Numeri razionali e irrazionali

Numeri razionali e irrazionali

Numeri razionali

I numeri razionali sono rappresentati come ℚ = {a_n; n=1,2 = 2/4 = 3/6}. Possiamo esprimerli come ℚ = {x[a_b], aᵏ, aᵏ, ab^-1, ab^-1b}. In generale, si ha che x = a/b dove b ≠ 0.

☐ > ℤ ≥ ℕ indica che i numeri razionali includono gli interi e i numeri naturali. Il quoziente q ≠ 0 deve essere tale che q^-¹ = q, confermando che il reciproco di un numero razionale è ancora un numero razionale. Con il gruppo commutativo (ℚ, +) e (ℚ, .), si afferma la proprietà distributiva: p(q + q^-¹) = p . q^-¹ + y . y.

Teorema sui numeri razionali

Supponiamo che q² = 2. Si avrebbe q = b/a e questo implica una contraddizione al determinare i numeri razionali. Proviamo che a²/b² = 2 non può avere a e b interi dove a/b è ridotto ai minimi termini. Dimostrazione: a = 2c implica a² = (2c)² = 4c² = 2b² quindi b² = 2c² e b = 2c, impossibile per numeri razionali.

In sintesi, non esiste nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia 2.

Numeri irrazionali

Considerando √2, √2 √2 e d, questi numeri sono incommensurabili. Esistono due numeri [(a)] che sono irrazionali e non possono essere espressi in parti decimali.

Irrazionali algebrici

Gli irrazionali algebrici sono ottenibili come soluzioni di equazioni di qualsiasi grado con coefficienti interi, per esempio x² - 2x + 1 = 0.