Polinomio e regola di ruffini

Polinomio e regola di Ruffini

Introduzione alla regola di Ruffini

La regola di Ruffini è un procedimento che permette di trovare il quoziente e il resto di una divisione tra polinomi, quando conosciamo una radice dell'equazione. Se P(x) è un polinomio in x e r è un suo zero (P(r) = 0) e p è il grado massimo di x, possiamo scrivere:

P(x) = (x - r) • Q(x) + R

dove Q(x) è il quoziente della divisione e R è il resto, di grado minore di (x - r) cioè costante.

Procedimento

• Si scrivono i coefficienti del polinomio in riga, compreso l'ultimo detto "termine noto".
• Si scrive poi la radice (ma con il segno cambiato).
• Si abbassa il primo coefficiente del polinomio nel quoziente e lo si moltiplica per la radice; il prodotto si scrive sotto il secondo coefficiente.
• Si sommano il secondo coefficiente ed il nuovo termine ottenuto, e si moltiplica la somma per la radice. Il prodotto si scrive sotto il terzo coefficiente.
• Si va avanti fino a formare il resto, che sarà l'ultima somma.
• Tutti i termini intermedi costituiscono il quoziente.

Polinomi in una variabile

La forma generale di un polinomio è:

p(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₂ x + a₀

dove n ∈ ℕ₀, a₀, a₁, ... a_n ∈ ℝ; x è la variabile, a_i i coefficienti.

a₀ è detto anche termine noto; se a_n ≠ 0 è detto coefficiente direttore. deg(p(x)) indica il grado del polinomio.

Esempi:

• p(x) = x³ + x / 2 + 5   deg p = 3
• q(x) = 2x + 1   deg q = 1
• a(x) = -3   deg a = 0
• b(x) = 0   deg b = -∞  -  Polinomio nullo

Principio di identità dei polinomi

Siano i polinomi:

p(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₁ x + a₀

q(x) = b_n xⁿ + b_n-1 x^n-1 + ... + b₁ x + b₀

Se p(x) = q(x) ∀ x ∈ ℝ, allora p = q sono lo stesso polinomio, nel senso che sono uguali i coefficienti.