Psicometria: Teoria della misurazione, sistemi relazionali, scale di misura

COMBINAZIONI SENZA REINSERIMENTO:

nCkC(n,k,s)C(n,k)

FORMULA ⁿC_k = n! / k! (n-k)!

Per determinare le combinazioni è adatto solo il METODO TABELLA

COMBINAZIONI CON REINSERIMENTO

nCkC(n,k,c)C(n,k)

FORMULA C(n,k,c) = (n + k -1)! / k! (n-1)!

Per determinare le combinazioni è adatto solo il METODO TABELLA

5. TEORIA DELLA MISURAZIONE

MISURAZIONE CLASSICA: confrontare una grandezza con una unità di misura convenzionale

Misurare significa associare un numero ad un dato fenomeno della realtà

Significa in pratica porre in relazione un sistema relazionale empirico con un sistema relazionale numerico per mezzo di una FUNZIONE

Tale funzione deve essere un OMOMORFISMO

Sia ⟨X,R1,R2,...,Rn⟩ un sistema relazionale empirico e ⟨Y,S1,S2,...,Sn⟩ un sistema relazionale numerico, entrambi dello stesso tipo. Una funzione F con dominio X e codominio Y è detta:

Scala di Misura ⟺ F è un OMOMORFISMO tra X e Y

Ogni f(x) prende il nome di MISURA o SCALARE di X sotto F

La classificazione delle scale di misura dipende dalle proprietà di entrambi i domini e dell’OMOMORFISMO

I SISTEMI RELAZIONALI EMPIRICI sono tuttavia il principale oggetto di analisi e di controllo

Vi sono 4 tipi di SISTEMI RELAZIONALI EMPIRICI

1. SISTEMI RELAZIONALI CLASSIFICATORI

Sia X un insieme non vuoto e ~ una relazione binaria definita in X. Il sistema relazionale binario C = ⟨X,~⟩ è detto CLASSIFICATORIO se e soltanto se:

• ~ è riflessiva in X
• ~ è simmetrica in X
• ~ è transitiva in X

RELAZIONE DI EQUIVALENZA

COMBINAZIONI SENZA REINSERIMENTO:

nCkC(n,k,s)C(n,k)

FORMULA ⁿC_k = n! / k!(n-k)!

Per determinare le combinazioni è adatto solo il METODO TABELLA

COMBINAZIONI CON REINSERIMENTO

nCkC(n,k,c)C(n,k)

FORMULA C(n,k,c) = (n + k -1)! / k! (n-1)!

Per determinare le combinazioni è adatto solo il METODO TABELLA

5. TEORIA DELLA MISURAZIONE

MISURAZIONE CLASSICA:

confrontare una grandezza con una unità di misura convenzionale

Misurare significa associare un numero ad un dato fenomeno della realtà

Significa in pratica porre in relazione un sistema relazionale empirico con un sistema relazionale numerico per mezzo di una FUNZIONE

Tale funzione deve essere un OMOMORFISMO

Sia ⟨X,R1,R2,...,Rn⟩ un sistema relazionale empirico e ⟨Y,S1,S2,...,Sn⟩ un sistema relazionale numerico, entrambi dello stesso tipo. Una funzione F con dominio X e codominio Y è detta:

Scala di Misura ⇔ F è un OMOMORFISMO tra X e Y

Ogni f(x) prende il nome di MISURA o SCALARE di X sotto F

La classificazione delle scale di misura dipende dalle proprietà di entrambi i domini e dell'OMOMORFISMO

I SISTEMI RELAZIONALI EMPIRICI sono tuttavia il principale oggetto di analisi e di controllo

Vi sono 4 tipi di SISTEMI RELAZIONALI EMPIRICI

1. SISTEMI RELAZIONALI CLASSIFICATORI

Sia X un insieme non vuoto e ~ una relazione binaria definita in X. Il sistema relazionale binario C = ⟨X,~⟩ è detto CLASSIFICATORIO se e soltanto se:

• ~ è riflessiva in X
• ~ è simmetrica in X
• ~ è transitiva in X

RELAZIONE DI EQUIVALENZA

2. SISTEMI RELAZIONALI ORDINATI

Sia X un insieme non vuoto e ≤ una relazione binaria definita in X². Il sistema relazionale binario O = <X, ≤> è detto ORDINATO se e soltanto se:

• ≤ è transitiva in X² RELAZIONE D'ORDINE CONNESSA
• ≤ è connessa in X² (totalità)

Se ORDINE STRETTO il sistema relazionale ordinato è definito SERIE

Se ORDINE LARGO il sistema relazionale ordinato è definito QUASI SERIE

3. SISTEMI RELAZIONALI DELLE DIFFERENZA FINITI ED EQUISPAZIATI

Sia X un insieme non vuoto e < una relazione binaria nell'insieme X² (ovvero quaternaria in X). Il sistema relazionale quaternario D = <X, <> è detto Sistema delle Differenze Finito ed Equispaziato se e soltanto se:

• X è un insieme finito
• < è un ordine LARGO TOTALE in X² (transitiva, riflessiva, connessa)
• < soddisfa la legge dell'inversione di segno in X²
• < soddisfa la legge di monotonicità debole in X²
• Gli intervalli tra elementi contigui sono tra loro equivalenti

La distanza tra due elementi contigui è detta UNITÀ di MISURA

4. SISTEMI RELAZIONALI ADDITIVI

Il sistema relazionale A = <X,⁺,<> è detto sistema ADDITIVO se e soltanto se:

• < è un ordine largo totale in X² (transitiva, riflessiva, connessa);
• + soddisfa numerose proprietà formali (associatività, chiusura ecc.)

I Sistemi relazionali ADDITIVI hanno tutte le proprietà dei sistemi finiti ed equispaziati più altre ancora

Si chiamano anche SISTEMI ESTENSIVI CHIUSI E POSITIVI

Difficili da verificare nelle scienze umane

6. SCALE DI MISURA

È necessario verificare che esistano degli omomorfismi tra un sistema relazionale empirico X e un sistema relazionale numerico R: verifica dell'ESISTENZA

Non esiste ma un unico omomorfismo tra X e R ma è necessario individuare la famiglia di tutti gli omomorfismi possibili tra X e R: verifica dell'UNICITÀ

Da queste verifiche seguono le diverse SCALE DI MISURA

Trovare un omomorfismo tra il sistema relazionale empirico X e un sistema relazionale numerico R significa poter “rappresentare” la struttura del primo nel secondo.

IPOTESI DI RAPPRESENTAZIONE: ipotizzare l'esistenza di omomorfismi tra un sistema relazionale empirico e un sistema relazionale numerico

TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE: verificare l'ESISTENZA di tale famiglia di omomorfismi

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SCALE di misura che hanno lo stesso sistema relazionale empirico come dominio e lo stesso sistema relazionale numerico come codominio si dicono EQUIVALENTI

CLASSE delle SCALE EQUIVALENTI: insieme indicato con il simbolo M(X,R) di tutte le possibili scale di misura tra X ed R

CLASSE delle TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI: Sia S una scala di misura tra X e R e sia R* il sistema relazionale in tutto simile a R con la differenza che il suo dominio è limitato all'immagine S(X). Si chiama Classe delle Trasformazioni Permissibili, indicata con il simbolo Φ(R), l'insieme di tutti gli omomorfismi possibili tra il sistema relazionale R* con R.

CLASSE delle SCALE EQUIVALENTI e CLASSE delle TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI sono in CORRISPONDENZA BIUNIVOCA

Trovare la Classe delle Trasformazioni Permissibili di una data scala di misura significa poter “unificare” in un'unica famiglia un insieme di misurazioni possibili tra loro equivalenti.

Dunque ipotizzare l’esistenza di tale classe tra un sistema relazionale empirico ed uno numerico prende comunemente il nome di “Ipotesi di Unicità”, mentre individuare effettivamente tale famiglia di funzioni equivale a dimostrare il “Teorema di Unicità”.

DIMOSTRARE il TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE e il TEOREMA di UNICITA’, sono condizioni NECESSARIE e SUFFICIENTI ad individuare una specifica classe di SCALE di MISURA.

4 tipologie di SCALE di MISURA

SCALE DI MISURA NOMINALE

Sia X un sistema relazionale empirico e R un sistema relazionale numerico, ed S una scala di misura tra X ed R. La funzione S con dominio X e codominio Y è detta SCALA di MISURA NOMINALE se e solo se l'insieme delle trasformazioni permissibili Φ per S è la collezione delle funzioni numeriche biunivoche con dominio S(X) e codominio R.

In questo tipo di scale i numeri sono impiegati come dei nomi, come delle etichette

Adatte per misurare sistemi empirici CLASSIFICATORI

In questo caso la misurazione consiste nell’assegnare lo stesso numero a oggetti che fanno parte della stessa classe di equivalenza.

SCALE DI MISURA ORDINALE

Sia X un sistema relazionale empirico e R un sistema relazionale numerico, ed S una scala di misura tra X ed R. La funzione S con dominio X e codominio Y è detta SCALA di MISURA ORDINALE se e solo se l'insieme delle trasformazioni permissibili Φ per S è la collezione delle funzioni numeriche STRETTAMENTE CRESCENTI con dominio S(X) e codominio R.

In questo tipo di scale l’ordine lineare tra i numeri viene impiegato per rappresentare un ordine TOTALE stretto o largo di un dato sistema empirico.

Adatte per misurare sistemi empirici ORDINATI

In questo caso la misurazione consiste nell’assegnare numeri di sempre maggior grandezza agli oggetti della successione della serie empirica e, numeri uguali agli oggetti che fanno parte della stessa classe di equivalenza di una quasi-serie empirica.

Si usa per rappresentare ordini, senza che la distanza tra gli elementi sia significativa.

Non sono significative differenze e rapporti tra i numeri.

esempi :

• scala Mohs per la durezza dei minerali
• scala Mercalli per intensità dei terremoti
• gradi militari
• bambino, giovane, adulto
• assai buona
• pessimo, cattivo, discreto, buono, ottimo
• scala Likert a 5 pt.