Cinematica e Statica delle Travature con Esercizi, Scienza delle costruzioni

Richiami di cinematica dei corpi rigidi

27 Marzo 2014

Cinematica

Cinematica, descrizione dell'evoluzione della posizione dei punti che compongono un corpo materiale, indipendentemente dalle cause che determ.

Indicato con B il corpo materiale, l'unica profig. fisica richiesta è quella di occupare regione dello spazio euclideo E.

Infatti perciò B si identifica con una regione R dello.

Si dice configurazione del corpo, qualunque regione di E che esso può occupare; fra queste tenevissa una in particolare, che viene chiamata config. di riferimento Ω.

∃ punti P ∈ Ω vengono detti punti materiali.

Studiare l'evoluzione significa studiare la funzione f, detta determinazione, che descrive l'evoluzione delle configurazioni di B nello spazio:

f: Ω → E.

Funzione deve essere biunivoca, regolabile.

∃ posso ad ogni punto P della configurazione: corrisponde f(P) della configurazione detta attuale.

P ≃ f(P).

Richiami di cinematica dei corpi rigidi

27 Marzo 2014

Cinematica

Cinematica, descrizione dell'evoluzione della posizione dei punti che compongono un corpo materiale, indipendentemente dalle cause che determinano tale evoluzione.

Indicato con _B il corpo materiale, l'unica proprietà fisica richiesta è quella di occupare regioni dello spazio escludendo _E.

In altre parole _B si identifica con una regione _Λ dello spazio.

Si dice configurazione del corpo, qualunque regione di _E che esso può occupare; fra queste tenetene fissa una in particolare, che viene chiamata configurazione di riferimento _Λ.

I punti _{P ∈ Λ} vengono detti punti materiali.

A noi vogliamo studiare l'evoluzione di questi punti ∈ _E.

Studiare l'evoluzione → significa studiare la funzione _f, detta di deformazione, che descrive l'evoluzione delle configurazioni di _B nello spazio:

_{f: Λ → E}  funzione  variabile, una variabile vettoriale, deve essere biunivoca, regolare.

→ Posso associare a ogni punto _P della configurazione _P il corrispondente _f(P) della configurazione detta attuale  _{P → f(P)}.

Configurazione di riferimento

Configurazione attuale o deformata.

Questi punti p e q si trasformano per effetto della deformazione in f(q) f(p).

Campo di spostamento

Introduco con nozione di campo di spostamento: descrittore cinematica definito con:

μ_P = f(P) - P.

Può essere definito il punto materiale e alla continuità di un campo vettoriale.

Definita la deform. uniforme, denotato con sposti-.

Deformazione rigida

Deformazione è rigida oppure uno spost. è rigido se resta inalterata la distanza reciproca dei punti materiali del corpo.

In modo analitico esprime questo concetto:

⇒ | f(P) - f(q) | = | p - q |   ∀ p, ∋ ℭ.

Traslazione

La traslazione comporta il calore di deformazione rigida quando le comp. di spost. rimangono invariate ∀ punto P, ρ e Ω.

Corpo rigido

Corpo B rigido.

Si dice rigido se è capace di spostamento o deformazioni rigidi (formula scritta prima) per deformaz. rigida.

In natura non esistono corpi rigidi.

Supponiamo che il nostro corpo rigido abbia generica forma, ad esempio cilindrica.

B rigido.

Fissiamo sist. interno cartesiano ortonorm. Ci serve per stud. la cinematica di questo corpo nello spazio.

Abbiamo anche fissato un sistema di riferm. solidale al corpo B e ies.

Nello spazio il nostro corpo ha 6 G.D.L, ovvero 6 DOF (gradi di libertà).

La posiz. del corpo è individuato fissate le coordinate xp, yp, zp e i 3 angoli di Euler φ₁, φ₂, φ₃.

Esprim. le incidenze rispetto agli assi di un sist. di riferm. di una terra direzione e₁ e e₂ solidale al corpo B.

6 Parametru dei: Coordinate lagrangiane B.

Formula fondamentale della cinematica rigida infinitesimale

Nell'ipotese di spost. uguale infiniteni:

||μ(p)|| ≪ 1 ∀ p ∈ Ω.

||∇μ(p)|| ≪ 1.

Per ottenere queste formula↳ riaccuadramo espressione dell'atto di corpo rigido.

υ(p) = υ(q) + ψ ∧ (p - q).

Ossare:

dυ(p) / dt = dυ(q) / dt + ψ ∧ (p - q).

Moltip. d'ambo i membri per dt:

dυ(p) = dυ(q) + ψ dt ∧ (p - q).

ψ dt =