Precorso di matematica per Ingegneria

DIVISIONE TRA POLINOMI

Viene assegnato il polinomio p(x).Tale polinomio deve essere diviso per un secondo polinomio b(x) t.c. il suo grado sia inferiore a quello di p(x).Il risultato è un polinomio q(x) t.c. p(x) = q(x) * b(x) + r(x) (dove con r(x) si è indicato il polinomio “resto”).Qualora il grado di b(x) fosse di grado superiore a p(x) si ha che q(x) = 0 e r(x) = p(x).

ESEMPIO CON SPIEGAZIONE:

4X⁴ + 3X³ + 5X² + X - 6 : 3X²+ 2X + 1 = ?

Moltiplichiamo il polinomio divisore per 4/3 X, in questo modo il risultato della moltiplicazione sarà un polinomio tale che, sottratto al polinomio dividendo, annullerà il termine 4X⁴.(3X² 2X + 1) * (4/3 X²) = 4X⁴ + 8/3X³ +4/3 X².Sottraiamo il polinomio così ottenuto da quello di partenza:4X⁴ + 3X³ + 5X² + X - 6 - (4X⁴ + 8/3X³ +4/3 X²) = 1/3 X³+ 11/3 X² + X - 6

Moltiplichiamo adesso il polinomio divisore per 1/9 X, in questo modo il risultato della moltiplicazione sarà un polinomio tale che, sottratto a 1/3 X³ + 11/3 X² + 6, annullerà il termine 1/3 X³.(3X² 2X + 1) * (1/9 X) = 1/3 X³ +2/9 X² + 1/9 X.Sottraiamo il polinomio così ottenuto da: 1/3 X³+ 11/3 X² + X + 61/3 X³+ 11/3 X² + X + 6 - (1/3 X³ +2/9 X² + 1/9 X) = 31/9 X²+ 8/9 X + 6

Moltiplichiamo adesso il polinomio divisore per 31/27, in questo modo il risultato della moltiplicazione sarà un polinomio tale che, sottratto a 31/9 X²+ 8/9 X + 6, annullerà il termine 31/9 X².(3X² 2X + 1) * (31/27) = 31/9 X² + 62/27 X + 31/27.Sottraiamo il polinomio così ottenuto da: 31/9 X²+ 8/9 X + 631/9 X²+ 8/9 X + 6 - (31/9 X² + 62/27 X + 31/27) = 38/27 X + 131/27

Il resto ha stavolta un grado inferiore al polinomio divisore, dunque la divisione è finita, ed il polinomio di partenza risulta scomposto. Il risultato è:

4X⁴ + 3X³ + 5X² + X - 6 : 3X²+ 2X + 1 = 4/3 X² + 1/9 X + 31/27

RESTO: - 38/27 X + 131/27

DIVISIONE TRA POLINOMI

Viene assegnato il polinomio p(x).Tale polinomio deve essere diviso per un secondo polinomio b(x) t.c. il suo grado sia inferiore a quello di p(x).Il risultato è un polinomio q(x) t.c. p(x) = q(x) * b(x) + r(x) (dove con r(x) si è indicato il polinomio “resto”).

Qualora il grado di b(x) fosse di grado superiore a p(x) si ha che q(x) = 0 e r(x)= p(x).

ESEMPIO CON SPIEGAZIONE:

4X⁴ + 3X³ + 5X² + X - 6 : 3X²+ 2X + 1 = ?

Moltiplichiamo il polinomio divisore per 4/3 X, in questo modo il risultato della moltiplicazione sarà un polinomio tale che, sottratto al polinomio dividendo, annullerà il termine 4X⁴.(3X²+ 2X + 1) * (4/3 X) = 4X⁴ + 8/3X³ +4/3 X².

Sottraiamo il polinomio così ottenuto da quello di partenza:4X⁴ + 3X³ + 5X² + X - 6 - (4X⁴ + 8/3X³ +4/3 X²) = 1/3 X³+ 11/3 X² + X - 6

Moltiplichiamo adesso il polinomio divisore per 1/9 X, in questo modo il risultato della moltiplicazione sarà un polinomio tale che, sottratto a 1/3 X³+ 11/3 X² + X - 6, annullerà il termine 1/3 X³.(3X² + 2X + 1) * (1/9 X) = 1/3 X³ +2/9 X² + 1/9 X.

Sottraiamo il polinomio così ottenuto da: 1/3 X³+ 11/3 X² + X - 61/3 X³+ 11/3 X² + X - 6 - (1/3 X³ +2/9 X² + 1/9 X) = 31/9 X²+ 8/9 X - 6

Moltiplichiamo adesso il polinomio divisore per 31/27, in questo modo il risultato della moltiplicazione sarà un polinomio tale che, sottratto a 31/9 X²+ 8/9 X - 6, annullerà il termine 31/9 X².(3X²+ 2X + 1) * (31/27) = 31/9 X²+ 62/27 X + 31/27.

Sottraiamo il polinomio così ottenuto da: 31/9 X²+ 8/9 X + 631/9 X²+ 8/9 X + 6 - (31/9 X² + 62/27 X + 31/27) = - 38/27 X + 131/27

Il resto ha stavolta un grado inferiore al polinomio divisore, dunque la divisione è finita, ed il polinomio di partenza risulta scomposto. Il risultato è:

4X⁴ + 3X³ + 5X² + X - 6 : 3X²+ 2X + 1 = 4/3 X² + 1/9 X + 31/27

RESTO: -38/27 X + 131/27

SISTEMI DI EQUAZIONI