Ripasso analisi: Hessiana
La matrice Hessiana è una matrice quadrata i cui elementi sono le derivate parziali seconde della funzione f reale di più variabili. Nel caso di una funzione con n variabili reali avrò che:
Hg = ( ∂2g / ∂x12 ... ∂2g / ∂x1∂xn ∂2g / ∂x2∂x1 ... ∂2g / ∂x2∂xn ... ∂2g / ∂xn∂x1 ... ∂2g / ∂xn2)
f : A ⊆ Rn → R
La funzione è definita in un sottomisura A di Rn e ammette derivate parziali almeno fino al secondo ordine in A. Possiamo scrivere che ∀ i, j ∈ {1, ..., n}
∂2g / ∂xi∂xj = ∂ / ∂xi ( ∂g / ∂xj )
Indice le derivate parziali rispetto a xi della derivata parziale della funzione rispetto a xj.
Esempio calcolo derivate parziali seconde
g(x, y) = 3x2y + 2xy4 + y3
Le variabili sono x e y
- ∂g / ∂x = 6xy + 2y4
- ∂2g / ∂x2 = 6y
- ∂2g / ∂x∂y = 6x + 8y3
- ∂g / ∂y = 3x2 + 8xy3 + 3y2
- ∂2g / ∂y2 = 24xy2 + 6y
Thm. Schwartz
Se tutte le derivate seconde sono continue in A allora le derivate miste seconde coincidono. La conseguenza del teorema è che l'Hessiana visualizza una matrice simmetrica.
Appunti MeccRaz: Ripasso analisi: Hessiana
La matrice Hessiana è una matrice quadrata i cui elementi sono le derivate parziali seconde della funzione f reale di più variabili. Nel caso di una funzione con n variabili reali avrò che:
(Hg) ∂2f ∂2f ∂2f ∂x12 ∂x1∂x2 ∂x1∂xn ∂2f ∂2f ∂2f∂x2∂x1 ∂x22 ∂x2∂xn ⋮ ⋮ ∂2f ∂2f ∂2f∂xn∂x1 ∂xn∂x2 ∂xn2
La funzione è definita in un sottinsieme A di Rn e ammette derivate parziali almeno fino al secondo ordine in A. Possiamo scrivere che ∀ i, j ∈ {1, ..., n}
∂2g / ∂xi∂xj = ∂2
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