Geometria delle masse, Scienza delle costruzioni

STATICA DEI CORPI RIGIDI

Tratteremo:

• Prodotto scalare
• Prodotto vettoriale

Primo concetto fondamentale: FORZA

È un'entità della meccanica definita come causa di perturbazione dello stato di un corpo (stato di un corpo può essere di 2 tipi, moto e in quiete).

Una forza è individuata da parametri fondamentali. E sono 4:

• Punto di applicazione
• Modulo |F| [N]
• Direzione r
• Verso

(direzione r: traiettoria individuata la giacitura della forza)

Verso: per convenzione si effettuano le operazioni sui vettori.

Il punto di applicazione P di una forza, stabilisce se è presente la proposta di verso. Una forza si dice applicata se è definito il punto di applicazione.

Un vettore è libero se non ha punto di applicazione ma è individuato dalla sua giacitura. (Forza di gravità: vettore applicato...)

È importante stabilire che tipo di corpi stiamo studiando:

CORPI RIGIDI

A differenza dei corpi deformabili hanno una caratteristica fondamentale. Un corpo rigido è un sistema di punti materiali la cui lentezza e la distanza tra 2 punti qualunque del corpo si mantiene costante nel tempo, indipend. dalle eventuali sollecitazioni a cui è proprio esposto.

Su un corpo rigido qualunque ma le punto di appessione, la deformazione non cambia.

Se il corpo è deformabile, lo deform. varia in base al punto di applicazione.

Cerchiamo di capire ora il comportamento di una forza rispetto a un punto.

Momento di una forza (vettore libero)

Immaginiamo di aver definito

P. Ora P su cui viene individuata retta r, direzione della forza,

e immaginiamo di essere applicata nel punto P.

Vogliamo capire come si comporta questa forza in riferimento al punto

Q (definito polo della forza F)

Possiamo individuare una retta fondam., detta braccio, ortogonale,

individuando la distanza di quella retta r, quindi

la componente ortogonale

M (Q) = (P - Q) x F

Ottengo un vettore che è ortogonale del piano individuato

Per il verso di M (Q) → regola della mano destra

Posso scrivere il momento sotto forma di matrice

M (Q) =

• [ e_x e_y e_z ]
• [ x_P - x_Q y_P - y_Q z_P - z_Q ]
• [ F_x F_y F_z ]

e_x e_y e_z vettore di modulo unitario

componenti di F in riferimento ai 3 vettori

Possiamo definire una coppia distribuita

Immagini una superficie Ω

Ω, M = ∫ m(P) dΩ

questo è un integrale di superficie (no lineare) quindi è un integrale doppio

Esempio vela

Conc. Equivalenza

2 sistemi S₁ e S₂

Si dicono equivalenti se hanno stessa R risultante e stesso momento ^umile rispetto generico polo Q

{ - R₁ = R₂ R₁ del sistema S₁ = R₂ del sistema S₂

{ - Q, M₁(Q) = M₂(Q) assegnato generico punto Q

Facile da dimostrare: perché se i 2 sistemi hanno stessa risultante, posso isolare ma in questo calcolo numerante è nulla, quindi x

M(Q) = M₁(Q) - M₂(Q) sotto costante, quindi qualunque posizione scelgo, le R(a) = 0

Un sist. di forze S è equivaleuteli a un sistema composto dalla ciluritania dell sistema stesso applicata in un certo punto Q e ad un a coppia Q pari al momento ciluronte.

Esercizio

con applicaz. dei princ. lavoro virtuale(Stesso es. di prima)

• La prima cosa da fare è scegliere un campo di spostamento uguale e int.ermo a due sistemi.
• Immaginiamo di scegliere come campo di spost. una rotazione intorno a AB.

Se scelgo una rotaz. intorno a B di una quantica φ. (Naturalm. sarà:

• μ(D), μ(E), μ(B) = 0, μ(A) ≠ 0

Scegliamo una rotazione intorno a B

Scriviamo le coordinate dei punti:

• Le coordinate: B(-a,0) C(-a,a)
• A(0,0) D(0,a)
• v_B = 0
• w_B = 0
• φ_B ≠ 0

c'è solo la rotazione

Posso scrivere la μ(B) nelle sue componenti →

• v_B traslazione verticale
• w_B traslazione orizzontale
• φ_B rotazione

Ora definiamo E = - R VETTORE EQUILIBRANTE DEL SISTEMA DI FORZE

Per Trovare l’equilibrio di un sistema di forze, basta determinarne le poligono poi fare in modo che le forze si incontrino. E quindi del vettore equilibrante partendo dall’ultimo punto dell’ultima forza e congiungendo con il punto di applicazione del primo.

S = { (P_i, F_i) } i = 1, … 5 in questo caso.

L’ho sostituito con S’ = { (P, R) }

Ma posso anche scrivere S’’ = { (P, E) } SISTEMA EQUILIBRANTE del sistema di forze iniziale.

Se faccio (S + S’’) SISTEMA EQUILIBRATO

DECOMPOSIZIONE VETTORIALE

dei forze

Determinare il sistema aventi le rette assegnate equivalente all'unica forza assegnata.

• Questo problema presenta 3 casi:
• vogliamo scomporre _{r1 e r2 concorrenti in ∩ ∊ r}
• (direzione della forza per cui vogliamo applicare decomposizione)
• - r₁ e r₂ concorrenti in ∩ ≠ r (r: direzione forza assegnata)
• - r₁ e r₂ || r

• Per ciascun determ se esiste una soluzione ed è UNICA, esiste una sola soluz: PROBL. DETERMINATO

  Se ne esistono + soluz: PROBL. INDETERM.

  SE NON " " " " IMPOSSIBILE.

Analizziamo il caso:

• r₁ e r₂ concorrenti in ∩ ∊ r

Abbiamo la nostra forza R

trovare di decomporla in r₁ e r₂

r₁ e r₂ concorrono in uno stesso punto. In questo caso Possibile e Determinato

esiste 1 sola soluzione

Registro 3^a PARTE

Trave incernierata in A e con carrello in B, caricata da una forza F verticale

Determinare le reaz. dei 2 vincoli

Risolvere quindi se problema dell'equilibrio di questa trave sogg. a F

Si risolve con E.E.S. (equilibrio)

E.C. STATICA

• R = 0
• M(O) = 0 Ɐ O

La reaz. del vincolo in B deve essere verticale

La reaz. del vincolo in A è una qualsiasi forza E alla stella diretta di centro A, che per semplicità di calcolo scomponiamo nelle 2 direzioni, verticale e orizzontale

Immaginiamo di inserire un sist. di rif. y e z con il centro del sistema coincidente con A

Noi ci occuperemo di sistemi piani e continui

(Integrale non più triplo ma di superficie)

Sempl: \(\rho(X) = 1 = \text{cost}\)

Quindi \(M(B) = \int_A \rho(X) dA = \rho \int_A dA = \rho A\)

Per i sistemi piani e continui:

La massa è direttamente proporzionale a densità ed area

Torniamo al caso generale.

Def. Baricentro

Il centro del sist. è un vettore di modulo \(\rho(X) dV\) tra di loro applicato nell’esimo elemento ininfluente dV

Dimostriamo che scelto O genero che è in espiro

Il punto G è individuato secondo questa espressione

\(G - O = \frac{1}{M(B)} \int_B \rho(X) (X - O) dV\)

Calcoliamo i momenti statici

S_x = ∫_B^b y da = ∫₀^a y dx dy = ∫₀^a dx ∫₀^b y dy = 1/2 a b²

S_y = ∫_A^a x da = ∫₀^a x dx dy = ∫₀^a x dx ∫₀^b dy = 1/2 a² b

Adesso determiniamo le coordinate del baricentro

x_G = S_y/A = 1/2 a² b/ab = 1/2 a = a/2

y_G = S_x/A = 1/2 ab²/ab = 1/2 b = b/2

Abbiamo dimostrato che il baricentro è il punto d'incontro delle 2 diagonali