 Fm^-1 indica la costante di permittività elettrica del vuoto e μ₀ = 4π x 10^-7 Hm^-1 è la costante di permeabilità magnetica.

Integrando su un volume V, contenuto in una superficie S, e applicando un paio di teoremi matematici, si ottiene la forma globale di suddette equazioni.

I) Considerando la prima si ottiene:

Q₁∫ ∫ ∫ V⋅⃗ ⃗ ⃗E dV '= E n dS ' E dV '=⋅⃗ → Φ ( )= ρε εSV S V_{0 0}

Che corrisponde alla legge di Gauss; essa afferma che il flusso del campo elettrico su una superficie chiusa dipende direttamente dalla quantità di carica presente all'interno della superficie stessa;

II) Dalla seconda si ha:

⋅⃗ ⃗∫ ∫B dV ' B n dS '=0= ⋅⃗V S

Ovvero il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo. Il campo magnetico presenta dunque la proprietà matematica e fisica di essere solenoidale e le sue linee di forza sono chiuse.

Se invece integriamo su una superficie S aperta, contornata da una curva chiusa γ si ottiene:

III) Dalla terza:

⃗B⃗  Φ ( )B⃗∫ ∮ ∫ S⃗ ⃗E n dS '= E l n dS ' fem=−( × )⋅⃗ ⋅d =− ⋅⃗ →t tS Sγ

Corrispondente alla legge di Faraday-Neumann-Lenz per l'induzione elettromagnetica.

IV) Nella quarta, invece, si ha il contributo maggiore di Maxwell:

⃗E⃗ ⃗ ⃗∫ ∮ ∫ ∫B n dS ' B n dS '=μ J n dS ' n dS '( × )⋅⃗ = ⋅⃗ ⋅⃗ +μ ε ( )⋅⃗_{0 0 0} tS S Sγ

Detta Legge di Ampere-Maxwell, essa incorpora il contributo nella produzione di un campo magnetico da parte della densità di carica elettrica e quello dato dalla grandezza corrente di spostamento. Questa grandezza, pari, a meno di una costante, alla variazione temporale del campo elettrico, fu teorizzata da Maxwell per evitare l'assurdo risultato di un divergenza della densità di corrente nulla.

Ma consideriamo una condizione particolare, data dalla totale assenza di sorgenti di campo elettrico e magnetico. In questa situazione le equazioni di Maxwell diventano:

⃗B⃗ ⃗E E⋅ =0 × =− t⃗E⋅⃗ ×⃗B B=0  =μ ε_{0 0} t

Applicando l'operatore rotore al rotore del campo elettrico otteniamo al primo membro:

⃗ ⋅⃗ ⃗ ⃗^{2 2}E E)− E=− E×(× )= (dal secondo membro: ⃗ ²⃗ ⃗ ⃗BB E E( × ) − ×( )=− =− (μ ε )=−μ ε_{0 0 0 0} ²t t tt    t

Unendo i due risultati si ottiene una relazione che viene detta equazione delle onde elettromagnetiche nella forma elettrica:

⃗1 E² ⃗E − =0² tc

Analogamente si può ricavare l'equazione delle onde elettromagnetiche in forma magnetica:

⃗1 B² ⃗B − =0² tc

Entrambe le equazioni contengono una costante, c, pari a:

√ 1 m⁸c= =2,99792×10μ ε s_{0 0}

Questa costante corrisponde alla velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche, ossia della luce, nel vuoto. Il fatto che questa sia costante per qualsiasi sistema di riferimento e che questo tipo di onda si propaghi senza bisogno di un mezzo fisico, a differenza di qualsiasi altra perturbazione classica, causò uno scossone nella comunità scientifica degli ultimi decenni del diciannovesimo secolo, di cui parleremo nel prossimo capitolo.

È facilmente dimostrabile che le equazioni delle onde elettromagnetiche accettano equazioni del tipo:

⃗i( k⋅r⃗ ⃗ −ωt +ϕ)⃗E r , t)= E r , t) e( (⃗ ⃗0 (⃗⃗ ⃗ i k⋅⃗r t+ϕ)−ωB(⃗r , t)= B r , t(⃗ )e₀⃗

con ,detto vettore d'onda, di modulo k, il quale indica la direzione di propagazione dell'onda; ω detta frequenza angolare dell'onda, che indica la sua pulsazione temporale. Si ha inoltre che:

^{2 2π π}Tλ= = ωk

Dette rispettivamente lunghezza d'onda e periodo dell'onda, queste grandezze corrispondono rispettivamente alla distanza spaziale e alla distanza temporale dopo la quale l'onda si ripete, ovvero manifesta la sua periodicità spaziale e temporale.

Nello studio delle onde si introducono due grandezze spesso utili: il numero d'onda n e la frequenza ν, date rispettivamente da 1 1n= ν=λ T

Ora, osservando che la velocità dell'onda elettromagnetica può essere espressa come c=λ ν si ottiene una relazione di grande utilità, valida per qualsiasi tipo di onda spaziotemporale:

ωc= k

Operando analiticamente sulle equazioni di Maxwell in assenza di sorgenti è possibile ottenere delle ⃗proprietà che mettono in relazione la direzione di propagazione dell'onda elettromagnetica ,k ⃗ ⃗E B l'ampiezza del campo elettrico e quella del campo magnetico che la compongono. Infatti, 0 0otteniamo [vd 1.1.a] che: ⃗ ⃗k⋅E = 0 0⃗ ⃗k⋅B = 0 0ovvero che la direzione di propagazione è sempre perpendicolare ai due campi. In modo simile si dimostra [vd 1.1.b] che ω⃗ e⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗k B E× =− k E E× =ω 0 02 ^{0 0}c

Ricordando che, per un campo vettoriale continuo e derivabile si ha: ⃗ ×(×⃗ )= ( ⋅⃗ )− ⃗Combinando queste equazioni si ottiene che le ampiezze dei due campi sono sempre perpendicolari ⃗tra loro. In figura un'onda elettromagnetica di lunghezza d'onda λ, direzione di propagazione e fasi Dφ =φ =0.B E

È bene anche introdurre qualche relazione riguardante il campo elettromagnetico. Innanzitutto è dimostrabile che la densità energetica di un campo elettromagnetico è pari a:

1 12 2u= E Bε +₀2 _{2 μ0}

Mentre è facilmente dimostrabile che, nota la relazione tra i moduli dei campi elettrico e magnetico dell'onda irradiata, data da: EB= c si ha che la densità energetica dell'onda elettromagnetica, anche detta radiazione elettromagnetica, è pari a:

2B2u E=ε = μ_{m 0 0}

Se invece si considera una particella carica in moto rettilineo uniforme, è noto che essa non perde energia per irradiazione -in quanto permane in uno stato inerziale. Se però essa si trova in un moto accelerato, per esempio sotto l'effetto di un campo elettromagnetico, si ha che la potenza irradiata da essa è data, per velocità molto inferiori alla velocità della luce, dalla cosiddetta equazione di Larmor:

2 2q aP= 36 cπε ₀

nella quale q indica la carica, a la sua accelerazione. Infine si può mostrare che la quantità di moto posseduta dalla radiazione elettromagnetica e la sua intensità sono date da:

Ep= I c=ωc

nella quale ℰ rappresenta la sua energia.

1.2 Relatività ristretta - Cinematica

Come abbiamo già accennato, le peculiarità delle onde elettromagnetiche -i.e. l'apparenza di assenza di un mezzo di propagazione e l'invarianza della sua velocità in diversi sistemi di riferimento- fece barcollare quella che era una robusta e assai provata teoria classica, fondata sulle leggi della meccanica Newtoniana. Tuttavia, il rigore matematico e la consistenza con i dati sperimentali della formulazione maxwelliana dell'interazione elettromagnetica risultavano inattaccabili.

La prima realtà intaccata da questa teoria fu il principio di relatività, formulato nel XVII secolo da Galileo. Esso afferma sostanzialmente che, in un sistema in moto rettilineo uniforme o in stato di quiete, i.e un sistema inerziale, vi è possibilità di definire delle leggi fisiche generali per la descrizione dei fenomeni in tale sistema. Questo principio asserisce inoltre una relazione tra un sistema S "fermo" -coordinate x,y,z- e un sistema S' in moto rettilineo uniforme rispetto al primo r r '-coordinate x',y',z'. Se infatti consideriamo un punto P, distante dall'origine di S e dall'origine ̄ ̄di S', possiamo affermare che:

2 2d r d r '̄ ̄= =0² ₂dt dt

per l'inerzia dei due sistemi. Integrando si ottiene:

d r d r '̄ ̄ v= + ̄ Rdt dtv , v , v=[v ]

nella quale è la velocità relativa tra i due sistemi; questa espressione fornisce una ̄ R X Y Z relazione vettoriale tra la velocità di P rispetto S e la sua velocità rispetto a S'.

Integrando ancora e considerando come istante iniziale il momento nel quale i due sistemi coincidono, si ha:

r r '+̄v t=̄̄ R

Queste ultime due relazioni sono l'espressione matematica del principio di relatività galileiano; è subito evidente che la prima è in contrasto con l'evidenza sperimentale dell'invarianza della velocità della luce. Negli ultimi decenni dell'Ottocento, si aprì un capitolo della storia della fisica che spesso viene denominato "Ricerca dell'Etere". In effetti, per smentire l'invarianza della velocità della luce e la sua possibilità di viaggiare nel vuoto, proprietà ricavate solo teoricamente da Maxwell, vennero fatti svariati esperimenti per provare l'esistenza di un mezzo fisico per la propagazione delle onde luminose, denominato etere luminifero. Esso però avrebbe dovuto essere solido, estremamente rigido seppure completamente fermo e intangibile corpo.

Un esperimento spesso citato fu quello ideato e fatto da Albert A. Michelson ed Edward Morley nel 1887. Tale prova consisteva nel verificare la variazione del pattern d'interferenza lasciato da un'onda luminosa su un rivelatore; infatti, in linea con il pensiero classico, si sarebbe dovuta verificare una variazione modificando la direzione del fascio luminoso rispetto alla direzione di rotazione e rivoluzione della Terra. In questo modo si variava la somma vettoriale delle velocità del fascio di luce, producendo pattern d'interferenza diversi. A tale scopo venne utilizzato quello che prende il nome di interferometro di Michelson.

L'interferometro -in figura- avrebbe permesso di suddividere un fascio di luce in due fasci che viaggiano seguendo cammini perpendicolari e vengono poi nuovamente fatti convergere su un rivelatore, attraverso degli specchi. Sfortunatamente, l'esperimento mostrò che, ruotando di un qualsiasi grado il sistema, la figura d'interferenza non presentava alcuna variazione. Questo esperimento, insieme a tanti altri, confutò definitivamente la possibilità della presenza dell'etere.

Un ventennio più tardi, su un articolo di un'importante rivista scientifica, Albert Einstein propose una nuova teoria che risolveva l'incompatibilità tra elettromagnetismo e la meccanica classica, distruggendo completamente due concetti: lo spazio e il tempo.

Einstein osservò innanzitutto che nelle relazioni di Galileo vi era un'ipotesi implicita: l'assolutezza del tempo. Infatti si è implicitamente supposto che la variabile t tempo fosse la medesima per entrambi i sistemi S ed S'. Questa invarianza non può essere data per scontata, anche se la realtà quotidiana ci porterebbe a pensare che lo sia; è dunque necessario introdurre una variabile temporale t' per il sistema S', differente da t, passando matematicamente ad una trattazione quadrivettoriale.

Rilassando l'ipotesi di invarianza del tempo, Einstein ne introdusse un'altra: l'invarianza della velocità della luce. Inoltre formulò il principio di relatività ristretta: le leggi della meccanica, dell'elettromagnetismo e dell'ottica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Einstein fece notare che le problematiche sorte tra elettromagnetismo e fisica classica erano figlie dell'utilizzo di trasformazioni di coordinate errate. Egli propose di adottare le trasformate che Hendrik A. Lorentz, come esercizio matematico, aveva formulato supponendo la velocità della luce costante. Einstein riuscì a sua volta a ricavarle autonomamente attraverso un approccio fisico.

Egli suppose di avere due sistemi S(x,y,z,t) e S'(x',y',z',t'), caratterizzati da tre coordinate spaziali e una temporale, in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro; si consideri poi un evento P. Per semplicità di trattazione, si consideri S' in moto con velocità di trascinamento lungo la coordinata x del sistema S; inoltre si supponga che per t'=t=0 si abbia S'≡S.

Tra tutte le relazioni possibili tra x e x' possiamo supporre che quella corretta sia lineare, data l'inerzialità dei sistemi:

x ' x+δ t (1)=γ

con γ e δ delle costanti arbitrarie. Si osservi ora che per x'=0 si ha x=vt e pertanto δ=−v γ

È dunque possibile riscrivere la correlazione (1) come:

x '=γ( x−vt (2))

mentre, invertendo quest'ultima, si ottiene:

x=γ ' x '+vt ' (3)( )

nella quale γ' è un coefficiente di proporzionalità ignoto. Sostituendo x' nella seconda è possibile ricavare una correlazione tra t e t':

1 1t ' x]=γ [t− (1− ) (4)v 'γ γ

Consideriamo ora la seguente situazione: si ipotizzi che all'inizio del moto di S' rispetto a S, dalle origini di questi ultimi, sia accesa una lampadina. Il fronte d'onda luminoso si presenterà in forma sferica e, supposta la sua velocità invariante per i due sistemi, si avranno le seguenti relazioni:

^{2 2 2 2 2}x y t+ +z =c ^{2 2 2 2 2}x ' y ' ' t '+ +z =c

Da esse è possibile ricavare una relazione la cui importanza verrà ripresa in seguito:

^{2 2 2 2 2 2 2 2 2}x y t x ' y ' ' t '+ +z −c = + +z −c

Nel caso in analisi S' si muove lungo la coordinata x, pertanto si ha che le altre due coordinate spaziali, y e z, saranno pari a y' e z'. Dunque:

^{2 2 2 2 2} (5)x t x ' t '−c = −c

Sostituendo ora la (2) nella (5) si ottiene un'equazione quadratica che può essere soddisfatta per qualsiasi valore di x e t solamente se tutti i coefficienti sono pari a zero [vedi 1.2.a]. In questo modo si ottiene che:

1 '=γγ= γ√ ²v1−( )