Psicometria

VARIABILI E MISURAZIONE

Cos’è una variabile?

-Una variabile è una caratteristica di un soggetto appartenente a un

gruppo, che è stata misurata e può assumere categorie diverse da

caso a caso (variabile indip./dip.).

Variabili quantitative Variabili categoriali

I cui valori osservabili sono in I cui valori sono rappresentati

numeri (età…) da categorie (genere, titolo di

studio ecc.)

Ciascuna variabile ha delle proprie modalità/valori: es. Genere=

Maschio, Femmina…; Ansia= punteggio di un test.

Variabili discrete Variabili continue

Se assume come suoi valori Se assume come suoi valori

numeri distinti (numeri naturali) l’insieme dei numeri reali in un

(es. 0,1,2,3…) continuum infinito

Le scale di misura di una variabile, cosa sono e quali sono?

(Stevens, 1951)

Scala nominale CLASSIFICAZIONE: CATEGORIALE

attribuisco ciascun caso

a una certa categoria,

dopo averli numerati.

Operazione: conteggio

frequenze (che formano

ciascuna categoria).

Variabile dicotomica=

due sole categorie.

ordine

Scala ordinale Metto in le ORDINALE e

variabili e stavolta il CATEGORIALE

numero non rappresenta

la quantità posseduta

ma, la posizione.

(scolarizzazione e ordino

in base alla

PREFERENZA).

Operazione: conteggio

frequenze.

Scala a intervalli Classifico secondo un QUANTITATIVE e

ordine le varie DISCRETA/CONTI

frequenze/variabili. Ogni NUA e METRICA

variabile è associata a

un numero secondo la

sua grandezza. Non

zero

possiede uno

assoluto ma

convenzionale (numeri

negativi e positivi).

Operazione: addizione e

sottrazione.

Scala a rapporti Si classificano le QUANTITATIVE e

frequenze seguendo un DISCRETA/CONTI

ordine e a partire da 0. NUA e METRICA

Ogni variabile è

associata a un numero

secondo la sua

grandezza. Non ha valori

negativi in quanto lo 0

indica assenza di una

certa caratteristica.

Operazione: addizione,

sottrazione,

moltiplicazione e

divisione.

Ogni scala possiede le caratteristiche della precedente e lo stesso

vale per le operazioni possibili da svolgere.

Su che base decido che scala usare?

-Dipende dalla definizione operativa della variabile e dal suo uso

nella ricerca.

(statistica descrittiva) DESCRIVERE I DATI (Distribuzione di

frequenza)

Frequenza assoluta (n di unità con quella caratteristica) =

j

Quante volte una certa caratteristica (f ) è stata osservata nel/nei

i

campione/i, dove X è una variabile che vogliamo misurare e la n, il

numero di unità che presentano quella caratteristica (f ).

i

Distribuzione di frequenza assoluta= formata dalle varie

caratteristiche/modalità di X (x ) e le loro rispettive frequenze.

i Σ n

mi=1

La somma di tutte le frequenze con Σ è il sigma.

1.

Frequenza che si indica con: f .

i

Frequenza relativa (di una modalità) = la frazione di unità che

presentano tale caratteristiche/modalità (fr= f/n).

Frequenza cumulata relativa= la somma delle frequenze relative

sino alla modalità considerata.

Frequenza cumulata assoluta= la somma delle frequenze

assolute sino alla modalità considerata.

INDICI DI TENDENZA CENTRALE

Moda (Mo, È il valore o Si usa con

Mod) categoria che variabili

più ricorre nella misurate con

distribuzione. tutte le scale

di misura.

Mediana Il valore che Per variabili -Casi dispari:

(Me, Mdn) occupa la su scala PosMe= (n+1)/2

posizione ordinale o più -Casi pari:

centrale della alte. n/2<PosMdn<(n/

distribuzione. 2)+1

Valore dove al

di sopra e al di

sotto stanno il

50% dei casi.

Si usa per

calcolare:

-frequenza

cumulata.

-posizione.

-calcolare i casi

in modo

crescente.

Media (M= Somma delle Solo con

campioni; misure, diviso il variabili e

μ= numero delle scale

popolazione) osservazioni quantitative.

fatte. -internalità

È il centro di (tra minimo e

gravità e massimo)

risente sia del -la somma

valore più degli scarti

grande che si della media=

discosta dai 0 (x-M)+…

valori più in

voga, sia dal

valore più

piccolo

(outlier). Tende

a spostarsi

verso la coda

più lunga. A

causa di outlier

a volte è

meglio la Me o

trimmed mean.

(x = generica osservazione; n= totale dei casi osservati; k=numero

i

dei diversi valori)

INDICI DI DISPERSIONE O DI VARIABILITÀ

Campo di variazione (CV)= x -x . Sottrazione tra il valore più

max min

grande e il più piccolo della distribuzione.

Devianza (Dev)= la somma degli scarti della media al quadrato.

Elevando al quadrato non diamo importanza al segno degli scarti e

la sua unità di misura è il quadrato dell’unità di misura della

variabile.

Varianza (s²) = si fa una media degli scarti della media elevati al

quadrato. È un indice sintetico della variabilità. La varianza è

sempre > o = a 0 e non è mai negativa. La varianza può essere

usata per capire dove si trovano i casi; infatti, più è minore e più i

casi sono vicino alla media; più è maggiore, più sono dispersi

attorno alla media.

Deviazione standard (s=campione; σ=popolazione) = è la

varianza sotto radice. La sua unità di misura è uguale a quella della

media e simile alla varianza misura la dispersione intorno alla

media. È molto influenzata dai dati anomali o outliers. Come la

varianza è sempre > o = a 0. Si può ottenere s=0 ma solo quando

tutte le osservazioni sono uguali. Più grande è la variabilità intorno

alla media, più grande sarà la devianza standard.

-Sia la varianza che la deviazione standard possono essere calcolate

a partire dai dati grezzi.

Coefficiente di variazione (CV)= (s/M)100= è un indicatore di

variabilità relativa e determina la dispersione dei dati usando la

media come unità di misura.

INDICI DI POSIZIONE

Ci danno informazioni su una certa variabile, al di sotto della quale

troviamo un certo numero di altre osservazioni. Si trovano solo nelle

variabili misurate a partire dalla scala ordinale E sono:

Quartili La distribuzione si divide in 4 PosQ =[(n+1)/4]x1 o 2

1

parti uguali e si possono o 3

trovare 3 quartili. 1°= sotto

si hanno il 25% dei valori;

2°= 50%; 3°= il 75%

Decili La distribuzione si divide in PosD = [(n+1)/10]x1 o

1

10 parti uguali con 9 decili e 2 o…

ciascun decile a partire dal

10, 20, 30 %...delle variabili

sotto di sé.

Percenti La distribuzione si divide 100 PosP = [(n+1)/100]x 1

1

li parti uguali con 99 percentili. o 50 o 64…

Come si calcolano?

1. Ordinare in ordine crescente le variabili

2. Calcolare le frequenze cumulate

3. Dopo aver calcolato quei tre, cercare nella distribuzione, il

valore alla quale corrispondono.

Cos’è la standardizzazione e a cosa serve?

La standardizzazione definisce la posizione di un soggetto che si

trova nella distribuzione di frequenza e posso quindi poi

confrontarlo con prestazioni in diverse distribuzioni dello stesso

soggetto oppure confrontare le prestazioni di soggetti diversi in

distribuzioni di frequenza diverse.

Cosa sono i punti z?

Sono i valori x dell’i-esimo soggetti trasformati in z e rappresentano

la distanza dalla media espressa in deviazioni standard.

-Per capire se un valore è sopra o sotto la deviazione standard basta

sommare o sottrarre tra loro la media e la deviazione standard. La

media è rappresentata dallo 0 e la deviazione standard dall’1. È

anche per questo che i punti z hanno segno – o +, per farci capire

se sono sotto o sopra la media.

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

Grafico a Si usa per variabili qualitative. L’altezza delle barre

barre rappresenta la frequenza assoluta (il numero delle

osservazioni) o frequenza relativa o percentuale

(parte delle osservazioni).

Istogramma Si usa per variabili quantitative (infatti è una

rappresentazione grafica di una distribuzione di

frequenza).

Curva Si usa con variabile con molti valori e alta

continua frequenza. Può essere negativa= quando ha un

picco verso dx o positiva= con picco verso sx.

Box-plot La tacca al centro= mediana o 50° percentile

La tacca sopra= 75° percentile

La tacca sotto= 25° percentile

E alle estremità il valore minimo (in basso) e il

valore massimo (in alto).

DESCRIVERE RELAZIONI TRA VARIABILI

È un’analisi bivariata in quanto metto a confronto due variabili e lo

posso fare per due motivi:

relazione di covariazione (relazione simmetrica) = quanto al variare

di x varia y

relazione causale (relazione asimmetrica) = quando x causa y

La definizione delle variabili con rispettive scale di misura:

Variabile Tabelle di frequenza

nominale

Variabile Tabelle di frequenza

ordinale

Variabile a Diagramma di dispersione e coefficiente di

intervalli correlazione

Variabile a Diagramma di dispersione e coefficiente di

rapporti correlazione

Tabelle semplici 1 variabile

Tabelle a doppia entrata 2 variabili

Tabelle a entrata multipla Più di 2 variabili

Le tabelle di frequenza che raccolgono i dati della distribuzione di

frequenza:

Le tabelle a doppia entrata (tabelle di contingenza) :

-I dati si classificano secondo 2 variabili.

-Le frequenze si calcolano tenendo conto delle combinazioni fra le

variabili .

Frequenze Distribuzio Percentuale

di cella ne congiunta

(f ) congiunta di cella

ij

Frequenze Distribuzio Percentuale Percentuali

di riga (f .) ne marginale condizionate di

i marginale di riga riga= cella/riga

x 100

Frequenze Distribuzio Percentuale Percentuali

di colonna ne marginale condizionate di

(f ) marginale di colonna colonna=

.j cella/colonna x

100

Frequenze Somma dei

totali marginali

RELAZIONI TRA VARIABILI

Diagramma di dispersione: le variabili indipendenti sulla x e le

dipendenti sulla y e ciascuna osservazione è un punto (P).

Quando si ha una relazione lineare?

-quando la nube di punti sul diagramma può essere approssimata a

una retta.

Per capire l’intensità (o grado) della relazione tra le variabili, si

guarda quanto sono distanti i punti dalla retta. E poi guardiamo

anche la direzione della relazione. E il tipo di relazione . Tutto ciò ci

serve per mettere in evidenza la relazione tra le variabili. I due

indici quantitativi che ci aiutano sono la covarianza (al variare di

una varia l’altra (relazione simmetrica) e la correlazione.

Covarianz Misura il grado di associazione Media del prodotto

a di due variabili. Dipende degli scarti delle

dall’unità di misura delle medie.

variabili e per questo si

preferisce usare un indice che

non dipenda dalle unità di

misura:

Correlazione di È la media dei Il segno del prodotto

Pearson prodotti dei punteggi può essere positivo

x e y standardizzati. (se entrambi

Nessuna unità di assumono valori

misura perché r non superiori o inferiori

ne ha. alle medie) o

negativo (se una

Rapporto tra la variabile assume

covarianza delle due valore superiore e

variabili e il prodotto l’altra valore

delle loro deviazioni inferiore alla media).

standard -Invece la

correlazione assume

valore positivo (con

relazione positiva tra

x e y; 1= tutti i punti

su pendenza

positiva; quando

varia x interessa

direttamente anche

y), negativo

(relazione negativa

tra x e y; -1;

aumentano i gelati

quando

diminuiscono i

prezzi) o nullo (se le

variabili sono

indipendenti; 0).

Correlazione= Anche senza una relazione lineare, q