Oleodinamica

Pompe ad ingranaggi esterni

∆ p

La pompa non genere il ma trasferisce volumi di fluido dall’ambiente A all’ambiente M. Il

trasferimento avviene sulla periferia delle ruote e non nella parte centrale, in cui deve avvenire

l’ingranamento che deve garantire la tenuta. La pompa ad ingranaggi è caratterizzata da alcune dimensioni

caratteristiche: le due ruote dentate hanno lo stesso diametro, stessa forma dei denti e stesso numero di denti.

Sono caratterizzate dal raggio primitivo, raggio del cerchio tangente all’interasse della macchina. Un altro

raggio caratteristico è il raggio di testa e quello di fondo (raggio minimo). Nel profilo ad evolvente si

definisce anche il raggio di base, raggio del cerchio tangente alla linea di azione delle forze scambiate fra i

due denti. Il parametro progettuale fondamentale è la cilindrata, il volume di fluido trasferito nell’unità di

−R

R

tempo dalla macchina. L’altezza del dente è data dalla differenza . Il passo p è la distanza sulla

T F

/

2 π R z

circonferenza primitiva fra gli assi di due denti ed è dato da . Lo spessore b è la larghezza di

p 1

=

A ∙ ph

fascia. Approssimativamente la porzione di vuoto fra due denti adiacenti è data da ,

vano 2

ipotizzando che l’area del pieno sia uguale all’area del vuoto. Moltiplicata per b, mi dà il volume di fluido

isolato fra due denti. Moltiplicando questo volume per il numero di denti della ruota per due ruote ottengo il

=2

V z ∙ A ∙b

volume di fluido trasferito in un giro. .

c vano

È una formula approssimata e viene utilizzata come primo tentativo per ricavare la cilindrata della pompa.

Andando a sostituire:

=2

V z ∙ A ∙b=2 π R hb quindi la cilindrata è indipendente dal numero di denti.

c vano p

Esiste anche una seconda formula, che è più precisa, con un grado di approssimazione minore:

( )

2

π

2 2 2 2 ϑ

=2 −R −R

V πb R cos ∙

c T p p 2

3 z

C’è una dipendenza lieve dal numero di denti.

Deriva da un calcolo accurato del valore della portata istantanea erogata dalla pompa (che varia nel tempo).

Il calcolo rigoroso della portata istantanea ci permette di sapere qual è la legge di variazione nel tempo della

portata in una pompa, importante per sapere la portata ricevuta dagli attuatori. Sarebbe bene che la portata

non variasse, ma data l’architettura esiste una variabilità nel tempo della portata.

Le due ruote ruotano in contro-rotazione. A sinistra del punto di contatto il fluido è in contatto con la

mandata, a destra invece è in contatto con l’aspirazione.

φ

Q(t) Q(φ)

Vogliamo determinare e con = angolo di ingranamento o rotazione istantanea.

Durante la rotazione questo angolo varia. Applicheremo un metodo energetico per ricavare questa portata.

Nella figura (slide 13) abbiamo un dente (1) a contatto con un dente dell’altra ruota e un dente (3) a contatto

con la carcassa. Il fluido in pressione esercita una spinta alla pressione di mandata. Al di là del punto di

contatto invece abbiamo la pressione di aspirazione che supponiamo pari a zero.

=

p p

Il dente 2 è completamente investito dalla pressione di mandata ( ), ed è in equilibrio, la risultante

m

delle forze sul fianco sinistro è uguale alla risultante delle forze sul fianco destro. Per quanto riguarda i denti

1 e 3 non abbiamo un equilibrio, in quanto un fianco è investito da fluido alla pressione di aspirazione, l’altro

è investito da fluido alla pressione di mandata. Sul dente 3 avremo la risultante delle forze agenti sul fianco

+¿ −¿

destro che genererà una coppia ; sul dente 1 agirà una pressione che genererà un momento sul

¿ ¿

M M

1 1

fianco sinistro. Isolando i denti (slide 15) notiamo che la risultante delle forze agenti sul dente 1 agisce sulla

porzione di fianco compresa fra il raggio di fondo e il punto di contatto C.

+

R R

T F

( )

+¿=pb −R (forza

R ∙ per braccio)

T F 2 ¿

M 1

+

r R

1 F

( )

−¿= −R (il

pb r ∙ braccio è la media fra i due raggi)

1 F 2 ¿

M 1

dove r1 è il raggio che intercetta il punto di contatto sul fianco del dente.

−¿ ¿

+¿−M

Ovviamente la coppia risultante è pari a poiché le due coppie sono discordi.

1

¿

M 1

+ +

R R r R

T F 1 F

( ) ( )

= −R − −R

M pb R ∙ pb r ∙

1 T F 1 F

2 2

1 ( )

2 2

= −r

M pb R

1 T 1

2

Questa è la coppia esercitata dalla pressione di mandata sulla ruota 1. Analogo calcolo della coppia sulla

M

seconda ruota :

2

1 ( )

2 2

= −r

M pb R

2 T 2

2 M M

Ho due coppie ed che agiscono con segno opposto, le due ruote sono dotate di velocità

1 2

angolare.

La potenza meccanica complessiva sarà pari a:

=M +

P ω M ω

mecc 1 1 2 2

ed è una potenza resistente alla potenza idraulica. La potenza idraulica è esprimibile come:

=∆

P P ∙Q= pQ

idr

in assenza di perdite, le due potenze sono uguali, quindi:

+ =

M ω M ω pQ

1 1 2 2 =ω

ω

Sulla base di questa uguaglianza possiamo esplicitare le due coppie e imporre (le due ruote sono

1 2

uguali, stesso raggio primitivo).

Sostituendo ed esplicitando Q si ottiene:

1 1 ( )

2 2 2

( )

+ = −r −r

Q= ω M M pω 2 R

1 2 T 1 2

p 2

(ricavata sulla base di un approccio energetico)

La potenza meccanica è quella associata alle coppie resistenti generate dall’azione della pressione sui fianchi

r r

dei denti. Tutti i parametri sono noti tranne e i raggi di ingranamento, che sono variabili durante

1 2

il moto. (φ) (φ)

r r

φ

Possiamo esprimerli in funzione dell’angolo istantaneo di rotazione .

1 2

( )

Q=Q φ R R

r varia da a .

F T

r r

Ricavo ed (slide 27-28-29) attraverso espedienti algebrico-geometrici e con il teorema di Carnot

1 2

in funzione del raggio primitivo e della lunghezza primitiva:

2 2 2 2

+r =2 +2

r R L

1 2 p ( )

2 2 2

( )=bω ( )

−R −L

Q φ R φ

Quindi T p φ

La distanza L è variabile ed è funzione di (L è la distanza OC). Per esplicitarla devo esplicitare la

Q

φ φ=0 φ=0

funzione L( ). Osservo che quando , L = 0, Q( ) = max

( )

2 2

=bω −R

Q R

max T p ( )

φ ≠ 0 L≠ 0 Q=Q φ

quando , , =2 /z

2 φ π φ=φ

è una legge periodica con periodo . Quando si ha un punto di commutazione,

max max

ovvero il contatto passa alla coppia di denti successivi.

φ

Ricaviamo la legge di L in funzione di mettendoci nel caso di profilo ad evolvente (slide 34)

L=R ∙ φ (proprietà dell’evolvente)

b ϑ

=R

R cos

b p

Andando a sostituire:

( )

2 2 2 2 2

( )=bω ϑ

−R −R

Q φ R cos φ funzione parabolica

T p p

=Q(0)

Q max

=Q(φ )

Q ovvero quando si ha la commutazione

min max

Un andamento di questo tipo determina delle fluttuazione di portata di fluido erogata, non abbiamo un

funzionamento regolare.

l’escursione di portata è data da:

2 2 2

ϑφ

−Q =bω

∆ Q=Q R cos

max min p max

∆ Q

Ha interesse rapportare alla portata massima, ed è un valore chiamato irregolarità di portata.

L’irregolarità dipende da grandezze geometriche (raggio primitivo, raggio di testa, angolo di azione, numero

di denti) e non dipende da omega, quindi non dipende dalla velocità di rotazione del motore.

2 2 2

ϑ

R cos φ

∆ Q p max

= =

I 2 2

Q −R

R

max T p

Per ridurre il più possibile l’irregolarità dovrei aumentare il più possibile il numero di denti (questo implica

un aumento dei costi nella realizzazione della macchina). Nella pratica queste ruote hanno un numero di

denti tipicamente di 7-9 denti nelle vecchie macchine, fino a 11-13 nelle nuove, nelle applicazioni più spinte.

L’irregolarità rappresenta uno dei limiti delle pompe ad ingranaggi, perché comporta vibrazioni, variazioni di

pressioni alla mandata, rumore (sono le pompe più rumorose in commercio).

Dal valore di portata istantanea possiamo ricavare il valore di portata media, che si esprime analiticamente

come: π

z

1 ∫ ( )

=

Q ∙ Q φ dφ

media periodo −π

z

Consideriamo il contatto semplice (contatto fra due soli denti) in cui sono rappresentati i due denti delle due

ruote e in questa configurazione siamo in fase di commutazione, ovvero una coppia di denti sono in fase di

distacco (1 e 2) e la coppia successiva di denti sta per entrare in contatto (3 e 4). Non c’è contatto fra 1 e 4, il

dente ingrana solo su uno dei suoi fianchi. In questa configurazione 1 e 2 stanno perdendo il contatto, e

=2 /z

2 φ π

subentrerà il contatto fra 3 e 4. La distanza fra i due punti di contatto è pari a , che è pari al

max −π

π

periodo che devo considerare nel calcolo della portata media, integriamo quindi da a .

z z

Pertanto otteniamo che:

[ ]

3

bωz 2 π 2 π

( )

2 2 2 2 ϑ

= −R −R

Q R ∙ cos ∙ ∙

media T p p 3

2 π z 3 z

Dipende quindi da fattori geometrici, dalla velocità di rotazione, dall’angolo di spinta caratteristico del

profilo ad evolvente e dal numero di denti. All’aumentare dei denti la portata media aumenta (anche se poco

influente).

' è la variazione fra la portata massima e la portata media, indica lo scostamento fra il picco di portata e

∆

il valore di portata media caratteristico della pompa. Possiamo normalizzare questa variazione rispetto al

Q

'

valore massimo dividendo per .

∆ max

Notiamo che la variazione normalizzata è proporzionale al quadrato del numero di denti, ovvero

all’aumentare del numero di denti il valore medio si discosterà meno dal valore massimo.

Calcoliamo ora il valore della cilindrata effettiva, cioè il volume trasferito idealmente in assenza di perdite

volumetriche nell’unità di tempo (in un giro di rotazione delle ruote dentate).

Q media

=

V c n

60

con n [giri/min] Q V

Andando a sostituire la nell’equazione otteniamo la cilindrata effettiva .

media c

Questa espressione è più accurata e rispetto alla formula approssimata dipende anche dal numero di denti ed

è stata ricavata mediante un approccio energetico.

Il caso più complesso riguarda il contatto doppio, in cui il dente è contemporaneamente in presa con due

denti dell’altra ruota, entrambi i fianchi sono in contatto. Questa configurazione implica un periodo di

/

π z

commutazione più breve, ovvero periodo = , ovvero la metà del periodo che abbiamo nel contatto

singolo. Ottengo un contatto doppio riducendo molto il gioco fra i denti, e quindi costi di lavorazione più

elevati (rari, sono ruote fabbricate per applicazioni a basso costo). Col tempo le ruote si usurano e ci

potrebbe essere un distacco fra i denti anche nel doppio contatto. Si predilige il contatto semplice per questo

genere di applicazioni. Il periodo di commutazione dimezzato implica una variazione di portata minore.

Infatti andandoci a calcolare la portata media, avremo un intervallo di integrazione diverso, ovvero si integra

/ −π /2

π 2 z z

da a . Risolvendo l’integrale e facendo tutti i calcoli otteniamo che la portata media

aumenta e a parità di altri fattori dimensionali, lo scarto tra valore massimo e valore medio si riduce di ¼.Col

doppio contatto l’influenza di z si riduce. Quindi l’irregolarità di portata si è ridotta notevolmente passando

da un contatto semplice a un doppio contatto:

' '

≪

∆ ∆

dc cs

≪

I I

dc cs

Abbiamo dunque una maggior regolarità di erogazione che non riesco ad avere con il contatto semplice. Con

l’usura cambia la frequenza di oscillazione della portata, cambia l’irregolarità in peggio, per questo motivo

sono rare le applicazioni di pompe ad ingranaggi a doppio contatto.

Design e spinte

Le due bocche di collegamento con l’esterno possono essere dello stesso diametro, in questo modo la

macchina può funzionare con inversione del flusso, mentre se la macchina funziona con una sola direzione di

flusso una delle due luci ha un diametro inferiore rispetto all’altra (quella di mandata). Se funziona con

inversione del flusso assume la funzione di motore idraulico oltre a quello di macchina operatrice.

L’intaglio presente consente la lubrificazione del perno delle ruote dal lato dell’aspirazione. Dal lato della

mandata l’intaglio non si protrae fino all’ambiente del perno, altrimenti ci sarebbe un by-pass fra aspirazione

e mandata, nella zona di ingranamento ci dev’essere tenuta per non far passare l’olio dalla mandata

all’aspirazione, cosa che avverrebbe autonomamente per differenza di pressione.

Carichi radiali

Sulla pompa agiscono diversi carichi radiali. Considerando la vista in sezione della pompa, in particolare

supponiamo che la ruota motrice sia quella di sinistra, consideriamo le spinte sui perni: la spinta del fluido

(nulla quella di aspirazione, massima quella di mandata). Possiamo supporre che nella zona periferica ci sia

una variazione progressiva di pressione, per via di piccoli trafilamenti, abbiamo dunque un profilo di

pressioni via via crescenti man mano che ci avviciniamo alla condotta di mandata. La risultante di queste

F

pressioni equivale ad un vettore uguale su entrambi i perni delle due ruote. A questo vettore si

pm

somma un’altra forza, dovuta al contatto fra i due denti, che derivano dalle coppie in gioco (coppie idrauliche

dovute alla spinta del fluido dall’ambiente di mandata, dirette in verso opposto alla omega, sono coppie

resistenti). La coppia motrice trasmessa dal motore alla ruota motrice deve contrastare le coppie resistenti,

deve inoltre generare una forza di contatto sulla ruota condotta, che genererà una coppia che contrasterà la

coppia resistente sulla ruota condotta. Per un principio di reazione la ruota condotta esercita una forza di

contatto uguale e opposta sulla ruota motrice. Sposto queste forze di contatto sul perno con relative coppie di

F

trasporto, sommando vettorialmente le forze di contatto con le forze ottengo le forze risultanti. La

pm

risultante sulla ruota motrice è minore rispetto alla risultante sulla ruota condotta, quindi un perno è più

carico rispetto all’altro, subisce una spinta maggiore, se dovesse rompersi un perno, tipicamente si rompe il

perno della ruota condotta. Non c’è simmetria perché solo una ruota è tirata dal motore, questo comporta il

fatto che il perno della ruota condotta dovrebbe essere più resistente. Nelle zone periferiche adiacenti alla

mandata la pressione è più elevata e questo implica una minor tenuta, un maggior gioco fra denti e carcasse e

di conseguenza c’è un aumento di trafilamento e una riduzione del rendimento volumetrico.

Oltre ai giochi radiali, un altro problema delle pompe ad ingranaggi sono i giochi assiali. Lungo l’asse degli

alberi dei perni delle ruote possiamo avere un gioco fisso oppure con gioco assiale variabile (compensazione

con boccole).

Nel primo caso non ci sono le boccole interposte fra flangia e fiancata della ruota e fra fiancata della ruota e

coperchio. Esiste un gioco fisso (evidenziato in rosso), piccolo spazio di libertà, necessario perché se non ci

fosse sfregherebbe, ci sarebbe interferenza e non avremmo rotazione. Se il gioco è elevato le fughe sono

elevate e il rendimento volumetrico è molto basso, d’altra parte gli attriti diminuiscono e il rendimento

meccanico aumenta. Viceversa avviene esattamente il contrario, peggiorando il rendimento idromeccanico e

migliorando il rendimento volumetrico. Questa configurazione viene adottata solo in applicazioni in cui le

spinte sono basse, se le pressioni di mandata sono basse il rendimento volumetrico non cala molto. In tutte le

altre applicazioni utilizziamo delle architetture più complesse di pompe con compensazione del gioco assiale

con l’utilizzo delle boccole. Le due boccole si interpongono fra ruote e flangia e fra ruote e coperchio, e fra

le facciate delle ruote e le boccole esiste un gioco assiale variabile, le boccole possono scorrere con piccole

oscillazioni nella direzione assiale (moto di fluttuazione). In queste zone possono affluire piccole quantità di

olio in modo tale da generare una pressione sulla boccola.

Pulsazioni di pressione

A proposito della portata abbiamo visto l’equazione della portata istantanea che presenta un andamento

oscillante in funzione dell’angolo di rotazione, secondo una legge periodica parabolica. È possibile

/z

∆ φ=2 π

individuare una frequenza caratteristica della portata, attraverso il periodo angolare . Essendo

ω ωz

=

ω=∆ φ

la velocità angolare /T, la frequenza sarà il reciproco di T, quindi , dipende quindi

∆φ 2 π

dal numero di denti.

A seguito di una variazione di fluido erogato alla mandata, si genera un’onda di pressione legata alle masse

di fluido in movimento con una velocità non costante, in particolar modo cerchiamo il legame fra portata e

pressione. Se la portata erogata istantaneamente oscilla, anche il volume di flui