Precorso di matematica per Ingegneria

DIVISIONE TRA POLINOMI

Viene assegnato il polinomio p(x).Tale polinomio deve essere diviso per un secondo polinomio b(x) t.c. il suo grado sia inferiore a quello di p(x).Il risultato è un polinomio q(x) t.c. p(x) = q(x) * b(x) + r(x) (dove con r(x) si è indicato il polinomio "resto").Qualora il grado di b(x) fosse di grado superiore a p(x) si ha che q(x) = 0 e r(x) = p(x).

ESEMPIO CON SPIEGAZIONE:

4X^4 + 3X^3 + 5X^2 + X - 6 : 3X^2 + 2X + 1 = ?

Moltiplichiamo il polinomio divisore per 4/3 X^2, in questo modo il risultato della moltiplicazione sarà un polinomio tale che, sottratto al polinomio dividendo, annullerà il termine 4X^4.

(3X^2 + 2X + 1) * (4/3 X^2) = 4X^4 + 8/3X^3 +4/3 X^2.

Sottraiamo il polinomio così ottenuto da quello di partenza:4X^4 + 3X^3 + 5X^2 + X - 6 - (4X^4 + 8/3X^3 +4/3 X^2) = 1/3 X^3+ 11/3 X^2+ X + 6

Moltiplichiamo adesso il polinomio divisore per 1/9 X, in questo modo il risultato della moltiplicazione sarà un polinomio tale che, sottratto a 1/3 X^3+ 11/3 X^2+ X + 6, annullerà il termine 1/3 X^3.

(3X^2 + 2X + 1) * (1/9 X) = 1/3 X^3 +2/9 X^2 + 1/9 X.

Sottraiamo il polinomio così ottenuto da: 1/3 X^3+ 11/3 X^2+ X + 61/3 X^3+ 11/3 X^2+ X + 6 - (1/3 X^3 +2/9 X^2 + 1/9 X) = 31/9 X^2+ 8/9 X + 6

Moltiplichiamo adesso il polinomio divisore per 31/27, in questo modo il risultato della moltiplicazione sarà un polinomio tale che, sottratto a 31/9 X^2+ 8/9 X + 6, annullerà il termine 31/9 X^2.

(3X^2+ 2X + 1) * (31/27) = 31/9 X^2 + 62/27 X + 31/27.

Sottraiamo il polinomio così ottenuto da: 31/9 X^2+ 8/9 X + 631/9 X^2+ 8/9 X + 6 - (31/9 X^2 + 62/27 X + 31/27) = - 38/27 X + 131/27

Il resto ha stavolta un grado inferiore al polinomio divisore, dunque la divisione è finita, ed il polinomio di partenza risulta scomposto. Il risultato è:4X^4 + 3X^3 + 5X^2 + X + 6 : 3X^2+ 2X + 1 = 4/3 X^2 + 1/9 X + 31/27

RESTO: - 38/27 X + 131/27

SISTEMI DI EQUAZIONI

Risolvere un sistema di equazioni significa determinare quei valori delle incognite che soddisfano tutte quante le equazioni del sistema. Affinché questo sia possibile, occorre che il sistema sia composto da tante equazioni quante sono le incognite. (es. sistema di due equazioni con due incognite):

a1 x + b1 y = c1a2 x + b2 y = c2

Anche in questo caso, non è però detto che ci siano due sole soluzioni e distinte: potrebbero ancora non esserci soluzioni o essercene infinite. Diremo dunque che il fatto che siano presenti tante equazioni quante sono le incognite del sistema è una condizione necessaria ma non sufficiente.

Affinché le soluzioni siano solo due e distinte occorre poi che non si verifichino le seguenti condizioni:

1. a1 = a2b1 = b2c1 ≠ c2

Oppure:a1 ≠ a2b1= b2c1 = c2

Oppure:a1 = a2b1≠ b2c1 = c2

→ NON CI SONO SOLUZIONI (SISTEMA IMPOSSIBILE)

a1 = ka2b1 = kb2c1 = kc2

→ CI SONO INFINITE SOLUZIONI (SISTEMA INDETERMINATO). Solo una delle due equazioni è infatti significativa.

I sistemi di equazioni possono essere risolti in quattro modi:

1. METODO DI SOSTITUZIONE;
2. METODO DI CONFRONTO;
3. METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE;
4. METODO DI KRAMER:

Disequaz. 2° Grado:

• 5x - 2 + 2x²
• -2x² + 5x - 2 ≥ 0
• 2x² + 5x + 2 ≤ 0

Vediamo dove la parabola si annulla:

2x² - 5x + 2 = 0

Δ = 25 - 16 = 9 = 3² ⇒ Δ > 0 ∃ x₁ ≠ x₂ ∈ ℝ

x₁ = ^{5 - 3}/₄ = ¹/₂

x₂ = ^{5 + 3}/₄ = 2

La parabola si annulla per questi due valori. È positiva dentro o fuori questo intervallo?

Vediamo: f(0) = 2

⇒ Se vogliamo i valori positivi dobbiamo prendere valori esterni all’intervallo.

Se negativi, quelli dentro: x ∈ [¹/₂, 2] = S

Sistemi di Disequaz.

Esempio:

• 6x² - 19x + 15 ≥ 0
• 5x² - 13x + 8 > 0

Risolviamole separatamente:

6x² - 19x + 15 ≥ 0

Disequaz. Fratte:

• ^{3 - x}/_{2x - 5 - x²} ≥ 0

↦ forma canonica: ^{- x + 3}/_{- x² + 2x - 5} ≥ 0

La frazione ≥ 0 se si verificano due condizioni.

1. - x + 3 ≥ 0 - x² + 2x - 5 > 0

∪

1. - x + 3 ≤ 0 - x² + 2x - 5 ≤ 0

Si risolvono i due sistemi separatamente:

1. x ≤ 3 ● Δ = 4 - 4·5 < 0 => nessun valore soddisfi l'equaz - x² + 2x - 5 = 0 L'equazione non si annulla mai. - x² + 2x - 5 è o tutta positiva o tutta negativa. Es f(②) = - 1 + 2 - 5 => È sempre negativa! ⇒ S = ∅ La prima e la seconda equaz. del sistema ① non hanno punti comuni

1. x ≥ 3 • - x² + 2x - 5 ≤ 0 sempre: l'abbiamo visto prima ⇒ S = soluz equaz ① + soluz equaz ② (parte comune) S = x ≥ 3

↦ SOLUZIONE FINALE.

• 2x²-1 > √5x²-1Dev'essere √5x²-1 > 0x < -√5/5 oppure √5/5

(2x²-1)² > 5x²-14x⁴+1-4x² > 5x²-14x⁴+9x²+2 > 0y = x²

y si determina normalm. con procedim appena visti.

• √x²-4x+3 > x+2

D

• x²-4x+3 > 0x+2 < 0

∪

• x > 3x < 1x+2 > 0x²-4x+3 > (x+2)²

-FINE-

|x-3| = 0 se x > 0

-|x-3| = 0 se x < 0

||2x+1|-5| > 2

• 2x+1 se 2x+1 > 0 ovvero x > -1/2
• -2x-1 se 2x+1 < 0 ovvero x < -1/2

Diviene:

• |2x+1-5| > 2 se x > -1/2
• |2x-1-5| > 2 se x < -1/2

Si risolvono separatamente.

1) |2x-4| > 2

• 2x-4 > 2 se 2x-4 > 0 => x > 2 (e x > -1/2)
• -2x+4 > 2 se 2x-4 < 0 => x < 2 (e x > -1/2)

• Primo caso:
• 2x > 6 => x > 3 (rientra nelle condizioni: ✓)
• x > 3
• Secondo caso:
• -2x > -2 => x < 1 => (x sarà compreso tra 1 e -1/2)

2) |-2x-6| > 2

• -2x-6 > 2 se -2x-6 > 0 => x < -3 (e x < -1/2)
• 2x+6 > 2 se -2x-6 < 0 => x > -3 (e x > 1/2)

• Primo caso:
• -2x-6 > 2
• x < -4 => (rientra nelle condizioni: ✓)
• x < -4

Equazioni esponenziali e logaritmiche

2^x + 4^x = 272

2^x (2^2x) = 272

2^x + (2^x)² = 272

Poniamo: 2^x = t

t² + t - 272 = 0

t = -17 oppure +16

t non può essere

2^x = 16

x = 4

27^x/4 [(3^x)² - 13] + 3^(x+2) = 0

(3^x)³ (3^x)² - 13 (3^x)³ + 3^x ⋅ 3² = 0

(3^x)⁵ / 4 - 13 ⋅ (3^x)³ / 4 + 3^x ⋅ 3² = 0

(3^x)⁵ - 13(3^x)³ + 4 ⋅ 3^x ⋅ 3² = 0

(3^x)⁴ ⋅ (13)(3^x)² + 36 = 0

t = (3^x)² => E si risolve l’equazione di secondo grado.

t = 9 (la soluzione negativa non ci interessa) o 4

{3^2x = 43^2x = 2²3^x = 2 => x = log₃2}

{3^2x = 93^2x = 3²x = 1}