Nanostructured materials

Materiali

Nanostrutturati

Anno Accademico: 2020-2021

Docente: Marinella Elvira Angela Del Zoppo

Appunti a cura di: L. A., M. B., M. C. e E. M.

Con il supporto di S. D.

Sommario

Onde e Particelle............................................................................................................ 4

Teoria Classica dell’Elettromagnetismo.......................................................................4

Richiami di Meccanica Quantistica.............................................................................. 8

Isomorfismo Schrödinger-Helmholtz............................................................................8

Confinamento Quantico................................................................................................ 10

Onde.......................................................................................................................... 11

Guida d’Onda Ottica Planare..................................................................................16

Particelle.................................................................................................................... 18

Effetto Tunnel............................................................................................................... 20

Effetto Tunnel di Particelle......................................................................................... 20

Doppia Barriera e Tunnel Risonante.......................................................................21

Effetto Tunnel Ottico.................................................................................................. 23

Interferometro di Fabry-Pérot................................................................................. 24

Elettroni e Luce in Strutture Periodiche........................................................................26

Richiami di Fisica dello Stato Solido...........................................................................26

Cristalli Fotonici......................................................................................................... 28

Difetti nei Cristalli Fotonici..................................................................................... 31

Semiconduttori.......................................................................................................... 32

Strutture Confinate....................................................................................................... 38

Pozzi Quantici Reali................................................................................................... 38

Pozzi Multipli e Superreticoli Semiconduttori.............................................................44

Quantum Wires.......................................................................................................... 44

Quantum Dots........................................................................................................... 46

Quantum Rings e Quantum Corrals...........................................................................46

Riepilogo sul Confinamento....................................................................................... 47

Manifestazioni del Confinamento Quantico...............................................................47

Pozzi Quantici......................................................................................................... 48

Quantum Wires e Quantum Rods...........................................................................50

Quantum Dots........................................................................................................ 51

Diagramma CIE di Cromaticità............................................................................... 54

Laser............................................................................................................................. 54

Proprietà Generali...................................................................................................... 55

Struttura Tipica di un Laser....................................................................................... 55

Interazione Fotoni e Atomi: Emissione Stimolata.......................................................55

Inversione di Popolazione....................................................................................... 56

Sistema a 3 Livelli..................................................................................................... 60

1

Sistema a 4 Livelli..................................................................................................... 61

Spettro di Emissione di un Laser a Gas.....................................................................62

Meccanismi Responsabili della Dispersione............................................................62

Condizione di Risonanza......................................................................................... 64

Laser: Multimodali vs Modo Singolo.......................................................................66

Amplificazione della Luce....................................................................................... 68

Modi Trasversali...................................................................................................... 68

Condizioni Quantitative per le Oscillazioni nei Laser..............................................69

Perdite del sistema.................................................................................................... 70

Condizione di Lasing e Oscillazioni.........................................................................71

Stato Stazionario.................................................................................................... 71

Sintesi Riassuntiva.................................................................................................... 76

Applicazioni Laser......................................................................................................... 76

Laser a Rubino........................................................................................................... 76

Struttura del Laser a Rubino................................................................................... 77

Laser a He-Ne............................................................................................................ 77

Laser a Nd: YAG......................................................................................................... 80

Laser a Eccimeri........................................................................................................ 80

Laser a Coloranti....................................................................................................... 81

Proprietà dei Fasci Laser............................................................................................... 81

Laser Diode................................................................................................................... 84

Transizioni Radiative nei Semiconduttori...................................................................84

Condizioni di Assorbimento e di Emissione................................................................85

Semiconduttori a Band-Gap Diretto e Indiretto......................................................87

Spettro di Emissione............................................................................................... 87

Inversione di Popolazione....................................................................................... 88

Giunzione p-n............................................................................................................ 89

Condizione per Inversione di Popolazione per Emissione Stimolata nei

Semiconduttori....................................................................................................... 90

Cavità di Risonanza................................................................................................ 92

Confronto fra Laser e LED...................................................................................... 93

Doppia Etero-Giunzione............................................................................................. 93

Rate allo Stato Stazionario..................................................................................... 96

Single Quantum Well Laser (SQWL).........................................................................101

Multiple Quantum Well Laser (MQWL).....................................................................102

Separate Confinement Heterostructure (SCH)......................................................103

Quantum Wire Laser................................................................................................ 104

Quantum Dots Laser (QDL)...................................................................................... 104

2

Problemi e Vantaggi dei QDL................................................................................107

Confugurazioni Laser.................................................................................................. 107

Edge Emitting Laser (EEL)....................................................................................... 107

Vertical Cavity Surface Emitting Laser (VCSEL).......................................................107

Distributed Bragg Reflectors................................................................................108

Quantum Cascade Laser (QCL)................................................................................... 109

Tecniche di Fabbricazione........................................................................................... 110

Molecular Beam Epitaxy (MBE)............................................................................. 115

Chemical Vapor Deposition (CVD)........................................................................116

Proprietà Ottiche dei Metalli....................................................................................... 116

Modello di Lorentz................................................................................................... 117

Modello di Drude..................................................................................................... 122

Correzione dei Modelli Teorici.................................................................................. 124

Plasmoni Superficiali............................................................................................... 129

Eccitazione dei Plasmoni Superficiali....................................................................135

Plasmoni Superficiali Localizzati.............................................................................. 140

3

Onde e Particelle

La luce può essere studiata da diversi punti di vista, corrispondenti a diversi livelli di

approssimazione:

Ottica geometrica: la luce si propaga secondo raggi (approccio più

 approssimato, valido solo per l’interazione con oggetti macroscopici). In questo

ambito l’interesse è esclusivamente concentrato su intensità e direzione del

raggio

Ottica ondulatoria: le dimensioni caratteristiche del corpo che interagisce con la

 luce sono dell’ordine della lunghezza d’onda

Elettromagnetismo: si considerano i 2 campi (elettrico e magnetico, e di

 conseguenza anche la polarizzazione) associati all’onda stessa

Ottica quantistica, in cui la luce è quantizzata in fotoni



Teoria Classica dell’Elettromagnetismo

Partiamo direttamente dalle equazioni di Maxwell in forma differenziale, che

descrivono sinteticamente l’intera teoria:

{ −∂ B

∇ × E= Legge di Faraday

∂t

−∂ D

∇ = +

×H J Legge di Ampere−Maxwell

∂t

∇ ∙ D=ρ Legge di Gauss Elettrica

∇ ∙ B=0 Legge diGauss Magnetica

In queste relazioni compaiono 4 campi vettoriali:

Campo elettrico nel vuoto ( )

E

 Campo magnetico nel vuoto ( )

H

 Campo elettrico nei materiali ( ), legato a quello elettrico nel vuoto ( ) e

D E

 P

al vettore di polarizzazione elettrica ( ) secondo la relazione:

D=εε E+ P

0

ε ε

Dove è permissività elettrica nel vuoto e quella nei materiali

0

Campo magnetico nei materiali ( ), legato a quello magnetico nel vuoto (

B

 H M

) e al vettore di polarizzazione magnetica ( ) attraverso:

+

B=μ H μ M

0 μ μ M

Dove è permissività magnetica nel vuoto e quella nei materiali.

0

è in generale considerabile come nullo per materiali non ferromagnetici

A questi 4 vettori si aggiungono le seguenti densità:

4

Densità di carica ( )

ρ

 Densità di corrente ( )

J

 ( )

u r ,t

L’ottica ondulatoria descrive la luce come un campo reale scalare che

soddisfa l’equazione:

2

1 ∂ u

2

∇ =0

u− 2 2

c ∂t

L’elettromagnetismo è una generalizzazione dell’ottica ondulatoria in cui si utilizzano

E H

campi vettoriali ( e ), i quali devono quindi sottostare alla stessa equazione

differenziale. La luce è quindi composta da 2 onde propaganti e, di conseguenza,

trasporta anche una polarizzazione. Poiché le 4 equazioni di Maxwell rappresentano

una descrizione completa dell’elettromagnetismo, dev’essere possibile derivare

l’equazione d’onda a partire da queste. Per prima cosa definiamo il laplaciano del

E

campo vettoriale :

2 ( )−∇ ( )

∇ ∇ ∇

E=∇ ∙ E × × E P=0

Considerando per il momento si ottiene:

2

∂ E

2

∇ =0

E−μ μ ε ε

0 0 2

∂t

Analoghe considerazioni possono essere fatte per il campo magnetico, giungendo alle

stesse conclusioni:

2

∂ H

2

∇ =0

H−μ μ ε ε

0 0 2

∂t

Il coefficiente che precede la derivata seconda è il quadrato dell’inverso della velocità

di propagazione dell’onda stessa, e quindi la velocità della luce nel mezzo è ricavabile

da: 1

=

v √ μ μ ε ε

0 0

Nel caso la luce propaghi nel vuoto, si ottiene che:

1

c= √ ε μ

0 0 indice di rifrazione

Di conseguenza, possiamo definire l’ nel mezzo come segue, dove la

permissività magnetica è trascurabile visto che non trattiamo in generale materiali

ferromagnetici: c

√ √

n ≡ εμ ≈ ε n= v

L’indice di rifrazione rappresenta una sorta di densità ottica, ossia un’osservabile fisica

che in questo caso determina una riduzione della velocità della luce nel mezzo come

precedentemente descritto. onda piana monocromatica:

La più semplice delle soluzioni dell’equazione d’onda è l’

5

( )

( )=E +ϕ

E z ,t cos ωt−kz

x 0 0 E

La componente del campo elettrico lungo le ascisse ( ) è il prodotto di

x

E

un’ampiezza ( , una costante) per una funzione periodica oscillante con frequenza

0 ϕ

ω k

angolare ( ), vettore d’onda ( ) e fase iniziale ( ). L’intero argomento della

0 z

fase

funzione coseno rappresenta la dell’onda. Fissando un valore di a un

t

determinato tempo , la fase risulta costante, quindi individua dei piani in cui il

fronti d’onda.

valore del campo è costante: i La velocità con cui si muovono prende il

v

velocità di fase

nome di ( ):

p

2 π

dx λ k ω

= = =

v ≡

p dt T 2 π k

ω λ T

Un picco percorre una distanza in un periodo . Questa è l’unica nozione di

v

velocità che possiamo definire per un’onda piana monocromatica (quindi p

v

coincide con usata nelle relazioni precedenti). Sostituendo questo risultato nella

n m

relazione di in un materiale otteniamo:

c ∙ k

c nω

m

= =

n= → k m

v ω c

p ω=ck

Dalla relazione di dispersione per la luce nel vuoto sappiamo invece che

Mettendo insieme le ultime 2 relazioni si ricava:

λ

=nk =

k → λ

m m n velocità di gruppo

In generale, possiamo definire una ulteriore nozione di velocità: la (

v ). Questa coincide con la velocità di trasmissione dell’informazione (velocità della

g v

luce nel mezzo utilizzata nelle relazioni precedenti) e può essere espressa

matematicamente dalla relazione:

dω

v ≡

g dk

Nel caso di onda piana monocromatica, la velocità di gruppo e quella di fase sono

v

uguali, per cui possiamo fare riferimento alla sola velocità , ma in generale questo

modello risulta essere troppo idealizzato per fornire una descrizione fisica

soddisfacente del problema. l’onda sferica,

Un altro tipo di funzione propagante è in cui si ha un’attenuazione del

fronte man mano che ci si allontana dalla sorgente attraverso una relazione di

proporzionalità inversa:

E 0 ( )

= +ϕ

E cos ωt−kr

r 0

r

Possiamo pensare all’onda piana monocromatica come un caso limite di onda sferica

pacchetto d’onda,

la cui sorgente ha dimensione infinita. C’è poi il che può essere

principio

visto come un’altra generalizzazione dell’onda piana attraverso l’impiego del

di sovrapposizione: è definibile come una somma di onde piane monocromatiche

6

differenti, ciascuna con la propria frequenza angolare e quindi una propria velocità di

fase. In particolare, la relazione che lega le 2 velocità è la seguente:

( ) ( )

dω c k dn k dn c

= = =v =

v 1− ∙ 1− ∙

g p

dk n n dk n dk dn

n−λ dλ mezzo non

Se l’indice di rifrazione non dipende dalla lunghezza d’onda, si parla di

dispersivo (come il vuoto), allora velocità di gruppo e di fase coincidono:

( ) ⟹

=n =v

n λ v g p

Altrimenti si parla di un mezzo dispersivo: le differenti onde monocromatiche tendono

a separarsi e il pacchetto d’onda si estende durante il moto. Il motivo per cui si può

definire una sola vel