Cinematica e Statica delle Travature con Esercizi, Scienza delle costruzioni

Richiami di cinematica dei corpi rigidi

27 marzo 2014

Cinematica

Cinematica, descrizione dell'evoluzione della posizione dei punti che compongono un corpo materiale indipendamente da cosa che determ. Tale evoluzione.

• Indicato con β il corpo materiale, l'unica proprietà fisica in cui è quella di occupare regioni dello spazio euclideo.
• In altre parole β si identifica con una regione Ʌ dello.
• Si dice configuraz. del corpo, qualunque regione di Ʌ che esso può occupare; fra queste te ne è essa una in particolare, che viene chiamata config. di riferimento Ʌ.
• I punti P ∈ Ʌ vengono detti punti materiali.
• Vogliamo studiare l'evoluzione di quei punti ε ∈ Ʌ.

Studiare l'evoluz. significa studiare la funzione f, detta deformazione, che descrive l'evoluzione delle configuraz di β nello spazio.

• f: Ʌ → ε

  Variabile funzione deve essere biunivoca regolare.

• Posso ad ogni punto P della configurazione riferimenti corrispondono f(P) della configurazione detta attuale.

P _f → f(P)

f

q

p

Conf. di Riferimento

f(Ω) Config. Attuale o Deformata

Questi punti p e q si trasformano per effetto della deformazione in f(q) f(p)

Introduco concetto di campo di spostamento descrittore cinematico definito con:

μ(p) = f(p) - p

Deformazione è Rigida

oppure uno Spost. è Rigido

Se lasciato invariato la distanza reciproca dei punti materiali del corpo

In modo analitico esprimo questo concetto:

⇒ |f(p) - f(q)| = |p - q| ∀ p, q ε Ω

un Spost. rigido si dice PIANO Se gli Spost. di tutti i punti di B sono paralleli ad uno stesso piano, ossia esiste un piano dello spazio solido tale da B detto PIANO MOBILE che mantiene sovrapposto ad un piano fisso π', detto PIANO DIRETTORE.

SPOST. RIGIDO PIANO : μ(p) // π ∀p∈Ω

Su questo ipoten possiamo studiare la cinematica piana.

Consultare una qualsiasi sezione del corpo π'

Tale sezione costituisce l'idea 2D di un corpo rigido tutto contenuto in un piano.

possiamo individuare un sistema di riferim. solidale al corpo

μ(P) = φ ∧ (P, e)

∀P ∈ Ω

(γ_c, 2c, φ) al posto di (μ_γ(Q), μ₂(Q), φ)

Guardiamo le componenti di C

Osservazione:

Se φ → 0 C → ∞

• possiamo estere al concetto di traslazioni rigida
• queste rigide possono essere ugualmente concepite attorno ad un punto improprio C∞

μ(P) = μ(Q)

è nella direzione ortogonale alla trasl.

2ª osservazione

Poiché siamo nelle ipot. di piccoli spost. φ << 1, diciamo che...

ELEMENTI STRUTTURALI

• Travi Telaio (nucleo o c.a.) Capriate Archi
• Muri Setti Pareti Solai
• Volte Cupole Tensostrutture

MODELLI

• Travi o sistemi di travi
• Piastri e Lastre
• Guscio e Membrana

SIMBOLOGIA

μ(P) = μ(Q) + φ î ∧ (P - Q)

∀ P, Q ∈ ζ

{ υ(P) = υ(Q) - φ (z_P - z_Q) { ω(P) = ω(Q) + φ (y_P - y_Q)

oppure possiamo usare questa formula

μ(P) = φ î ∧ (P - C)

∀ P ∈ ζ

{ υ(P) = -φ (z_P - z_C) { ω(P) = φ (y_P - y_C)

• Per cui, per stud. l’evoluzione quindi la cinematica di questa curva, ovvero della nostra trave...

Quindi gli spostamenti dei punti della nostra trave possono...

1. Vincoli Semplici

1a. Carrello

Vincolo che impedisce lo spost. del punto di applicaz. lungo un'asse

In questo caso il carrello è applicato al pnto P e alla nostra leva

vetore è lungo l'asse del carrello e una direzione ortogonale alla prima inclinata

Se il carrello è un vincolo semplice impedisce 1 spostamento

condizione di vincolo per descrivere e localizzare, equaz. lineare, per cui abbiamo 3: 1 DOF nel piano della trave, avremo 2 DOF rendul contintò

Per cui i gradi di liberta rendul sono lo spostamento del punto P in direzione ortogonale all'asse del carrello e la rotazione

L'equaz. di vincolo sarà:

M(P) . ê = 0

guarda le comp. nel piano:

Vp cosα + Wp senα = 0

Se non considerassimo spost. piccoli in interno, avremmo una netta differenza tra pendolo e carrello

Nell'ipotesi di piccoli spostamenti del pendolo può essere assimilabile a quello del carrello

1c. Doppio doppio pendolo [k = 1]

Vincolo semplice

in questo caso abbiamo solo 1 spostam. impedito → ROTAZIONE

sono consentiti gli spost. orizz. e verticale

ψ = 0 Condiz. vincolo

Se possibile centro di rotazione

Applichiamo questa formula

C - P = 1/φ_⬜ (⬜ ∧ (µ(P))) = ∞

φ_⬜ → ∞

è un possibile centro di ROT → qualsiasi punto improprio del piano C^∞ associato al doppio doppio pend.

Quindi L_er = ∞² punti della retta Impropria

Analisi Cinematica di una Trave Rigida Piana

2 Aprile

Obiettivo: determinare se esistono o meno possibili campi di spostamento rigido in un contesto di tipo piano compatibili con vincoli. In caso affermativo l'obiettivo è quello di caratterizzare tali spostamenti, ossia di determinare e caratterizzare gli eventuali DOF (gradi di libertà) vincolati della trave.

Una trave libera nel piano ha 3 DOF.

Se prendiamo un punto Q ∈ ℓ → V_Q, W_Q, ϕ

V_P = V_Q - ϕ (Z_P - Z_Q) W_P = W_Q + ϕ (Y_D - Y_Q)

La trave non è libera. La presenza di vincoli impedisce alcune spost.

Possiamo scrivere un eq. generale di vincolo: d₁V_Q + d₂W_Q + d₃ϕ = 0 d₁, d₂, d₃ scalari dipendono dal vincolo assegnato.

Se il vincolo è semplice avrà 1 eq. di questo tipo, se è un vincolo di ordine 2, ne avrà 2 e così via.

Se indico con V_e la molteplicità complessiva di tutti i vincoli presenti, ovvero la somma delle moltep. di ogni singolo vincolo (dove la molteplicità è l'ordine del vincolo). Per una generica trave vincolata avrò un sist. di eq. lineare omogeneo di questo tipo.

CLASSIFICAZIONE CINEMATICA

r_c = 3

• CINEMATIC. DETERMINATA
• Ve = 3
• CINEMATICAM. ISODETERM. O ISOSTATICA
• Ve > 3
• CINEM. IPERDETERMIN O IPERSTATICA
• (i = Ve - 3 → grado di iperstaticità)

r_c < 3

• CINEMATIC. INDETERM.
• O
• LABILE
• (l = 3 - r_c grado di labilità)
• Ve = r_c
• LABILE
• Ve > r_c
• LABILE A VINCOLI INEFFICACI L.V.I.

Noi seguiremo un approccio differente

Conviene partire dalla condiz. necessaria alla

DETERMINAZ. CINEMATICA

e.N. (cond. necessaria) Ve ≥ 3

Data la γ si conta la molteplicità complessiva

Questa è la condiz. NECESSARIA, ma non suff.

La condizione SUFFICIENTE ALLA DET. CINEMATICA

rank[e] = MAX