Modello partizionato e statistica F

Valore atteso e varianza

Simulazione

³ = (X₃M₂X₃)^-1X₃M₂Y

Sostituisco Y = ₂X₃₃ + ³ (X₃M₂X₃)^-1X₃M₂2₂ + X₃₃ + Risultò

³ = (X₃M₂X₃)^-1X₃M₂ (X₃M₂X₃)^-1X₃M₂³ + (X₃M₂X₃)^-1X₃M₂ = 0

Parte al valore atteso E3|X]=³+E(X₃M₂X₃ )^-1X₃M₂|X]E[³|X] - ³ (X₃m₂X₃)X₃m₂ E[|X] non distorsione

³ è corretto anche non condizionatamente: E[³] L.A.I E[E[³|X]] = E[P] + PVar ([³|X]) = E[(³|X) ] |X] [³)|X]Var(³|X) = E[(³ - ³)(³ - ³)|X]

con ³ - ³ . (X₃M₂X₃)^-1 X₃m₃ E[(X₃m₂X₃)^-4X₃m₂ ]]

µ (X'X)^-1X β + uβ bar -> β + (X'X)^-1 X'uβ - β bar -> (X'X)^-1 X'u

poiché u|X ~ N(0, σ²_uI_m), applico TLC

Distribuzione asintotica

- β~β bar | X ~ N (0, (X'X)^-1 x σ²_u x (X'X)^-1)

vettore riga → vettor colonna[Δ: u|X ~ N(0, Aσ²_u A')]

Distribuzione asintotica non quadratica ma gli estremi si distribuiscono in qualche modo vogliamo stimare la varianza

E[(x_i-x)] (n-1) : nE[(x_i-x)']Cov B^ tetad K MB ̂=B (x'x ) -1 x'y diviso per N non matrici → come da multiplicam

N(B̂ - B) → [ x ]E[(x_i-x)' ]B̂ - B = (x'x) -1 x'm

Σ = E [ xn1]Σ = E (X_i-x)' E [V_iV_j'](_x^tx)^-1 = ¹/_N ∑x_ix_i^t(x_ix_i^t)

la regressione x con l'errorex^tx = | (_x^tx)^-1 = ¹/_m ∑x_ix_i^t vettore dei regressori x con l'errore (_x^tx)^-1 = ¹/_N e_j^t (∑ x_ix_i^t) e_kvet. colonna (estrazione)vet. riga (estrazione)= ¹/_N ∑ x_jx_j^tx_ex_i^t

Potenza e condizioni

Una potenza fatta è che le v.c x_,y sono iid x_i sono iid x A2 → quindi anche tutti gli elementi dei vettori sono iid x_jtx_e → v.c. iid

Altra potenza E[x_i⁴] l² condizione di va RISPETTATA

Applico allora TLC N \frac{1}{N} \Sigma^xi \mu \overset{d}{\rightarrow} N(0 , \Sigma_v)

Metto insieme il tutto:

N(\hat{\beta} - \beta) = \ ((X'X)/N)((X'\mu)/N) per generalizzazione d\rightarrow N(0 , \Sigma_v)

Per Cromen - Siwity N(\hat{\beta} - \beta) \overset{d}{\rightarrow} N(0 , Q^*\Sigma L^-1) e con Q^* pⁱusimmmetico. (X'X)^-1\overset{d}{\rightarrow} N(0 , Q^-1 \Sigma L^-1)

Quindi_N(^β-β) = Q_X Z_N Q_X^-1 → lo uso per inferenza

Q_X E[ x_i |X] → assumo que ma conosco Q_X ma se il caso stimatore consistente

^X'X_N → Q_X¹/_N = l/m-k-1 → Σ x_i x'_i z_i² Albert White stimatore robusto all’eterschedasticità Si chiama anche:

_N(^β-β) → N(0, (^X'X_N Σ ^X'X_N)^-1) stimatore sandwich

ERRORI STANDARD _N(^β-β) → N(0, Q_X^-1 Z_N Q_X^-1) funzione lineare di β : c β

H₀ β₂ = 0 β = [^{β₀ β₁ β₂}]

c' = [1 0 ··· 0 1 0 ··· 0] Vettore interazione

_N (c'β) → N(0, c' Σ^β) _N (^β₂-β₁) → N(0, var (^β₂)) _N (^β₂) → N(0, c' Σ^β c)

H₀ : β₂ = 0 Subsequent H_0N (^β₂-0) → N(0,1)

stat. test è asintotica costruita prendendo diversi senza fare ass. su errori

Costruire intervallo di confidenza

Verifica di ipotesi su più coefficienti

Equazioni: y_i = β₀ + β₁ x₁ + β₂ x₂ + β_k x_k

Fine di ottenere stima di un parametro, invece ora lo facciamo x + parametri

H₀: β₁ = β₂ = 0

H₁: almeno uno β₁, β₂ ≠ 0

Implica che siano verificate congiuntamente

Per condurre il test congiuntamente?

Statistica F

H₀: tutti i parametri = 0 (Se i parametri non osservano il livello ci sono problemi)

Se voglio fare ipotesi congiunte sui parametri in termini matriciali

H₀: Serie di vincoli/restrizioni sui parametri Matrici che contengono vincoli/restrizioni sui parametri devono verificare: Rango (R) = q ≤ k+1

Esempio

H₀: β₁ + β₂ = 0

H₁: β₁ - β₂ ≠ 0

Quanti sono i vincoli?

• β₂ = β₃

Voglio scriverlo usando r

H₀: Rβ = rβ = [β₀, β₁, β₂, β₃, β_u]

Metto i vincoli: R (vett. estr) = [0, 1, 1, 0, 0] 1 × 5 β [β₀, β₁, β₂, β₃, β_u] = [0]

Altro esempio

H₀: β₁ - 2β₂ β₃ - β₄ 2 RESTRIZIONI

H₁: ≠«Ho espongo i vincoli»

R = [ 1 -2 0 0 0 0 1 -1]

[ β₀ ]
[ β₁ ]
[ β₂ ]
[ β₃ ] = [ 0 ]
[ β₄ ] = [ 0 ]

[ β₁ - 2β₂ ]
[ β₃ - β₄ ]

H₀: β₁ = β₂ = β₃ = 0

3 vincoli

R = [ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1]

[ β₁ ]
[ β₂ ] = [ 0 ]
[ β₃ ] = [ 0 ]
[ β₄ ] = [ 0 ]

Stat test F «NO ASSUNZIONI SU μ»

F = forma quadratica del mio vettore OLS

F = (Rβ̂ - r)^T [ R'Σ R ]^-1 (Rβ̂ - r) d χ²

Riscrivo F:

N (β̂-β) ≈ N (0, Σ N (β̂-β))

Sotto H₀: Rβ̂-r

N (Rβ̂-β) ≈ N (0, RΣ N (β̂-β) R^T)

N (Rβ̂-r) ≈ N (0, RΣ N (β̂-β)) χ²

t stat = √(N(x̄_m-x̄) N (0, Σ)) d N (0, Σ)- N (x̄_m-x̄)^T d χ²