La dinamica del punto materiale

L

⃗ ( )

=−k −z =−k −l

F z z−

2 2 0

2

( ) ( )

( ) ( )

−L L

⃗ =⃗ ⃗

+ =−k +l ±k −l =−2

F F F z− z− kz

1 2 0 0

2 2 ⃗ =m ⃗ −2

F g kz

Sul corpo di massa m agisce anche la forza peso quindi la forza complessiva diventa , e

2

ⅆ z 2 kz

+ =g

l’equazione differenziale invece che è un’equazione differenziale non omogenea.

2 m

ⅆ t

mg ⇔

z= F=0

Ricaviamo che e se sostituiamo questo risultato nell’equazione è soddisfatta.

2k

Premettiamo che, in generale, le soluzioni dell’equazione differenziale del moto armonico sono:

( )= ( )

+ϕ

x t A sin ωt

( )= ( )

ϕ

x t A cos ωt+

( )=

x t A ' cos ωt+ B ' sin ωt

Utilizziamo l’ultima soluzione aggiungendo la soluzione particolare incontrata prima, imponendo le

( )=0, ( )=0

z 0 v 0

condizioni iniziali .

mg

( )= +

z t A cos ωt+ B sin ωt 2k

−mg

mg

( )=0 =0

z 0 → A+ → A=

2 k 2 k

dz

( ) ⇔

=0 =−ωA +ωB

v 0 → sin ωt cos ωt →ωB cos ωt=0 B=0

dt

−mg mg mg

( )= ( )

⇒

+ = (1−cos

z t cos ωt z t ωt)

2 k 2 k 2 k ⃗

→m a

ⅆ ⃗

p

Se la traiettoria è curvilinea e se la massa è costante), l’accelerazione può essere scomposta

⃗ = ¿

F ⅆ t 2

v

⃗ =a ⃗ +a ⃗

a u u =

a

nella componente normale e in quella tangenziale: . Sapendo che

N N T T N R

2 2

v v

⃗

⃗ = ⃗ +a ⃗ =m ⃗ + ⃗

a u u F u ma u

sostituendo abbiamo quindi . La forza sarà quindi: . Il primo

N T T N T T

R R

termine è la forza normale alla traiettoria che è responsabile del cambio della direzione della velocità; il

secondo termine è la forza tangenziale che cambia il modulo della velocità. Il fatto che la traiettoria del corpo

sia curvilinea implica che ci sia una forza normale, infatti in un moto curvilineo vario varia il raggio di

curvatura da punto a punto. Il caso più semplice di tutti è quello del moto circolare con velocità costante,

dove l’accelerazione normale è quella centripeta e quella tangenziale è nulla perché la velocità è costante.

2 2 2

v ω R 2

= =ω R

Nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta è e il fatto che ci sia

R R 2

v

⃗ 2

=mω

F R=m

un’accelerazione centripeta implica che ci sia anche una forza centripeta che vale .

R

l m

Il pendolo semplice o matematico è composto da un filo di lunghezza e da una massa appesa al

filo. È un sistema idealizzato e le forze che agiscono su

⃗

m g

questo sistema sono la forza peso e la tensione

⃗ , quindi la risultante delle forze è

T ⃗ . Queste forze possono essere

⃗ =m ⃗ +

m a g T

scomposte nel modo seguente:

⃗ =−mgsin ⃗ +mg ⃗

m g θ u cos θ u

θ r

| |

⃗ ⃗

=− ⃗

T T u r ⃗ =a ⃗ + ⃗

a u a u

Sapendo che , posso scrivere la legge

r r θ θ

del moto in questo modo:

−mgsin θ=ma θ

=ma

mg cos θ−T r

La prima equazione descrive il movimento del pendolo lungo l’arco di circonferenza, la seconda equazione è

la forza centripeta che permette il movimento lungo la traiettoria e descrive il fatto che la massa sia attaccata

al filo. Nell’approssimazione di piccoli angoli il pendolo semplice si comporta come un oscillatore armonico

√ g

di pulsazione . Infatti:

l 2 2

d s d lθ

−mgsin (→ )→−mgsin

θ=ma →−mgsin θ=m s=lθ θ=m

θ 2 2

dt dt

2

d θ

¿

θ+ 2

dt

2

d θ g ¿

g sinθ=l → sin

2 l

dt sin θ →θ .

Con l’approssimazione di Taylor per piccoli angoli Quindi abbiamo la seguente equazione:

2 2 2

g d θ d θ g d x 2

=0→ + +ω

θ+ θ=0≅ x=0

2 2 2

l l

dt dt dt

Quindi l’equazione differenziale del moto del pendolo semplice è approssimativamente uguale all’equazione

differenziale del moto armonico per angoli piccoli. La legge oraria del moto è infatti:

( ) =θ +ϕ)

θ t sin(ωt .

0

Il periodo non dipende dalla massa e dalle condizioni iniziali, ma solo dalla lunghezza del filo: più il filo è

corto, più il pendolo è veloce, più il periodo è piccolo. La proporzionalità tra la lunghezza del filo e il

√

2 π l

= =2

periodo è data da: .

T π

ω g

Il lavoro elementare è definito come il prodotto della forza e dello spostamento infinitesimo:

=⃗ . Per esempio, il lavoro

⋅ ⅆ ⃗

dW F r

della forza peso è positivo quando un

corpo cade, negativo quando un corpo

viene scagliato verso l’alto; la forza

centripeta è sempre perpendicolare allo

spostamento, quindi il lavoro della forza

centripeta è nullo. Il lavoro finito invece è

uguale all’integrale tra il punto iniziale e

finale dello spostamento del prodotto

scalare definito prima:

B

∫ ⃗ ⋅ⅆ

= ⃗

W F r

A

È un integrale di linea, ovvero calcolato lungo la traiettoria: se ho una curva nel piano xy l’integrale di linea

( )

z=f x , y

tra A e B è l’area delimitata da quella curva e dalla funzione della curva nello spazio ( ). Per

questo motivo il lavoro non dipende soltanto dal punto di partenza e dal punto di arrivo ma anche dalla

traiettoria, perché l’integrale cambia se cambia la curva.

2

Prima di andare avanti, ragioniamo sul fatto che Allora possiamo scrivere che:

⃗ =⃗ ⃗

v v ∙ v .

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

⃗ ⃗ ⃗

v v v

( )=

⋅ + =2

v v v v v

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

t t t t

⃗ ⋅ ⅆ ⃗

F r

In base a questo, la quantità può essere scritta come:

ⅆ ⃗

r

⃗ ⃗

⋅ ⋅

F ∙ dt → F v dt

⃗

dt ( )

⃗

d v 1 d d 1 2

( )=

⃗ ⃗ =m ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗

m a ∙ v ∙ v m v ∙ v m v

dt 2 dt dt 2

Quindi quello che abbiamo imparato è che:

B B B

( ) ( )

d 12 12 12 12

∫ ∫ ∫

⃗ 2 2 2 2

⋅ ⅆ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ −

F r m v dt= d m v m v m⃗

v

B A

dt

A A A

1 2

m v

⃗

Il termine prende il nome di energia cinetica, l’energia che possiede un corpo per il movimento

2

che ha o acquista: equivale infatti al lavoro necessario per portare un corpo da una velocità nulla ad una

velocità nota. Quando un corpo di massa m varia la sua velocità, con questa varia anche la sua energia

cinetica. Quindi possiamo definire il lavoro come la variazione dell’energia cinetica dal punto A al punto

=∆

W E

B. Il teorema delle forze vive dice che e vale per ogni tipo di forza. Per esempio, come

k

abbiamo specificato prima la forza centripeta non compie lavoro quindi non varia l’energia cinetica dei corpi.

L’unità di misura del lavoro (e dell’energia) è il Joule: il lavoro di un Joule è quello compiuto dalla forza di

un Newton che sposta il suo punto di applicazione di un metro nella direzione della forza stessa

→1 Joule=1 N ∙ 1 m . La potenza P è la derivata del lavoro rispetto al tempo e si misura in J/s, ovvero

in Watt, il lavoro di un Joule compiuto in un secondo:

⃗ ⋅ ⅆ ⃗

dW F r ⃗ ⋅

= = ⃗

P= F v

dt dt

Quando il lavoro è positivo aumenta la potenza che indica quanto velocemente viene compiuto il lavoro.

⃗ =−mg ⃗

F u

Vediamo ora il lavoro compiuto dalla forza peso, che definiamo come :

z

B B B B

∫ ∫ ∫ ∫

⃗ (−mg )

⋅ⅆ ⅆ ⋅ ⅆ

= ⃗ = (−mg ⃗ )⋅ ⃗ = (−mg ⃗ )⋅(dx ⃗ +dy ⃗ +dz ⃗ )= =¿

W F r u r u u u u z

z z x y z

A A A A

¿−mg + =−(mg −mg )

z mg z z z

B A B A

Non dipende dalla traiettoria ma solo dal punto di partenza e dal punto di arrivo. Introduciamo una funzione

( )

( ) ( )

− −U =−∆

( ) U z z U

=mgz

U z , quindi l’espressione di prima diventa , a cui diamo il nome

B A

di energia potenziale gravitazionale. L’evoluzione naturale di un corpo in caduta è quello di far diminuire

la sua energia potenziale gravitazionale se soggetto alla forza peso. ⃗ =−kx ⃗

F u

Vediamo adesso il lavoro compiuto dalla forza elastica, che definiamo come :

x

x x x

B 2 2 2

∫ ∫ ∫ ∫

⃗ (−kx )

⋅ⅆ ⋅ⅆ ⋅(dx ⋅ ⅆ

= ⃗ = (−kx ) ⃗ = (−kx ) + + )= =¿

W F r u r u u dy u dz u x

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

x x x y z

A x x x

1 1 1

[ ]

x ( )

−1 1 1

2

2 2 2

=− −

k x k x k x

2 1

2 2 2

x 1

Anche qui ogni riferimento alla traiettoria è scomparso. Per questo motivo introduco una funzione che

1 ( )

2 ( ) ( )

( ) =

U x k x − −U =−∆

U x x U

chiamo , così l’espressione diventa , che è l’energia

2 1

2

potenziale elastica. ⃗ ⃗

u

=−μN ⃗

F u

Facciamo ora la stessa cosa per la forza d’attrito che definiamo , con vettore

T

T

tangenziale alla traiettoria (quello della velocità). Ricordando che il vettore tangenziale è parallelo e

ds

concorde allo spostamento abbiamo:

B

∫

(−μN ) ⋅ ⅆ ⅆ

=¿−μN

s s

A

B B B

∫ ∫ ∫

⃗ ⋅ⅆ

= ⃗ = (−μN ⃗ )⋅ⅆ ⃗ = ¿

W F r u r

T

A A A

È una quantità proporzionale alla lunghezza della traiettoria, quindi il lavoro della forza d’attrito dipende

intuitivamente dalla traiettoria. Non possiamo quindi definire una funzione energia potenziale per la forza

d’attrito.

Classifichiamo le forze in: →

 Forze per cui il lavoro non dipende dalla traiettoria forze conservative;

→

 Forze per cui il lavoro dipende dalla traiettoria forze non conservative o dissipative.<