Moto - Fisica 1

Moto rettilineo

Il moto rettilineo si svolge lungo una retta sulla quale vengono fissati un'origine e un verso; il moto del punto è descrivibile tramite una sola coordinata x(t).

Velocità

Supponiamo che all'istante t₂ il punto si trovi nella posizione x₂ e all'istante t₁ nella posizione x₁ lo spostamento del punto nell'intervallo di tempo Δt = t₂ - t₁ è x₂ - x₁. La velocità media v_m del punto è definita come rapporto tra lo spostamento Δx e l'intervallo di tempo Δt:

v_m = Δx / Δt = (x₂ - x₁) / (t₂ - t₁)

Essa dà un'informazione complessiva senza fornire nessuna indicazione su come avviene il moto nell'intervallo di tempo considerato. Se Δx risulta suddiviso in un numero elevatissimo di intervallini dx ciascuno percorso nel tempo dt, si può definire la velocità istantanea ad un istante t_i del punto in movimento come il rapporto:

v = dx / dt Unità di misura: m - metro / s - secondo

La velocità istantanea rappresenta la rapidità di variazione temporale della posizione resa istante considerato. Tale espressione la si può riscrivere anche nel seguente modo:

dx = v(t) dt

Lo spostamento complessivo sulla retta su cui si muove il punto in un intervallo finito Δt = t - t₀ è dato dalla somma di tutti i successivi valori dx. Allora

Δx = ∫_x₀^x dx' = ∫_t₀^t v(t') dt x(t) = x₀ + ∫_t₀^t v(t') dt

Così, la velocità media è uguale al valore medio della velocità istantanea nell'intervallo di tempo considerato.

Nel caso particolare in cui sia v = costante si parla di moto rettilineo uniforme e si ha:

x(t) = x₀ + ∫_t₀^t v dt = x₀ + v (t - t₀) si ha: x(t) = x₀ + vt

Tali leggi mostrano che lo spazio è una funzione lineare del tempo; in tempi uguali sono percorsi spazi uguali.

Accelerazione

Quando la velocità del punto varia nel tempo il moto si dice accelerato. Se tra gli istanti t₂ e t₁ la velocità varia da v₁ a v₂ si definisce accelerazione media del punto il rapporto tra la variazione di velocità Δv e l'intervallo di tempo Δt in cui avviene la variazione:

a_m = (v₂ - v₁) / (t₂ - t₁) = Δv / Δt

L'accelerazione istantanea

è la rapidità di variazione temporale della velocità, cioè:

a = dv/dt = d²x/dt²

Unità di misura: m/s²

Se a > 0, la velocità è crescente nel tempo; se a < 0, la velocità decresce.

Se la velocità è costante, si ha v(t) = v₀ + ∫ a(t) dt e pertanto

v(t) = v₀ + ∫ f_t0 a(t) dt

Se l'accelerazione non è costante, il moto rettilineo si dice vario; se invece l'accelerazione è costante, il moto si dice uniformemente accelerato e la dipendenza della velocità dal tempo è lineare:

v(t) = v₀ + a (t - t₀)

se t₀ = 0

v(t) = v₀ + at

Tenendo conto della posizione x(t), si ha:

x(t) = x₀ + ∫ v₀ + ∫ f_t0 a(t - t₀) dt = ∫ v₀ dt + ∫ f_t0 a(t - t₀) dt x(t) = x₀ + v₀ (t - t₀) + a (t - t²) / 2

Moto verticale di un corpo

Se trascuriamo la resistenza dell'aria, un corpo lasciato libero di cadere in vicinanza della superficie terrestre si muove verso il basso con un'accelerazione costante g = 9,8 m/s², e il moto è dunque rettilineo uniformemente accelerato.

Poniamo in un sistema di riferimento con origine al suolo e asse x rivolto verso l'alto. In questo sistema a = -g = -9,8 m/s² (se l'asse fosse orientato verso il basso, h sarebbe positivo).

Consideriamo la caduta libera di un corpo da un'altezza h con velocità iniziale nulla, le condizioni iniziali sono x₀ = h, v₀ = 0, t₀ = 0. Allora si ha:

v(t) = -gt

x(t) = h - 1/2 gt²

In particolare il tempo di caduta e la velocità al suolo sono:

t_c = √2h/g v_c = √2gh

Se invece il punto di lancio è verso il basso si ha:

v(t) = v_i - gt

x(t) = h - v_i t - 1/2 gt²

t_c2 = v_i/g √v²_i + 2gh v_c2 = √v²_i + 2gh

Accelerazione

In generale, durante il moto, il valore velocità v non resta costante al trascorrere del tempo, ma cambia perché varia o suo modulo o sua direzione orientata o entrambi.

Dunque l'accelerazione di un punto nel piano esprime la variazione del vettore velocità ed ha due componenti:

• una lungo la direzione del moto;
• una lungo la direzione del modulo delle velocità.

Utilizziamo gli sviluppi incrementali del moto.

Se a un intante t la velocità è v(t), all'istante t + Δt sarà: v(t + Δt), allora si definisce accelerazione media nell'intervallo Δt il vettore

_am = ^{v(t + Δt) - v(t)} / _Δt = ^Δv / _Δt

Se consideriamo il valore limite di _am per Δt → 0, si ottiene l'accelerazione istantanea.

_a = lim_{Δt→0 am} = ^dv(t) / _dt = ^d2r / _dt²

Come detto prima, la _a si può esprimere come somma di due vettori componenti, uno parallelo alla velocità, cioè collegato alla rapidità di variazione della parte scalare di questa, e un altro perpendicolare alla velocità, dipendente dalla rapidità di variazione della sua direzione. Infatti tenendo conto che

_dv = η d_{s v}^t + η dθ N = _aT + _aN

I retti normali alla traiettoria in due punti molto vicini tra loro si intersecano nel punto _C, che coincide con il centro della circonferenza tangente alla traiettoria nel punto P (detta circonferenza osculatrice) e si chiama centro di curvatura della traiettoria nel punto P. All'aumentare di P lungo la traiettoria, varia sia il raggio della circonferenza che la posizione di _C; l'arco di direzione di sole e pari a _R e _dφ con _R-_CP raggio di curvatura. Pertanto:

^d_φ / _dt = ^d_s / _{dt ¹} / _R^v/_R

Sostituendo: _{^d2s / dt² η v^t + η^dθ dt N} η _dvdt +_v² /_RN η _aT + _aN

Il modulo è: ^Δ=√(^{_aT2 + _aN2) = √(dv2_{dt ) + v4/R2}}

Le due componenti sono dette accelerazione tangenziale _aT e accelerazione centripeta _aN (diretta verso il centro della curvatura).

Oss.: In un moto aventilatore vanno entrambe le componenti sono diverse da zero. Se però il moto è curvilineo e una = nulla, allora . Nel moto rettilineo uniformemente da nulla •. Quindi se η e a_N = 0 → v = const sempre vanno.; se dv ≠ 0 η curvilineo.