Moto Vario in una condotta forzata metodo di Bergeron Schneider

MOTO VARIO in CONDOTTA FORZATA

Hp. ALLIEVI

(★) _Δs/_Δt = ± C

Nelle hp. di Allievi, percorrendo la condotta nel senso positivo delle ascisse si ha:

Δ_Ys,t = Δ_Yst' + _c/_g (V_s,t - V_st' ) ⇒

⇒ Δ_Ys,t - _c/_g V_s,t = Δ_Yst' - _c/_g V_st' ⇒ _g Δ_Ys,t - V_s,t = _g Δ_Ys,t' - V_st' ⇒

⇒ V_s,t = _g Δ_Ys,t' = V_s1 ± _g/_c Δ_Ys,t' ⇒ per le η : V - _g/_c Δ_Y = cost.

Si divide la condotta da O e L in m parti uguali: in questo caso Δx = _L/₄ con M=4. Si fissa un certo Δt pari a Δs/C. Si consideri il p.to C1 di cui si vogliono definire le condizioni idrodinamiche. Poiché sono stati scelti Δs e Δt, se si traccia una retta inclinata di +C, essa appartiene alla c. caratt. positivo (*) che ha per piede B_o.

NOTA: è stato scelto Δt = Δs/C, quindi tracciando le c. caratt. che parte B_o, pervengo in C₁ entro un tempo Δt, poiché Δs e t sono legate da +C.

Il punto C1 appartiene alla linea caratteristica. È che ha piede in B0 e,

alla linea caratteristica y con piede in D0. Quindi si può scrivere:

• V_c1 + ξ Δy_c1 = V_B0 + ξ ^g/_c Δy_B0 → lungo ξ
• V_c1 - ξ Δy_c1 = V_D0 - ξ ^g/_c Δy_D0 → lungo η

Le condizioni iniziali in B0 e D0 sono note ⇒ è un sistema di 2 eq. in

zincognite. (V_a1, Δy_a1).

Sono state indicate con: □ CONDIZIONI INDISTURBATE ; non cambiano

rispetto alle c. iniziali ⇒ V = V₀ ; Δy = 0.

• CONDIZIONI DISTURBATE

Risolvendo il sistema per C1 (si ottiene Δy sottraendo membro a membro le

due equazioni e, V_c1 = V₀ addizionando membro e membro), la soluzione

sarà: Δy_A = 0 e V_A = V₀) condizioni INDISTURBATE.

Quanto fatto per C1 si può ripetere anche per B4 ad esempio:

• V_B1 + ^g/_c Δy_B1 = V_A0 + ^g/_c Δy_A0 → lungo una ξ
• V_B1 - ^g/_c Δy_B1 = V_C0 - ^g/_c Δy_C0 → lungo una η

"○" come radice richiamano una condizione iniziale, anche per questo punto si :

ottengono dei risultati che sono frutto delle condizioni indisturbate: V_B1 = V₀

e Δy_B1 = 0 ; rifacendo lo stesso per A4 :

• V_A1 - ^g/_c Δy_A1 = V_B0 - ^g/_c Δy_B0 ⇒ V_A = V₀ → condiz. INDISTURBATE
• Δy_A1 = 0 → condiz. di contorno

Per il punto E4 c'è la linea ξ e la condizione al contorno :

• V_E4 + g/Σ ΔE4 = V_B0 + ^g/_c Δy_B0 → Δy ≠ 0
• V_E4 = f(t) → con. contorno → V_E4 ≠ V₀

V_E4 ≠ V₀ quindi pertiene le condizioni iniziali → COND. di PERTURBAZIONE.

Laddove le linee caratteristiche partono da condiz indistrubute, arrivano sempre a

condiz indisturbate. Ma rifacendo tutto quanto per un tempo 2Δt si che da i

quanti A1, B2, C2 sono in condizioni indisturbate, dal momento da le relative

condizioni aerodinamiche dipendono da A1, B1 e C1 che sono indisturbati.

Andando in D2, la linea caract. ξ che parte da C4 che è indisturbato, ma in D2

arriva anche il η che parte da E4 il quale è disturbato ⇒ in D2 le condizioni :

SOMUNO DISTRURBATE.

In E2 la linea caract. ξ parte da D4 che è indistr. ma le delle cond. al contorno de

generano una V_E2 ≠ V₀ = COND. DIST.

La prima perturbazione dell'ottuatore parte da un istante Δt e si propaga

facendo resistenz da parte effetit, all' imboco dopo un tempo L/c.

Per Θ > 1 : FASE DI CONTRACOLOPO - Si consideri ell'uopo un punto O ricadeente

te in tale foo per cui si vogliono conoscere le condizioni idrodinamiche:

V_o,t = ^c/_g ΔY_o,t = V_imbocco(t-^L/_c) + ^g/_c ΔY_imbocco(t-^L/_c)

V_o,t = K η (t) √2g (Y_o + ΔY_o,t)

La linea carott. che arriva a O parte sempre dell'imbocco che adesso non risulta

piu avere indisturbato, b.t.c.n. si puo imaginare che il punto di arrivo

tempo t-L/c, quale che accade all'otturatore (P.to O) si puo relazionare con quanto

accade all'imbocco all'istante t-L/c. Il problema è che non si conoscono le

condizioni idrodinamiche V è ΔY all'imbocco Il tempo indicato.

Ha il.p.to imbocco al tempo t-1le si puo imaginare come il.p.to di arrivo

di una carott. che parte dell'otturatore all'istante t -2L/c. Si Puo allora

scrivere :

{ V_{imb. (t-4/c)} - ^g/_c ΔY_{imb. (t-4/c)} = V_{ott. (t-4/c)} - ^g/_c ΔY_{ott. (t-4/c)}

ΔY_{imb. (t-4/c)} = 0 → CONDIZIONE DI CONTRONO.

Se si conoscenessero le condizioni idrodinamiche ell'otturatore al tempo t-

si potrebbero calcolare del sistema precedente le condizioini idrodinamiche

all'imbocco in foei di contracolpo. Le condizioni all'otturatore e un tempo

t-2L/c sono quelle delle foe di colpo diretto, si puo quindi scrivere il sistemda

seguente :

{ V_ott.(t-2L/c) + ^g/_c ΔY_ott.(t-2Lc) = V_o

V_ott.(t-2L/c) = K η(t-2L/c) √2g (Y_o + ΔY_ott.(t-2L/c))

In pratca, del teupo di partenza e cioé del punto in corrispondenza dell'otturatore

(nella foe di contraccolpo) si traccia la linea caratterisitca all'imbocco, quindi si

oriva ad avere elle condizioni indisturbate. Dell'imboco si coinidere l'altres

linea carot.t.(andando indietro) che arriva a S-L ed un teupo T in cui sonu

presenti delle condizioni indisturbate.

Quindi, si puo risolvere il sistema (1). Se non si corrivava. e un teupo cui

corispndono condizioini undisturbate allora si doveva andare ancora piu

indietro fintano che non si arrovava un condizio di colpo diretto.

RIASSUMENDO: Deto un teup t = t* in foep di contraccolpo, si devonu calcula

re.le cond.i.idrodinamiche al t* => si parte dell'otturatore, "zimbocando"

tra ott. a imb.) imb. e z.ott. di MEZZA RITTO pun quando non si trovi ville la foe

di colpo diretto. = dove trovare CONDIZIONI che (3). Si possono determinare

il (2). = ma qui non si conoscono le cond. all'imb. (t-L/c) = si possoo

determinere tramite (2) = ma qui son note q.c.e. Ler cond. a (t-4c/= si possss

tras.... (1) ....a si deto dal not f.nin inform 12. Sisi t. (ΔYn)

Se si risolvono le cond. idrod. per Θ=3.5 (all'otturatore) si deve rifare tutto, perché rispetto a prima vanno considerate tutte altre perdite. Vanno considerati solo i multipli del periodo. Dopo aver cioè imposto il tempo, la stessa procedura è valida per tempi maggiori ma sempre multipli di quel periodo.

Andando avanti con la stessa procedura (multiplo intero del periodo), ad es. per Θ=5, si prosegue dalle condizioni calcolate e meglio trovate per l'otturatore Θ=3. Si nota che c'è un'alternanza di sovrapposizioni e depressioni (positive e negative) che non si smorzeranno mai, per Θ=1000 continuano a girare sui qui punti; questo perché sono state trascurate le resistenze.

Si esegue adesso una manovra di apertura: completa apertura dell'otturatore.

ESERCIZIO

Si ricerchino le condizioni idrodin. dell'otturatore per Θ=2.5.

=>Si procede per multipli di 0.5

• Θ=0.5
• Θ=1.0
• Θ=1.5
• Θ=2.0
• Θ=2.5

Si parte da Θ=0.5; per determinare le condizioni idrodinamiche all’otturatore a Θ=0.5 si deve risolvere il sistema quindi si considera l’intersezione tra la parabola α=0.5; η=0.25 con la retta che passa per le condizioni iniziali inclinata di e/g. Noto che sia il p.to di intersezione che determina le condizioni idrodin. all’otturatore a Θ=0.5 si procede.

Per calcolare le condizioni all’imbocco e Θ=1 si risolve il sistema che è compo sto da due rette, si vedrà quindi l’intersezione dell’asse delle ascisse con la retta definita da c/a che pente del punto corrispondente alla cond. all’ott. a Θ=0.5