Onde meccaniche

Onda armonica piana

Alla stessa t, tutti i punti del sistema presentano la stessa perturbazione. Dall'analisi matematica: f(t) continua, periodica T in ^T/₂, ^T/₂ con discontinuità di prima specie finite, e continua ad essere continua e monotona in un grado finito di sottointervalli. Si sviluppa in serie di Fourier.

1. f(t) = a₀ + _m=1^∞ A_m sin(^2πmt/_T + φ_m) con a₀ = ¹/_T ∫ ^T/2/_-T/2f(t)dt
2. A_nsinφ_m = ²/_T ∫ ^T/2/_-T/2g(t)cos(^2πmt/_T)dt
3. A_ncosφ_m = ²/_T ∫ ^T/2/_-T/2g(t)sin(^2πmt/_T)dt

f periodica può essere studiata analizzando le armoniche f_m(t) = A_msin(^2πmt/_T + φ_m). Decomponiamo la f nelle sue funzioni armoniche + Principio di sovrapposizione.

Onda piana armonica di spostamento

Σ_{ξ(x; t)} = ξ₀ = ξ₀ ^k(x±v_st) + φ = Âsin(^k(x±v_st) + φ) = Âcos(^k(x±v_st) + φ)

Fase cos^{[ωd / S]}Cosφ Fase iniziale φ = 0X₀ + ^π/₂ Introduciamo λ = lunghezza d'onda la fase varia di 2π e ξ₀ ha il suo valore iniziale. λ = 2π = 1: k propagazione tra cammino percorso e corrispondente variazione della fase. →λ^{k = 2π}/_λ

Alla stesso t, tutti i punti del sistema presentano la stessa perturbazione. Dall'analisi matematica: f(t) continua, periodica T in [-T/2, T/2] con discontinuità di prima specie finite, e continua ad eccezione continua e monotona in un numero finito di sottointervalli. Sviluppo in serie di Fourier f(t) = a₀ + Σ A_m sin(2πmt/T + φ_m)m=1 con a₀ = 1/T ∫ f(t)dt

A_m sinφ_m = (2/T) ∫ g(t) cos(2πmt/T)dt-T/2 A_n cosφ_m = (2/T) ∫ g(t) sin(2πmt/T)dtT/2 g periodica può essere studiata analizzando le armoniche f_m(t) = A_m sin (2πmt/T + φ_m). Decomponiamo la g nelle sue funzioni armoniche + Principio di sovrapposizione

Onda piana armonica di spostamento ξ(x,t) = ξ₀ sin (k(x ± v_st) + φ) = Â sin (k(x ± v_st) + φ)

FASE Fase iniziale φ ± π/2 φ a x=0 (rad) Introduciamo λ = lunghezza d'onda la fase varia di 2π e ξ₀ ha il suo valore iniziale 2 : 2π = 1:k proporzione tra cammino percorso e corrispondente variazione della fase k = 2π/λ

1. Frequenza spaziale lunghezze d'onda contenute nel periodo

Numero di cicli temporali

1. Variazione

1. Da aggiungere

Deformazione e sforzo: relazione

Dato di scorrimento e sforzi di taglio τ = ^τ/_G G = ^E/_(2(1+ν)) Volume inalterato S_e/b = S_e/c + S_bc/c - S_AD Omogenea ^AA'/_AD = ^BB'/_BC = tgφ = ντ Ampezzo E e ν siano caratterizzate tutte le deformazioni Torsione come libro Sforzo di trazione -> le superfici formano 45°

Per dimostrare studiamo l'equilibrio F₁ = F_S1cos(π/2 - α) = σε²τgα - ^σγ/_cosα F₂ = F_S1sin(π/2 - α) = σε² - σ² cosα = 0

P₁ = P_S1cos(π/2 - α) = σε²τgα - ^σγ/_cosα Su S₁ le forze interne danno luogo a uno sforzo normale da mantenere nel equilibrio Velocità di propagazione delle onde in un mezzo elastico Stiamo esaminando perturbazioni a propagazione assiale, a spettro onda longitudinale. I punti si spostano verso x di una quantità d'ingrandire.

Deformazione assiale

Supponiamo y=0, non prevediamo in esame def. laterali

Essendo onde elastiche, le deformazioni sono legate dalla legge di Hooke: σ_x(x,t) = E ε_x(x,t) σ_x(x + ΔX;t) = E ε_x(t + ΔX,t) σ_x(x + ΔX,t) - σ_x(x,t)

Forze di superficie F_x = σ_x(x + ΔX; t)-σ_x(x; t) - S. Sezione su cui agisce la forza Medio sviluppo di Taylor σ_x(x + ΔX; t) = σ_x(x; t) + ∂σ_x(x; t) / ∂x . Δx

Quindi F_x = S · ∂σ_x/∂x ≈ S ∂σ_x/∂x ≈ ma = ρ S a_x ∂²g/∂x² ≈ a_c. Secondo principio della dinamica ⇨ E ∂²g/∂x² = ^ρ /_E ∂²g/∂t² La perturbazione si trasmette secondo un'onda ρ = ¹/_vs² dall'equazione delle onde N = √^_E/^ρ dipende dal parametro elastico Variana E_x = E_N = E_X(1-ν²)_ν∼0 trasciniamo variazioni battandi σ_x = ∂x Δp_kcΔp = - k_c ε_x - k_c ∂f(x,t)/∂x

Longitudinale p(x,t) = A cos(Kx - ωt) Δp = -KcAK sin(Kx - ωt) ⇓ ONDA DI PRESSIONE ASSOCIATA Δp = ΔP₀ sin(Kx - ωt) ΔP₀ = AKkc

Onda con il mezzo → onda di pressione con il mezzo → fa Π / 2 Consideriamo ONDE TRASVERSALI → produzione schermata V_t = √T / ρ per analogia con V_L = √E / ρ Fune tesa solliata da due tensioni opposte μ = dm / dℓ La pizzichiamo e vediamo se lo spostamento si propaga.

Fy = T sin(θ + dθ) - T sinθ = dmγ piccole dif. sin → 0 Fy = T(θ + dθ) - T(θ) Ragioniamo sul triangolo tgθ = f(x + Δx) - f(x,t) = ∂f / ∂x dθ = ∂f²/∂x² · dx ⇒ T∂²y/∂x²&ⅆ- μdx∂²y/∂t² μ / T∂²/∂x² − μ / T∂² = N / T∂² dalle equazioni delle onde

1 / V_s² = N / T V_s = √^T/_μ Energia trasportata da un'onda: intensità Onda che si propaga lungo x e consideriamo piano dSI = dE / ds · d Analisi dimensionale f(x,t): A cos (kx - wt) Pressiamo ad esame l'onda longitudinale, ma ha valore generale dE = ds v dt · W / VE = 1/2 (pw² + Ek / (2x)) A² sin² (kx - wt) v = sqrt (E/p) E_k = 1/2 p w² A² cos (2 (kx - wt)) = 1/2 p w² A²

Nel caso di un'onda sferica

I = \(\frac{dE}{ds \cdot dt}\) = \(\frac{dP}{dt}\) dP/ds = P \quad \(\frac{4 \pi R^2}{superficie del frate d'onda}\) A(t) = \(\frac{P}{4 \pi R^2}\) \quad diminuisce con l'inverso della distanza

β(x,t) = A \cos/(kx - \omega t)/v Per una questione di conservazione dell'energia. ASSORBIMENTO con dissipazione di energia A(x) = A_0 \, e^{-\alpha x} \quad \alpha = coefficiente/assorbimento [m^{-1}] \Rightarrow I = I_0 \, e^{-2\alpha x} Intensità varia con il quadrato dell'ampiezza

Interferenza di onde

Consideriamo due onde armoniche dello stesso tipo che si propagano e lungo la stessa direzione x stessa A, stesso \omega, stesso k \quad poiché l'sfato il mezzo è lo stesso

f₁(x,t) = A \, \sin/(kx - \omega t + \phi_1) f₂(x,t) = A \, \sin/(kx - \omega t + \phi_2) f₀(x,t) = f₁(x,t) + f₂(x,t) \quad //principio di sovrapposizione/mezzo elastico

f₀(x,t) = 2A \cos \left(\frac{kx - \omega t + \phi_1 + kx - \omega t + \phi_2}{2}\right) \sin \left(kx - \omega t + \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) evolve nel tempo come f₁ e f₂

φ₁ - φ₂ = cost/constanti A_R = 2A \cos \frac{\Delta \phi}{2} \quad l'ampiezza dipende dallo sfamento

se \Delta \phi = \pm 2m\pi \quad \Rightarrow A_R = 2A \quad ONDE IN FASE A = somma delle due ampiezze se \Delta \phi = \pm/2(m+1) \pi \quad \Rightarrow A_R = 0 \quad ONDE IN OPPOSIZIONE DI FASE \Rightarrow vario anche l'intensità dell'onda risultante I = \frac{1}{2}\rho v w^2 r A^2 \, (\frac{1}{2}\rho w^2 r A^2 \cos/\frac{\Delta \phi}{2}) \, I A \, (1 + \cos \Delta \phi)

\frac{I_1 + I_2 + I }{2} - 2 /left/ \{ 2 \cos \frac{\Delta \phi}{2} /right/ \}{2} (1 + \cos/\Delta \phi) I=1 \, /left/ \{ /frac{I - 2 I + 2 \left[ /cos \Delta \phi/ \right]}/ \quad / 1 + /cos \Delta \phi \)

Se i_A+ i_A2 → I_R = I₁ + I₂ + 2√I₁I₂ cos(Δφ) Interferenza produce redistribuzione spaziale dell’intensità, in un punto dove è costante se abbiamo due onde incoerenti → Δφ ≈ ostΔφ → Δφ(t) → I_R ≈ I_R(t)

NB: stiamo facendo delle approssimazioni che invalidano il principio di conservazione dell’energia L’onda piana legge intese e applicarle localmente!!! Interferenza di due onde sferiche

Δφ = k (r₁ - x₂) I_int ≈ d_f cos φ_dφ s₄ (r, t) = A_o sin (k₁x - ωt) s₂ (r₁, t) = A_o sin (k₂x - ωt) s₂ (r_o, t) = A_o sin (k₂x - ωt) φ (+3π)ππ

In media il principio di conservazione dell’energia è rispettato Vedere il caso in cui le onde si propagano in verso opposto a p 35 Battimenti Onde dello stesso tipo, nello stesso verso e direzione, ma con pulsazioni diverse Principio di sovrapposizione Risultatori in un punto: β₀(x,t) β₀ frequenza di battimento L'ampiezza risultante non è costante come quella delle onde incidenti differenza tra le frequenze

Riflessione e trasmissione di onde

Alla interfaccia si generano 2 onde: una RIFLESSA e una TRASMESSA Consideriamo per semplicità onde piane armoniche f_i = A_i sin (kx - wt) INCIDENTE

Ad un certo punto incontra una discontinuità, mezzo con proprietà diff ρv = Z IMPEDENZA ACUSTICA dipende anch'essa d'onda Sfruttato nell'ecografia gli ultrasuoni vibrano ed emettono onde che attraversano mezzi con Z f(x, t) = g₁(x-v₁t) + g₂(x+v₂t)

Casi particolari Z₁ ≈ 0 molto piccolo ⇒ ... Z₂ ≫ Z₁ ⇒ E → ∞ CORPO RIGIDO, PARETE RIGIDA Fune tesa bloccata agli estremi Superposizione degli effetti

A_i(x,t) = 2A sin ( k_xx + ωt + Φ₁) cos ( k_xx - ωt ) k _x x_n + Φ₁ + Φ₂ = mπ ⇒ A_n = 0 sempre NODI Distanza fra due nodi consecutivi

x_m+1 - ∅x_m = |(m+1) _π | + 1₁·∅₂+∅₂ x_m+1 + ∅x_m+1 – ∅x_m = ONDA STAZIONARIA Processo stazionario, non cambia nel t I punti si mantengono in oscillazione

Esistono anche venti: punti in cui l'ampiezza d'max e vale ∅1 kv  ₁· ∅∅∅x_v = ∅ distanza fra due venti Riproduzione la fine di lunghezza x_mn = l_n = ∅ Possibili che si possano eccitare m=3 AROMONICHE DI _mn