Modello partizionato e statistica F

Valore atteso e varianza β₃

Sostituisco y = zβ₂ + xβ₃ + μ

Risolvo

Presa al valore atteso

β₃ è corretto anche non condizionatamente:

• E[β₃] = L.A.I.
• Var[β₃ | X]
• Senza condizionare applico legge scomposizione Var:
• NB: Questo procedimento è lo stesso per valor atteso e varianza del modello partizionato con 2 variabili.

Collinearità Perfetta

Quando 2 o più regressori forniscono informazioni simili, può verificarsi collinearità perfetta.

Nel caso di collinearità perfetta, 2 o più regressori sono combinazione lineare perfetta degli altri.

Sono informazioni perfette:

Con 4 individui:

A = B + C

Può conservare A ma non avere collinearità perf., deve togliere una dummy.

R² Corretto

R² aumenta sempre quando viene aggiunto un nuovo regressor. Tuttavia, l’aumento di R² non corrisponde necessariamente ad un miglioramento dei modelli di regressione. R² sovrastima quindi le bontà del modello.

Problema di adattamento

Per risolvere questo problema si utilizza R̅² che penalizza l’inserimento di un regressor aggiuntivo, aumentando solo nel caso di un effettivo guadagno di fitting.

R̅² R² per costruzione tuttavia quando k è molto alto o molto basso, i due valori sono simili.

Come R², anche R̅² più tende ad 1 più indica che i parametri introdotti nel modello forniscono buone previsioni della Y.

R̅² rileva due effetti quando k ⊕

L'effetto finale su R² dipende da quale dei due effetti prevale.

la matrice allora

Assumiamo

Onde posso all'altro passo:

lo posso riscrivere

Vogliamo applicare TLC:

Per applicare TLC devo appattare condizioni su σ²

Dato

Uso

La condizione non viene rispettata

Applico allora TLC per generalizzazione

Metto insieme il tutto:

Per Cramer Scluzky

simmmetrica