Psicometria e Analisi dei dati

La varianza

La varianza si indica con σ² se si tratta di dati osservati su campioni. Si indica con μ² se si tratta di distribuzioni teoriche.

Esempio: in un test di personalità 10 adolescenti hanno ottenuto i seguenti risultati: 8 9 5 4 7 8 9 7 4 3. Per calcolare la varianza prima devo calcolare la media per poi calcolare gli scarti dalla media al quadrato, dividendo il tutto per il numero totale dei soggetti.

I valori ottenuti dal calcolo della varianza sono dei valori sempre positivi perché si calcola il quadrato della somma degli scarti dalla media e una elevazione a potenza con indice pari ha sempre risultato positivo. Inoltre, maggiore è la varianza più i casi sono dispersi attorno alla media, al contrario minore è la varianza più i casi sono concentrati intorno alla media.

Il limite della varianza è che calcolando il quadrato otteniamo delle misure con una grandezza "quadratica" che non coincide con

30 Appunti di Psicometria e Analisi dei Dati

Quella di tutti gli altri dati già in nostro possesso, quindi l'indicatore di dispersione che chiamiamo scarto quadratico medio o deviazione standard. È l'indicatore principale ed è anche chiamato deviazione standard o scarto quadratico medio di deviazione standard. Possiamo definirla come la radice quadrata della varianza, quindi si tratta di un indicatore di dispersione con unità di misura uguale a quella della media e quindi di più facile comprensione e direttamente confrontabile con la media stessa. Indica di quanto mediamente i dati osservati si discostano dalla loro media.

Esistono delle formule che consentono di calcolare tramite dei dati grezzi la varianza o la deviazione standard, ossia senza calcolare la media e i singoli scarti dalla media. Media e deviazione standard sono sempre indicate perché hanno delle particolarità, ossia, nelle distribuzioni simmetriche unimodali, circa i 2/3 delle osservazioni cadono nell'intervallo tra M (media) e

± 1 S (deviazione standard) Il 95% si situano tra M e ± 2 S

Il 99% si situano tra M e ± 3 S

Coefficiente di variazione non è un vero e proprio indicatore di dispersione ma è una dispersione relativa perché è il rapporto tra il valore della deviazione standard e la media.

Visto che hanno lo stesso ordine di grandezza noi possiamo utilizzare questi due indicatori per avere ulteriori informazioni. media deviazione standard

Il coefficiente di variazione sintetizza il rapporto tra la deviazione standard e la media ed è indicato in questo modo: S ∗ 100V = M media unità di misura.

Determina la dispersione dei dati osservati mediante l'uso della deviazione standard. Questo consente di confrontare anche distribuzioni che hanno medie diverse.

È un indicatore di variabile relativa.

31 Appunti di Psicometria e Analisi dei Dati

10. distribuzione e standardizzazione delle misure

Argomenti: standardizzazione, distribuzione normale + vdlz 12-13, distribuzione normale

standardstandardizzazionel'uso più immediato degli indicatori di media e deviazione standard è quello di consentire la standardizzazione delle misure o dei punteggi che si può effettuare solo a livello delle scale a rapportiequivalenti perché così si ha uno zero assoluto e non arbitrario (nel caso di una scala a intervalli equivalenti un punteggio singolo non dice nulla perché devo avere un termine di paragone perché assuma significato, al contrario per quelle a rapporti equivalenti) perché la standardizzazione è necessaria quando vogliamo avere un'idea della posizione che il soggetto occupa nell'ambito di un gruppo, ma è anche necessaria quando vogliamo confrontare due prestazioni dello stesso soggetto. Standardizzare una misura significa quindi riferire la misura stessa ad una scala standard con media e varianza note il cui scopo principale è quello di rendere i dati direttamente confrontabili.

(caratteristica che i dati grezzi in se non possiedono se vengonomantenuti nella loro composizione originale). La scala più comune nell’ambito della ricerca è la scala definitastandard zo che ha media 0 e varianza 1. Questa scala si ottiene trasformando, tramite una apposita formula ipunti zpunteggi x in punteggi z. I indicano la posizione dei dati in termini di distanza dalla mediaattraverso il numero di deviazioni standard.

Proprietà caratteristiche dei punti z:

1. somma algebrica: La somma dei punti z è uguale a zero perché la formula deriva dal calcolo degli scarti dalla media diviso la deviazione standard ma sappiamo che la somma degli scarti è uguale a zero
2. media: Quindi, anche la media dei punti z è zero
3. sommatoria dei quadrati: La sommatoria dei quadrati dei punti z è uguale a n
4. Se consideriamo la deviazione standard e la varianza (quadrato della deviazione standard) avremo come risultato 1 sia per la varianza che per la deviazione standard dei punti z.

standardsvantaggi:Questa scala presenta due i punteggi grezzi

I. Prevedendo una media pari a zero, inferiori alla media hanno punti standard disegno negativo (se ho un punteggio inferiore alla media, conosco la deviazione standard e anche lamedia e trasformo il punteggio in un punto z, ottengo un valore negativo come -2 e questo significache il soggetto si posiziona a -2 deviazioni standard dalla media dei soggetti)

II. La scala standardizzata fa largo impiego di decimali.

Distribuzione normale32 Appunti di Psicometria e Analisi dei DatiLe distribuzioni vengono riportate su dei grafici o meglio su dei piani cartesiani dove nell'asse delle ordinatevengono messe le frequenze mente nell'asse orizzontale, quindi quello delle ascisse, vengono riportati i varipunteggi e si è visto che nella rappresentazione di dati ottenuti da dei campioni sufficientemente grandi eeterogenei, in cui si misurava una variabile psicologica, si è visto che la rappresentazione assume una

La forma a campana è determinata dal fatto che la maggior parte dei punteggi si concentri attorno ad un valore medio. Quindi c'è una tendenza a situarsi nei valori medi della popolazione di riferimento e gli estremi della rappresentazione sono rari. Quindi con la rappresentazione degli istogrammi, la stessa rappresentazione si può ridurre ad una forma a campana, ma non sono i dati ad assumere una curva. È un riferimento importante per chi opera nel contesto della psicologia e fa riferimento a variabili casuali continue, inoltre riveste un ruolo importante anche nella teoria della probabilità e in psicologia. Si può descrivere con una forma particolare del distribuiti normalmente.

Proprietà della distribuzione normale:

1. La distribuzione è perfettamente simmetrica all'ordinata massima e presenta una forma a campana
2. La media la moda e la mediana coincidono perché sono tutti indicatori di tendenza centrale

Psicometria e Analisi dei Dati

eventi indipendenti e teoremi relativi:

1. il principio della somma
2. il principio del prodotto

la distribuzione binomiale

la distribuzione normale + vdlz 10

tavole della distribuzione binomiale e normale

distribuzione t

concetto di probabilità

frequenze:

il concetto di probabilità non ha una definizione univoca ma la più intuitiva è basata sulle probabilità che si verifichi un evento è uguale alla frequenza (relativa) con cui l’evento si verifica in un numero di prove sufficientemente grande, ripetute nelle medesime condizioni. Questa definizione consente di conoscere la probabilità soltanto a posteriori, ossia, dopo aver effettuato le prove, quindi è applicabile solo agli eventi ripetibili, cioè quegli eventi che possono essere ripetuti nelle medesime condizioni. Una definizione meno frequentista, estesa di quella ma storicamente precedente alla stessa, ritiene che la probabilità sia il

Rapporto casi favorevoli quelli possibili. Tra i e Secondo la teoria frequentista non è possibile definire la probabilità in base ad un'unica prova, bensì le prove devono essere ripetute. Pertanto, la probabilità basata sulla frequenza relativa (posizione frequentista) non corrisponde alla probabilità teorica.

Eventi indipendenti

Si definisce evento uno dei possibili risultati di una prova. P(A), evento contrario La probabilità di un evento generico A viene indicata con ma esiste anche un con P(non A).

Le probabilità dell'evento generico e quello contrario (quindi P(A) e P(non A)) definiscono tutti i possibili esiti della prova. Quindi: ossia la probabilità dell'evento certo).

Somma di tutti i possibili eventi è = 1 (probabilità dell'evento certo).

Eventi indipendenti

Due eventi si definiscono indipendenti quando il verificarsi dell'uno non influenza la probabilità di verificarsi dell'altro.

Ad esempio, se lancio la moneta la probabilità di avere al decimo lancio, è sempre 1/2 anche se nei lanci precedenti l'evento "testa" si è verificato poche volte.

Due eventi si definiscono mutualmente escludenti se il verificarsi dell'uno non consente il verificarsi dell'altro. Per esempio gli eventi "faccia" e "faccia" (di un dado ad esempio) sono mutualmente escludenti perché il verificarsi dell'uno esclude la possibilità del verificarsi dell'altro.

Due eventi si definiscono non indipendenti quando il verificarsi di uno, modifica la probabilità di verificarsi dell'altro. Ad esempio, nelle estrazioni del lotto, quando si estrae un numero non si reinserisce nell'intera gamma di possibilità, quindi ad ogni estrazione si modifica la probabilità che vengano estratti gli altri numeri.

34 A