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FWHM= F FWHMlarghezza a metà altezza
La dimensione del picco è espressa tramite la ( ) del picco stesso: minore è questo valore, più piccati saranno i picchi e maggiore sarà la precisione. Ugualmente, maggiore è la finezza, maggiore è la precisione. Possiamo Qfattore di qualità inoltre definire un ( ) come il rapporto fra la frequenza risonante e la larghezza spettrale: ν m =mFQ≡ FWH M m Una cavità di Fabry-Pérot può essere utilizzata come filtro ottico: la luce entra e trasmette parzialmente all'interno del device, poi subisce riflessioni multiple e solo alcune lunghezze d'onda, per il fenomeno di interferenza, sono selezionate e determinano dei picchi spettrali. Le cavità di Fabry-Pérot posso essere usate per misurare lunghezze a fronte di una lunghezza d'onda nota introdotta nel sistema, come spettrometri a elevata risoluzione e come strutture ottiche risonanti di altaqualità per la costruzione di laser.Elettroni e Luce in Strutture Periodiche
Richiami di Fisica dello Stato Solido
Un sistema solido cristallino è caratterizzato da un potenziale periodico in termini di dipendenza spaziale:
U(r) = U(r + n1a1 + n2a2 + n3a3), n1, n2, n3 ∈ Z
Una funzione periodica può sempre essere espressa come una serie di Fourier.
Sapendo che il problema, in quanto quantistico, prevede la risoluzione dell'equazione di Schrödinger agli stati stazionari, in cui compare l'Hamiltoniano e dunque il potenziale U(r), ne deriva che anche la funzione d'onda degli elettroni che subiscono lo stesso potenziale, possono essere rappresentati da una funzione d'onda periodica. Una trattazione matematica rigorosa porta al teorema di Bloch:
Ψ(r) = eik•ruk(r)
Si nota l'analogia con la funzione d'onda per elettroni liberi, con la differenza che uk(r) è
periodica rispetto a con la stessa periodicità del reticolo, non unacostante. Dall’applicazione delle condizioni periodiche al contorno consegue ladiscretizzazione dei vettori d’onda associati agli elettroni nel reticolo stesso attraversoil numero di atomi e la distanza fra posizioni reticolari:2 π=k nx xaNI vettori d’onda identificano le funzioni d’onda, ma questa identificazione non èprimaunivoca, bensì ridondante. La rimozione dell’informazione superflua porta allazona di Brillouin (FBZ) per descrivere l’intero problema cristallino. Per rappresentarel’energia nello spazio dei vettori d’onda, una delle rappresentazioni più utilizzate èridotta, estesa (unklappe):quella ottenuta da quella attraverso processi di simmetriaIn corrispondenza dei limiti delle zone di Brillouin, si aprono dei gap energetici: è una( )U xconseguenza diretta della presenza del potenziale e matematicamenteemerge dalla
possiamo ottenere l'equazione di conservazione del momento: \[ \frac{d\mathbf{p}}{dt} = -e\mathbf{E} \] dove \(\mathbf{p}\) è il momento dell'elettrone, \(e\) è la carica dell'elettrone e \(\mathbf{E}\) è il campo elettrico esterno. Questa equazione ci dice che il momento dell'elettrone può cambiare solo se è presente un campo elettrico esterno. Nel caso di un cristallo, l'elettrone si muove all'interno di una struttura periodica e quindi il campo elettrico esterno è nullo. Di conseguenza, il momento dell'elettrone si conserva e possiamo definire il quasimomento come il momento dell'elettrone in assenza di campo elettrico esterno. Il quasimomento è quindi una grandezza utile per descrivere il moto degli elettroni all'interno del cristallo. Tuttavia, è importante notare che il quasimomento non rappresenta la quantità di moto effettiva dell'elettrone, ma è solo una quantità che ci permette di mantenere la definizione di momento anche nel caso di potenziale nullo. In conclusione, la teoria delle perturbazioni tempo-indipendente applicata al modello degli elettroni liberi ci permette di definire la velocità di gruppo degli elettroni all'interno del cristallo e di introdurre il concetto di quasimomento come una sorta di tentativo di mantenere la definizione di momento anche nel caso di potenziale nullo.sappiamo infatti che il momento è definito solo per particolari valori del potenziale (uno di questi è 0, come nel caso di elettrone libero), ma non si verifica in generale se il potenziale cristallino non è trascurabile. massa efficacie dell'elettrone: Infine, possiamo anche definire la 2ℏm ≡ 2dE2dk. Essa permette di riutilizzare molte delle relazioni dell'elettrone libero con la sola definizione del concetto di massa, che racchiude l'effetto del potenziale periodico. Si perde quindi il significato classico di massa, sostituito da una grandezza (tensoriale) che tiene conto della struttura a bande. Si consideri un materiale semiconduttore: esso presenta una banda di valenza e una di conduzione separate da un gap energetico. L'energia da fornire per la promozione di un elettrone è pari a quella del gap del semiconduttore, che è relativamente piccola e può essere somministrata termicamente o attraverso fotoni con.energia pari al gap (E ≈ 1-2 eV, range visibile). Per le transizioni mediate dalla luce abbiamo 2 casi:
gap Semiconduttori diretti:
- le bande di valenza e conduzione hanno massimo e minimo allineati, quindi si ha una transizione energetica detta mediata esclusivamente da un fotone. Un esempio è Ge
gap Semiconduttori indiretti:
- il massimo della banda di valenza e il minimo di quella di conduzione si trovano a valori diversi del vettore d'onda, quindi la transizione richiede 2 step, uno mediato da un fotone e uno da un fonone. Un esempio è il Si
Cristalli Fotonici:
I cristalli fotonici sono capaci di confinare fotoni con un sistema periodico di indici di rifrazione. Dei gap energetici proibiti emergono anche in questo caso: alcune lunghezze d'onda non possono essere trasmesse attraverso il cristallo, che dunque riflette completamente specifiche frequenze, o intrappola fotoni generati al suo interno se
posseggono energie proibite: dunque è possibile ottenere guide d'onda molto efficienti a partire da difetti di linea nel cristallo, o micro-cavità in presenza di difetti di punto. Le dimensioni caratteristiche per i fenomeni di confinamento sono però diverse da quelle elettroniche e sono 100 nm ÷ 1 μm paragonabili alla lunghezza d'onda (λ). Inoltre, i cristalli fotonicidifficilmente si ritrovano in natura, ma devono essere fabbricati artificialmente, con l'eccezione di:
- Opali, minerali che presentano strutture sferiche periodicamente ripetute secondo un reticolo FCC, dunque le frequenze riflesse cambiano a seconda della direzione di incidenza, causando le tipiche variazioni di colore
- Ali delle farfalle, in cui alcune colorazioni sono dovute a pigmenti, ma altre a strutture periodiche che causano diffrazione
In questo caso ci riferiamo a una struttura a bande ottica, dunque il modello di energia parabolica elettronico è sostituito da
uno lineare per via delladifferente relazione di dispersione. Come la presenza del potenziale periodico apriva dei gap energetici, lo stesso avviene nel caso ottico per via degli indici di rifrazione periodicamente disposti nel cristallo fotonico. I gap indicano che esistono delle specifiche lunghezze d'onda a cui non è consentito propagare nel cristallo stesso. Un esempio di struttura periodica è il riflettore di Bragg. L'alternanza di indici di rifrazione può svilupparsi in 1 (come nel 2o 3 direzioni. Per quanto riguarda i cristalli artificiali, è difficile costruire delle strutture ripetitive, e anche altri parametri, come la differenza fra gli indici di rifrazione, complicano ulteriormente il processo. Un teorema di Bloch ottico può essere ricavato in un sistema 1D applicando condizioni costanti dielettriche periodiche al contorno (come per gli elettroni). In questo caso la (ε ) fa le veci del potenziale: ( )=ε ( ) ∈+naε x x n. Anche qui, grazie alla simmetria traslazionale,emerge una funzione di Bloch formalmente identica a quella elettronica, con una fase e una funzione con la stessa periodicità della struttura (è il numero totale di posizioni reticolari): 2 πni xNa( )=u ( ) ( )=u ( )E x x e u x x+ na 29 La formazione di gap energetici ai limiti delle BZ suggerisce la possibilità di avere scattering di Bragg, anche nel caso ottico. Come la funzione d’onda elettronica era riflessa avvicinandosi alla posizione nucleare per l’interazione con il potenziale, nei cristalli fotonici, in corrispondenza di ogni superficie di separazione fra materiali con indici di rifrazione differenti, la luce è in parte riflessa in direzione opposta a quella di partenza, quindi la riflettanza totale deve tenere conto di tutti gli infiniti contributi come segue: 1−ikx −i −ikx −i −ikx −ikx2 ka 4 ka+ +rR=r e r e e e e …=r e −i 2 ka1−econdizione di Bragg Ne deriva che la riflettanza esplode sela si verifica:πi2 ka ⟹=1e k=n aLe frequenze che la soddisfano non possono propagare nel cristallo, aprendo così ilgap energetico. Il gap si apre con retta tangente (ossia derivata) esattamente nulla.Anche in questo caso la rappresentazione ridotta è conveniente, quindi possiamoriferirci alla sola FBZ. ω ωEsistono quindi due frequenze e che delimitano il band gap e che non1 2possono propagare nel cristallo fotonico, restando confinate sottoforma di onden nstazionarie rispettivamente nei materiali con indice di rifrazione e .1 2L’equivalente luminoso di banda di valenza e di conduzione è:ω ≤ ωBanda dielettrica ( ), in cui l’indice di rifrazione è più elevato 1ω ≥ ωBanda d’aria ( ), a indicare che l’indice di rifrazione è il più basso dei 2 2(tipicamente aria)Tutte le altre frequenze intermedie sono proibite.Proponiamo ora alcuni esempi di strutture a bande reali
Per cristalli fotonici:
Cristallo 3D con reticolo FCC (a sinistra): non compare alcun band gap completo
Poiché i rami si intersecano e non esiste alcuna regione di frequenze angolari (quindi energie) non attraversata dai rami stessi. Solo fissando alcune direzioni band gap parziale: vi è una spaziatura. Si parla di un se una luce viene inviata al cristallo secondo questa direzione, si ottiene riflessione di Bragg nel range evidenziato, ma se cambiamo direzione, la situazione cambia.
30Cr
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