Onde meccaniche

Onda Armonica Piana

Dato l'analisi matematica:

f(t) continua, periodica T in [ -T/2 , T/2 ] con discontinuità del primo specie finito, e continua ad eccezione continua e monotona in un n° finito di sottointervalli.

Sviluppo in serie di Fourier

con a₀ = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)dt

e A_ncos\phi_m = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)cos(\frac{2\pi mt}{T})dt

g periodica può essere studiata analizzando le armoniche

Decomponiamo la f nelle sue funzioni armoniche + Principio di sovrapposizione

Onda piana armonica di spostamento:

\xi( x, t ) = f( x + v_st ) = \vec{A}sin( k ( x + v_st ) + \Phi )

↑→ \vec{A} cos ( k ( x + v_st ) + \Phi )

cos t ^{fase load} [ s ]

\phi’ = \Phi + \frac{\pi}{2}

\Phi = Fase iniziale \Phi a x, x=0 (rad)

Introduciamo λ = lunghezza d'ondala fase varia di 2\pi e \xi ha il suo valore iniziale

• \lambda : 2\pi = 1: k
• → \lambda = 2\pi

proporzione tra cammino percorso e corrispondente variazione della fase

ξ(x,t) = Ẽ sin [2π ((x/λ) + (V_s t/λ) + Φ)] = Ẽ sin [(2π/λ)(x + V_s t) + Φ]

Periodo τ₀ = 1/f tempo impiegato per un’onda a percorrere λ

Spazio percorso nel periodo - λ velocità di propagazione

k = 2π/λ frequenza spaziale: lunghezze d’onda contenute nel periodo

ω = 2π/τ₀ numero di giri temporali pulsazione temporale

A sin [(2π/λ)(x + V_s t) + Φ] = k = 2π/λ

A sin [(2π/λ) x + 2πt/τ₀] → variazione della fase della d'onda nel tempo T

Equazione differenziale delle onde piane

Vogliamo determinare un’equazione differenziale valida per tutte le onde piane di cui ξ(x,t) = β(x + V_s t) sia la soluzione. calcoliamo le derivate prime e seconde rispetto a x e at

dξ²/dx² = g'' dξ²/dt² = V_s²g''

osserviamo che d²ξ/dt² = +V_s d²ξ/dx → d²ξ/dt² = 1/V_s² d²ξ/dx²_x

onde unidimensionali che si propagano lungo x

* Da aggiungere DEFORMAZIONE E SFORZO: RELAZIONE

ε_O > 0   ε_L > 0 → ε_L < 0

ε_O < 0 → ε_L > 0 → ε_L < 0

Def assiale

ε_L ⇒ -ε_L

Def laterale

0 < v < 1/2 → ε_L > 0

ε_O > 0 → ε_O < 0

insieme

ε_V = ΔV/V = ε_c - 2 ε_L = ε_L (1-2v)

Parallelepipedo ρ, h, V, W

Def volume = somma delle def sui lati

ε_c (1 - 2v) ↑ → > 0 poiché 0 < v < 1/2

ε_c > 0 → ε_O > 0

ε_L < 0 → ε_V < 0

Energia trasportata da un onda: intensità

Onda che si propaga lungo x e consideriamo piano ⊥ ds

I = dE / ds*dt

Analisi dimensionale

Energia che passa attraverso di 1 ⊥ all'intervallo dt

Assegnato un onda y(x,t) = Asen(kx - ωt) dobbiamo pensare al trend di sovrapp. I = ds*vd*t*W / ds dt

Potenza che attraversa una superficie

Prodotto ad esame e l'onda è equitirotarla, ma ha valore generale

Energia passata attraverso in dT? Quello che permette alla molecole di entrare in oscillazione

dE = dsvdt * W

Volume in cui sono le particelle

W: densità di energia meccanica di particelle

I = ds vdt * w / ds dt

I = v * W

Le particelle che osciliano si comportano come oscillatori armonica

W = Win + Wpot

T = 1/2 m v² = 1/2 ρ (∂y / ∂t)² = 1/2 ρ (A²ω²sin²(kx - ωt))

Wpot = 1/2 E ξ² = 1/2 ρ (∂y² / ∂x)² = 1/2 E (A²k²sin²(kx - ωt))

W = 1/2 (ρ ω² + E k²) A²sin²(kx - ωt)

N = sqrt(E / ρ) * e = √ρ

E k² = v² ρ μ² = v²ρ (2π / T)² = √(ρ / T)*2 = ρ ω²

λ = v T

W = ρ v ω²A² sin²(kx - ωt)

I = ρ v ω²A² sin²(kx - ωt)

Intensità istantanea perché dipende dal

Intensità Media sin²a = 1 - cos2α / 2

I = 1/2 ρ v ω² A² - 1/2 cos2(kx - ωt)

0 < I < ρ v ω² A²

<I> = 1/2 ρ v ω² A²

I_max = <I>

Max e min si vede dal coseno

(I_max - <I>)

Distanza tra due nodi consecutivi

k(x_m+1-x_m)=((m+1)π)-(mπ)=β₁+∂β₂

x_m+1-x_m=∂x_m=2πk

ONDΑ STΑZIONΑRIΑ

Processo stazionario, non cambia nel t

I punti si mantengono in oscillazione

Esistono onde venire: punti in cui l'ampiezza e max e vale 2Γ=A_v

∂x_v=π/2 distanza tra due venti successivi