Geometria delle masse, Scienza delle costruzioni

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

⁽¹⁾ GEOMETRIA DELLE MASSE

Sono per un esame corpi denominati come REGIONI REGOLARI del piano, altrimenti FIGURE PIANE, cioe' insiemi CONNESSI CHIUSI con interno NON VUOTO e con frontiera costituita da un numero finito di curve regolari.

NOTAZIONI

Prendiamo un esame un piano π dello SPAZIO GEOMETRICO EUCLIDEO e si denoti O in particolare punto di π. E' possibile istituire una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA tra punti P che formano π ed i vettori applicati ad O

P ⇔ (O, _χ) : _χ = OP

Si conviene di denotare con il simbolo V₂ lo spazio vettoriale di dimensione due costituito da vettori liberi ordinari.

Fissata una BASE ORTONORMALE {_e1, _e2} in V₂, ossia una coppia di vettori ortogonali di modulo unitario. Si denoti con {O, _e1, _e2} il SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO ORTONORMALE definito dall'origine O e dalla base {_e1, _e2}

Con i simboli: x₁ e x₂ si denotino le componenti del vettore _χ = OP rispetto alla base {_e1, _e2}. Tali componenti sono dette COORDINATE CARTESIANE del punto P relativo a {O, _e1, _e2}

Con x₁ x₂

Scienza delle Costruzioni

1. Geometria delle Masse

Sono perciò un insieme corpi assimilatrabili come regioni regolari del piano, chiamate figure piane, cioè insiemi connessi chiusi con interno non vuoto e con frontiera costituita da un numero finito di curve regolari.

Notazioni

Prendiamo in esame un piano π dello spazio geometrico euclideo ₂ e si denoti O un particolare punto di π.È possibile istituire una corrispondenza biunivoca tra tutti i punti P che formano π ed i vettori applicati ad O

P ↔ (O, →x) : →x = _OP ̄

Si conviene di denotare con il simbolo V₂ lo spazio vettoriale di dimensione due costituito da vettori liberi ordinari.

Fissate una base ortonormale {ξ₁, ξ₂} di V₂, ossia una coppia di vettori ortogonali di modulo unitario. Si denoti con {O, ξ₁, ξ₂} il sistema di riferimento cartesiano ortonormale definito dall’origine O e dalla base {ξ₁, ξ₂}

Con i simboli: x₁ e x₂ si denotino le componenti del vettore →x = _OP ̄ rispetto alla base {ξ₁, ξ₂}Tali componenti prendono delle coordinate cartesiane x₁, x₂

Frequentamente si usa il simbolo X₁ per la coordinata x₁ (ascissa)e Y₂ la coordinata x₂ (ordinata)

MOMENTI STATICI

DISTANZA ORIENTATA

Siano r una retta orientata del piano P e un punto P₁. Si definisce DISTANZA ORIENTATA di P da r, la scalare δ_m coincidendo con la distanza ordinaria del punto dalla retta, sempre che esso giaccia alla sinistra di un osservatore che percorre la retta r nel verso positivo; quando è posto nel piano del disegno e lo stesso ruota in alto, la tale distanza è alla destra di tale lettore allora è NEGATIVA

La retta r divide il piano π in due semipiani:

• quello a sinistra r il semipiano POSITIVO π'
• quello a destra r il semipiano NEGATIVO π''

VETTORE DEI MOMENTI STATICI S₀

Si considera una figura piana Σ contenuta nel piano π e si denoti con ρ(X) la sua densità di massa per unità di superficie. La dimensione di ρ è quindi quella di una massa diviso una lunghezza al quadrato

• [ρ] = [M L^-2]

π piano π' r riferito ad un sistema di assi cartesiani {O, x₁, x₂}

Detto m la massa di Σ, è nullo:

• m = ∫_Σ ρ dΣ
• [m] = [M L⁰ T⁰]

In particolare se ρ è costante

• ρ = ρ/Σ dΣ = ρΑ

Si definiscono MOMENTI STATICI DI MASSA (o del primo ordine) della figura Σ rispetto agli assi cartesiani x₁ e x₂, le quantità scalari:

• p=cost => S₁^(m) = -∫_Σ ρ x₂ dΣ = -∫_Σ ρ x₂ dΣ
• [S₁] = [M L¹ T⁰]
• p=cost => S₂^(m) = -∫_Σ ρ x₁ dΣ
• [S₂] = [M L¹ T⁰]

Si definiscono MOMENTI STATICI DI AREA (o semplicemente momenti statici)

• [S₁] = [L³ T⁰]
• [S₂] = [M⁰ L³ T⁰]

In definitiva:

• S₁^(m) = ρ S₁^(m)