Propulsione aerospaziale - prese d'aria

V

= + u (X.16)

h h

06 u 2

da cui si ricava: γ −

1

 

γ

T p γ

( ) (X.17)

 

= − = − = −

u u

V 2 h h 2 c T 1 2 RT 1  

γ

u 06 u p 06 06

−

T 1 p

 

06 06

dove possiamo definire un rendimento dell’ugello:

γ −

1

 

p γ (X.18)

η  

= − u

1  

u p

 

06

che è un rendimento di trasformazione dell’energia termica in energia cinetica nell’ugello.

Infatti risulta: 2

V 2

η = u (X.19)

u h

06

Se poniamo il rendimento η = 1 cioè per espansione nel vuoto, si ottiene la massima

u

velocità di efflusso per un dato valore dell’entalpia di ristagno:

= (X.20)

V 2h

lim 06

Ricordando la (I.16) e la (I.14) si comprende l’interesse della (X.17). Si può notare infatti

come l’Impulso specifico sia funzione di due contributi: l’energia termica contenuta nel

propellente, dipendente dal processo di combustione o dal sistema di riscaldamento del

propellente, e il suo grado di sfruttabilità, dipendente dall’ugello.

Mettiamo maggiormente in evidenza questo concetto.

145

Se riprendiamo la espressione della Spinta (I.11) e sostituiamo in essa la (X.15) e la (X.17).

Otteniamo: ( ) ( )

γ η

= + − (X.21)

S f p A p p A

06 cr u u a u

Osservando che la Spinta è una forza, possiamo introdurre un coefficiente di spinta c tale

f

che: =

S c p A (X.22)

f 06 cr

Risulta quindi:  

p p A

( )  

γ η

= + −

u a u

c f (X.23)

 

f u p p A

 

06 06 cr

che rappresenta il contributo del divergente alla Spinta. Se in un serbatoio a pressione p 0

facciamo un foro di sezione critica su questa sezione si esercita una forza pari a p A . Se

0 cr

invece aggiungiamo un tratto divergente con sezione di uscita A otteniamo una forza pari

u

alla (X.22). Il c è quindi un numero > 1 e può essere considerato quindi un coefficiente di

f

amplificazione della spinta.

Riprendendo l’espressione della spinta (I.12) si può definire un altro coefficiente, la

velocità caratteristica c*, che risulta essere:

p A RT

=

* 06 cr

c

= 06

=

m c c p A → → (X.24)

*

 c

⋅ ( )

p f 06 cr γ

f

m u

per cui in definitiva possiamo scrivere:

= * (X.25)

c c c

f

Essendo c = I g la (X.25) mette quindi in evidenza i due contributi diversi all’Impulso

sp 0

specifico secondo quanto abbiamo detto.

La velocità caratteristica è un parametro molto comodo per confrontare tipi diversi di

propellenti o processi di combustione in motori al banco con processi uguali a quelli che si

realizzano nello stesso motore nello spazio, si prescinde infatti dall’ugello e dalle

condizioni di efflusso.

Soffermiamoci ora sul coefficiente di spinta, che è invece un parametro caratterizzante

l’ugello.

Coefficiente di Spinta

Dalla (X.23) si deduce che il coefficiente di spinta c è funzione di:

f

 

p A

 

γ

= a u

c f , , (X.26)

 

f p A

 

06 cr

per cui possiamo diagrammare il c in funzione di ε = A /A (Fig. X.29) al variare di

f u cr

λ=p /p

a 06.

Su ogni curva si individua un punto di massimo che corrisponde alla condizione di

progetto. 146

Valori più grandi di ε comportano, a parità di λ, un funzionamento in sovraespansione

(Fig.X.30), si verifica cioè la condizione per cui:

p p

>

u a (X.27)

p p

06 06

Figura X.29

condizione corrispondente ai punti al di sopra del punto caratteristico G del diagramma di

Fig. X.28. Figura X.30

Su ogni curva di Fig. X.29 si individua inoltre un punto corrispondente alla condizione per

cui si verifica il distacco della corrente dalle pareti e quindi il punto dopo il quale non è

valido il modello di flusso unidimensionale con cui è stato ricavato il diagramma.

147

Valori più piccoli di ε comportano, a parità di λ, un funzionamento in sottoespansione (Fig.

X.31), si verifica cioè la condizione per cui:

p p

>

u a (X.28)

p p

06 06

condizione corrispondente ai punti al di sotto del punto caratteristico r del diagramma di

3

Fig. X.28.

La condizione di massimo c si dimostra corrispondere alla condizione di ugello adattato

f

cioè alla condizione per cui: p p

=

u a (X.29)

p p

06 06

Figura X.31

Riprendendo la (X.22) e sostituendo in essa la (I.11), la (X.15) e la (X.17) si ha:

⋅  

m V p p A

S    (X.30)

= = + −

u u u a u

c  

f p A p A p p A

 

0 cr 06 cr 06 06 cr

differenziando la (X.30) con le ipotesi :

=

p cos t

a =

p cos t (X.31)

0 =

A cos t

cr

si ottiene: 148

     

m dV A p p A p A

      

= + + − =

u u u u u u a u

dc d d d

     

f p A A p p A p A

     

06 cr cr 06 06 cr 06 cr (X.32)

   

A A p p

( )    

ρ

= + + ⋅ −

u u u a

V dV dp d    

u u u u

p A A p p

   

06 cr cr 06 06

per la conservazione della quantità di moto nell’ugello si ha:

ρ + =

V dV dp 0 (X.33)

u u u u

per cui la (V.32) diventa:    

p p A

   

= −

u a u

dc d (X.34)

   

f p p A

   

06 06 cr

da cui: dc p p

f = − =

u a 0 (X.35)

( )

d A A p p

u cr 06 06

Quindi il massimo c lo si ha quando si verifica la (X.29). In tal caso l’ugello si dice

f

adattato e l’espansione corretta. Il coefficiente di spinta corrispondente prende il nome di

coefficiente di spinta caratteristico e per la (X.23) risulta pari a:

( )

γ η

=

 (X.36)

c f

f u

Variazione della Spinta con la quota

Se consideriamo un ugello adattato a quota zero e ne calcoliamo la Spinta (o il coefficiente

di spinta) al variare della quota si ottiene la curva in Fig. X.32. Nella stessa Figura è

riportato l’andamento della Spinta in un ugello continuamente adattato.

Figura X.32

Dimensionamento di un ugello convenzionale convergente-divergente

149

Da quanto detto finora si deduce che al fine di ottenere una spinta elevata, per assegnate

condizioni a monte, conviene adattare l’ugello a quote elevate ma ciò implica un

funzionamento in condizioni di sovraespansione per quote inferiori. Se tale ugello è il

generatore di spinta di un razzo vettore o di una navetta spaziale, questo tipo di scelta è

senz’altro da escludere. Infatti è consuetudine adattare l’ugello a quota zero anche se ciò

comporta una limitazione nella spinta ottenibile a quote più elevate. In qualche caso (nel

motore principale dello Shuttle americano, ad esempio) si adotta un ugello estendibile per

cui ad una certa quota si può sfruttare il maggior rapporto di espansione per avere una

maggiore spinta.

Il problema della scelta della quota di adattamento non si pone per razzi di manovra o stadi

superiori. In tal caso la limitazione al rapporto di espansione ottenibile è dettata

dall’ingombro.

Scelta la quota di adattamento, e quindi il rapporto di espansione, è noto il numero di Mach

f°

all’uscita M . A questo punto è facile determinare dalla (X.36) il c e dalla equazione della

u

continuità il rapporto delle aree A /A . Assegnata la spinta, dalla (X.22) si ricava l’A e

u cr cr

quindi è nota anche l’A . L’area d’ingresso del convergente in genere coincide con la

u

sezione della camera di combustione ma come detto per gli aeroreattori, non ha una grande

rilevanza da un punto di vista fluidodinamico.

Profili di ugelli convenzionali

La geometria del convergente è in genere tronco-conica e l’angolo di semiapertura del

cono è scelto cercando un compromesso fra una lunghezza che non sia eccessiva e una

inclinazione della parete non troppo grande. Quest’ultima opzione comporterebbe

problemi di esposizione a flussi termici per irraggiamento troppo elevati.

La geometria del divergente ha invece una importanza notevole. Nel calcolare la spinta

abbiamo considerato il flusso unidimensionale e la velocità diretta lungo l’asse. Per

ottenere ciò il profilo del divergente deve essere disegnato con la teoria delle caratteristiche

ovvero deve essere esso stesso linea di corrente. Ma un tale profilo (ugello isoentropico)

risulta molto lungo e inoltre funziona in modo corretto solo nella condizione di progetto.

Pertanto un tale ugello non è un ugello propulsivo.

L’ugello conico è il più banale e semplice da realizzare. In tal caso si avrà chiaramente una

perdita di spinta in quanto la componente della velocità utile per la spinta è solo quella

lungo l’asse. E’ ovvio quindi che si dovrà pervenire ad un compromesso anche in questo

caso fra una lunghezza non eccessiva e una perdita di spinta non eccessiva.

La perdita di spinta purtroppo ha un andamento sinusoidale con l’angolo di semiapertura

del cono per cui anche un angolo di 18° comporta una perdita di spinta del 2.5%. In genere

si sceglie un angolo α ~ 15° e si adopera un tale ugello per piccoli endoreattori.

L’ugello più adoperato è quello a campana (detto anche bell-shaped, a parabola, di Rao).

Esso è basato su un principio: quello per cui, al fine di ridurre la lunghezza del divergente

oppure le perdite di spinta rispetto a quello conico, è necessario dapprima espandere molto

rapidamente il flusso e poi raddrizzarlo più o meno bruscamente in modo che nella sezione

di uscita sia quasi assiale. 150

L’ugello a campana è quello che soddisfa questo principio massimizzando la spinta in

funzione della lunghezza del divergente, della pressione ambiente e della curvatura della

zona di gola.

In questo ugello il numero di Mach nella sezione di uscita non è costante ma è più grande

vicino all’asse e più piccolo nelle vicinanze della parete. In Fig. X.33 è mostrato uno

schema di tale ugello confrontato con uno conico con α = 15°

Nei riguardi del fenomeno del distacco si è notato che in un ugello a campana, adattato alla

st