Probabilità e Statistica

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SOMMARIO TEORIA

CAPITOLO 0: LABORATORIO .................................................................................................................... 5

ARRAY ........................................................................................................................................................................................ 5

CICLO FOR ................................................................................................................................................................................ 5

MEDIA, MODA E MEDIANA ............................................................................................................................................. 6

INTEGRALI............................................................................................................................................................................... 6

GRAFICI ..................................................................................................................................................................................... 7

CAPITOLO 1: Introduzione ....................................................................................................................... 8

INTRODUZIONE: concetti base ...................................................................................................................................... 8

STATISTICA ..................................................................................................................................................................... 10

PROBABILITÀ...................................................................................................................................................................... 10

PRINCIPIO FONDAMENTALE DEL CALCOLO COMBINATORIO............................................................. 10

PRINCIPIO FONDAMENTALE GENERALIZZATO .......................................................................................... 10

DISPOSIZIONI ................................................................................................................................................................. 11

COMBINAZIONI ............................................................................................................................................................. 11

BINOMIO DI NEWTON ............................................................................................................................................... 12

ALCUNI CONCETTI: ..................................................................................................................................................... 12

POPOLAZIONI E SOTTOPOPOLAZIONI .............................................................................................................. 15

PROBABILITÀ CONDIZIONATA ............................................................................................................................. 16

SISTEMI IN SERIE ......................................................................................................................................................... 16

SISTEMI IN PARALLELO ........................................................................................................................................... 17

LEGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE .............................................................................................................. 17

FORMULA DI BAYES ................................................................................................................................................... 17

CAPITOLO 2: Variabili aleatorie ........................................................................................................... 18

VARIABILI ALEATORIE .................................................................................................................................................. 18

SPAZIO CAMPIONARIO INDOTTO ............................................................................................................................. 18

FUNZIONE INDICATRICE DI UN INSIEME............................................................................................................. 19

TIPOLOGIE DI VARIABILI ALEATORIE ................................................................................................................... 19

VARIABILI ALEATORIE DISCRETE ...................................................................................................................... 19

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE..................................................................................................................... 20

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE ..................................................................................................................................... 20

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DI UNA V.A. DISCRETA ............................................................................... 21

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FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DI UNA V.A. CONTINUA ............................................................................. 22

COSTANTI CARATTERISTICHE (O INDICI) ........................................................................................................... 22

VALORE ATTESO (O MEDIA) DI UNA V.A. ........................................................................................................ 23

VARIANZA DI UNA V.A. .............................................................................................................................................. 23

VALORE ATTESO DI g(X) .......................................................................................................................................... 24

MODA DI UNA V.A. ....................................................................................................................................................... 25

MEDIANA DI UNA V.A. ............................................................................................................................................... 25

QUANTILI DI UNA V.A. ............................................................................................................................................... 25

DISTRIBUZIONI PER LE V.A. DISCRETE ................................................................................................................. 26

DISTRIBUZIONE UNIFORME .................................................................................................................................. 26

DISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICA (estrazioni semplici) ..................................................................... 27

DISTRIBUZIONE BINOMIALE (estrazione con reinserimento) ............................................................. 29

DISTRIBUZIONE DI POISSON ................................................................................................................................. 31

APPROSSIMAZIONE BINOMIALE – POISSON ................................................................................................. 32

DISTRIBUZIONE GEOMETRICA ............................................................................................................................. 32

DISTRIBUZIONI PER LE V.A. CONTINUE ............................................................................................................... 33

DISTRIBUZIONE UNIFORME .................................................................................................................................. 33

DISTRIBUZIONE NORMALE .................................................................................................................................... 35

STANDARDIZZAZIONE .............................................................................................................................................. 36

APPROSIMAZIONE BINOMIALE/NORMALE ................................................................................................... 37

DISTRIBUZIONE GAMMA ......................................................................................................................................... 37

DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE ........................................................................................................................ 39

PROCESSO DI POISSON ............................................................................................................................................. 40

TRASFORMAZIONI DI V.A. ............................................................................................................................................ 41

BEST PRACTICES ............................................................................................................................................................... 42

CAPITOLO 3: DISTRIBUZIONI CONGIUNTE E CONDIZIONATE ...................................................... 44

DETERMINARE SE DUE V.A. SONO CONGIUNTE ............................................................................................... 44

DISCRETE ......................................................................................................................................................................... 44

CONTINUE ....................................................................................................................................................................... 44

DISTRIBUZIONI PER V.A. CONGIUNTE ................................................................................................................... 44

DISCRETA ......................................................................................................................................................................... 44

PER DISCRETE E CONTINUE .................................................................................................................................. 45

DISTRIBUZIONI PER V.A MARGINALI ..................................................................................................................... 46

DISCRETE ......................................................................................................................................................................... 46

CONTINUE ....................................................................................................................................................................... 46

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DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE............................................................................................................................... 47

DISCRETE ......................................................................................................................................................................... 47

CONTINUA ....................................................................................................................................................................... 47

MEDIA PER VARIABILI ALEATORIE CONGIUNTE ............................................................................................ 47

DISCRETE ......................................................................................................................................................................... 47

VARIANZA PER VARIABILI ALEATORIE CONGIUNTE .................................................................................... 48

PROPRIETÀ DELLA VARIANZA ............................................................................................................................. 48

MEDIA CAMPIONARIA .................................................................................................................................................... 49

MEDIA E VARIANZA DELLA MEDIA CAMPIONARIA ........................................................................................ 49

INDIPENDENZA TRA V.A. CONGIUNTE .................................................................................................................. 50

COVARIANZA DI V.A. ....................................................................................................................................................... 50

PROPRIETÀ DELLA COVARIANZA ....................................................................................................................... 50

CORRELAZIONE ................................................................................................................................................................. 51

MATRICE DELLE COVARIANZE .................................................................................................................................. 51

LA NORMALE BIVARIATA in R ................................................................................................................................... 51

FUNZIONE DI PROBABILITÀ (= DISTRIBUZIONE) CONDIZIONATA DI V.A. ........................................ 52

DISCRETE ......................................................................................................................................................................... 52

CONTINUE ....................................................................................................................................................................... 52

SOMMA DI V.A. INDIPENDENTI ................................................................................................................................. 52

DISUGUAGLIANZA DI CHEBYSHEV .......................................................................................................................... 53

LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI (LGN) ............................................................................................................ 54

TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE .......................................................................................................................... 54

CAPITOLO 4: SIMULAZIONI DI MONTE CARLO ................................................................................. 55

METODO DELL’INVERSIONE ....................................................................................................................................... 55

METODO DELL’ACCETAZIONE/RIFIUTO .............................................................................................................. 56

LEGGE DEI GRANDI NUMERI ...................................................................................................................................... 56

IL METODO DI MONTE CARLO ................................................................................................................................... 57

CAPITOLO 5: CATENE DI MARKOV....................................................................................................... 58

COSA SONO LE CATENE DI MARKOV ...................................................................................................................... 58

DEFINIZIONI BASE ........................................................................................................................................................... 58

SPAZIO DEGLI STATI .................................................................................................................................................. 59

CATENA DI MARKOV .................................................................................................................................................. 59

MATRICE DI TRANSIZIONE ..................................................................................................................................... 59

TRANSIZIONI ....................................................................................................................................................................... 60

TRANSIZIONE A 2 PASSI ........................................................................................................................................... 60

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TRANSIZIONE A n PASSI ........................................................................................................................................... 61

DISTRIBUZIONI MARGINALI ....................................................................................................................................... 61

RANDOM WALK (PASSEGGIATA ALEATORIA) .................................................................................................. 62

NORMALE ........................................................................................................................................................................ 62

RANDOM WALK CON BARRIERE ......................................................................................................................... 62

SIMULAZIONE DI UNA PASSEGGIATA ALEATORIA .................................................................................... 62

CATENA REGOLARE ........................................................................................................................................................ 63

DISTRIBUZIONE STAZIONARIA ................................................................................................................................. 63

CATENA STAZIONARIA .................................................................................................................................................. 64

Pag. 4 a 138

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CAPITOLO 0:

LABORATORIO

ARRAY

• c(val1, val2, val3, ….):

Questo è metodo per creare un array contenente i

o valori indicati.

• length(x):

Restituisce la lunghezza del vettore “x” passato come

o parametro.

• which(condizioni che utlizzano array):

In pratica questo comando restituisce le posizioni degli

o elementi dell’array sottoposto alla/alle condizione/i

che soddisfano tale/i condizione/i.

Esempio: Qui di seguito creo un array casuale e applico

o which scegliendo di ottenere solo le posizioni dei valori

uguali a 0 o a 10:

> u = c(3, 1, -4, -5, 10, 1, -15, 0, 1)

> which(u == 0 | u == 10)

[1] 5 8

CICLO FOR

• for(i in val1 : val2){…} : Pag. 5 a 138

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Questo modello di ciclo for itera il contenuto delle

o parentesi graffe finchè “i” va dal valore “val1” fino a

“val2”, permettendo di usare “i” come indice in ogni

iterazione.

Si può usare l’indice per accedere alle posizioni degli

o array da 1 fino alla lunghezza sua massima.

• for(act in vect){…}:

Questo metodo (ciclo