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La dinamica del punto materiale

Gli appunti comprendono gli argomenti della dinamica del punto materiale partendo dal principio di inerzia fino ad arrivare al principio di relatività. Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof Chiavassa dell’università degli Studi di Torino - Unito. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Fisica meccanica docente Prof. A. Chiavassa

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ϕ

Per quanto riguarda possiamo metterle a sistema e dividere membro a membro:

{ ϕ=a−x

A sin (a−x ) (a−x ) (a−x )

ω ω ω

ϕ

A sin

0 −1

0 0 0

ϕ= ϕ=tan

=

→ → tan →

b ϕ

A cos b b b

ϕ=

A cos ω ω

=

ν

ϕ

A è l’ampiezza dell’oscillazione, mentre prende il nome di fase iniziale. La frequenza è e

2 π

il periodo è l’inverso della frequenza (proprio come nel moto oscillatorio della cinematica) quindi

1 2 π

= =

T .

ν ω

Esempio 1.3: abbiamo un corpo di massa m attaccato a due molle, una agganciata al soffitto e l’altra fissata

nel pavimento. La distanza tra il soffitto è il pavimento è L. Lasciamo la massa m a metà tra soffitto e

pavimento. Descrivere il moto del sistema.

Soluzione: sull’asse z prendiamo come verso positivo quello verso il basso. L’origine dell’asse z è

corrispondente a metà dell’altezza, quindi la coordinata del soffitto è – L/2 e quella del pavimento è L/2. La

lunghezza a riposo della prima molla è uguale a z = - L/2 + l e quella della seconda molla è z = L/2 – l .

1 0 2 0

Quindi z e z sono intermedi tra i punti in cui le molle sono attaccate e il punto medio tra soffitto e

1 2

pavimento. Le forze che agiscono sul sistema sono le forze elastiche delle due molle, ovvero:

( )

( )

−L

⃗ ( )

=−k −z =−k +l

F z z−

1 1 0

2

( )

( )

L

⃗ ( )

=−k −z =−k −l

F z z−

2 2 0

2

( ) ( )

( ) ( )

−L L

⃗ =⃗ ⃗

+ =−k +l ±k −l =−2

F F F z− z− kz

1 2 0 0

2 2 ⃗ =m ⃗ −2

F g kz

Sul corpo di massa m agisce anche la forza peso quindi la forza complessiva diventa , e

2

ⅆ z 2 kz

+ =g

l’equazione differenziale invece che è un’equazione differenziale non omogenea.

2 m

ⅆ t

mg ⇔

z= F=0

Ricaviamo che e se sostituiamo questo risultato nell’equazione è soddisfatta.

2k

Premettiamo che, in generale, le soluzioni dell’equazione differenziale del moto armonico sono:

( )= ( )

x t A sin ωt

( )= ( )

ϕ

x t A cos ωt+

( )=

x t A ' cos ωt+ B ' sin ωt

Utilizziamo l’ultima soluzione aggiungendo la soluzione particolare incontrata prima, imponendo le

( )=0, ( )=0

z 0 v 0

condizioni iniziali .

mg

( )= +

z t A cos ωt+ B sin ωt 2k

−mg

mg

( )=0 =0

z 0 → A+ → A=

2 k 2 k

dz

( ) ⇔

=0 =−ωA +ωB

v 0 → sin ωt cos ωt →ωB cos ωt=0 B=0

dt

−mg mg mg

( )= ( )

+ = (1−cos

z t cos ωt z t ωt)

2 k 2 k 2 k ⃗

→m a

ⅆ ⃗

p

Se la traiettoria è curvilinea e se la massa è costante), l’accelerazione può essere scomposta

⃗ = ¿

F ⅆ t 2

v

⃗ =a ⃗ +a ⃗

a u u =

a

nella componente normale e in quella tangenziale: . Sapendo che

N N T T N R

2 2

v v

⃗ = ⃗ +a ⃗ =m ⃗ + ⃗

a u u F u ma u

sostituendo abbiamo quindi . La forza sarà quindi: . Il primo

N T T N T T

R R

termine è la forza normale alla traiettoria che è responsabile del cambio della direzione della velocità; il

secondo termine è la forza tangenziale che cambia il modulo della velocità. Il fatto che la traiettoria del corpo

sia curvilinea implica che ci sia una forza normale, infatti in un moto curvilineo vario varia il raggio di

curvatura da punto a punto. Il caso più semplice di tutti è quello del moto circolare con velocità costante,

dove l’accelerazione normale è quella centripeta e quella tangenziale è nulla perché la velocità è costante.

2 2 2

v ω R 2

= =ω R

Nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta è e il fatto che ci sia

R R 2

v

⃗ 2

=mω

F R=m

un’accelerazione centripeta implica che ci sia anche una forza centripeta che vale .

R

l m

Il pendolo semplice o matematico è composto da un filo di lunghezza e da una massa appesa al

filo. È un sistema idealizzato e le forze che agiscono su

m g

questo sistema sono la forza peso e la tensione

⃗ , quindi la risultante delle forze è

T ⃗ . Queste forze possono essere

⃗ =m ⃗ +

m a g T

scomposte nel modo seguente:

⃗ =−mgsin ⃗ +mg ⃗

m g θ u cos θ u

θ r

| |

⃗ ⃗

=− ⃗

T T u r ⃗ =a ⃗ + ⃗

a u a u

Sapendo che , posso scrivere la legge

r r θ θ

del moto in questo modo:

−mgsin θ=ma θ

=ma

mg cos θ−T r

La prima equazione descrive il movimento del pendolo lungo l’arco di circonferenza, la seconda equazione è

la forza centripeta che permette il movimento lungo la traiettoria e descrive il fatto che la massa sia attaccata

al filo. Nell’approssimazione di piccoli angoli il pendolo semplice si comporta come un oscillatore armonico

√ g

di pulsazione . Infatti:

l 2 2

d s d lθ

−mgsin (→ )→−mgsin

θ=ma →−mgsin θ=m s=lθ θ=m

θ 2 2

dt dt

2

d θ

¿

θ+ 2

dt

2

d θ g ¿

g sinθ=l → sin

2 l

dt sin θ →θ .

Con l’approssimazione di Taylor per piccoli angoli Quindi abbiamo la seguente equazione:

2 2 2

g d θ d θ g d x 2

=0→ + +ω

θ+ θ=0≅ x=0

2 2 2

l l

dt dt dt

Quindi l’equazione differenziale del moto del pendolo semplice è approssimativamente uguale all’equazione

differenziale del moto armonico per angoli piccoli. La legge oraria del moto è infatti:

( ) =θ +ϕ)

θ t sin(ωt .

0

Il periodo non dipende dalla massa e dalle condizioni iniziali, ma solo dalla lunghezza del filo: più il filo è

corto, più il pendolo è veloce, più il periodo è piccolo. La proporzionalità tra la lunghezza del filo e il

2 π l

= =2

periodo è data da: .

T π

ω g

Il lavoro elementare è definito come il prodotto della forza e dello spostamento infinitesimo:

=⃗ . Per esempio, il lavoro

⋅ ⅆ ⃗

dW F r

della forza peso è positivo quando un

corpo cade, negativo quando un corpo

viene scagliato verso l’alto; la forza

centripeta è sempre perpendicolare allo

spostamento, quindi il lavoro della forza

centripeta è nullo. Il lavoro finito invece è

uguale all’integrale tra il punto iniziale e

finale dello spostamento del prodotto

scalare definito prima:

B

∫ ⃗ ⋅ⅆ

= ⃗

W F r

A

È un integrale di linea, ovvero calcolato lungo la traiettoria: se ho una curva nel piano xy l’integrale di linea

( )

z=f x , y

tra A e B è l’area delimitata da quella curva e dalla funzione della curva nello spazio ( ). Per

questo motivo il lavoro non dipende soltanto dal punto di partenza e dal punto di arrivo ma anche dalla

traiettoria, perché l’integrale cambia se cambia la curva.

2

Prima di andare avanti, ragioniamo sul fatto che Allora possiamo scrivere che:

⃗ =⃗ ⃗

v v ∙ v .

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

⃗ ⃗ ⃗

v v v

( )=

⋅ + =2

v v v v v

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

t t t t

⃗ ⋅ ⅆ ⃗

F r

In base a questo, la quantità può essere scritta come:

ⅆ ⃗

r

⃗ ⃗

⋅ ⋅

F ∙ dt → F v dt

dt ( )

d v 1 d d 1 2

( )=

⃗ ⃗ =m ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗

m a ∙ v ∙ v m v ∙ v m v

dt 2 dt dt 2

Quindi quello che abbiamo imparato è che:

B B B

( ) ( )

d 12 12 12 12

∫ ∫ ∫

⃗ 2 2 2 2

⋅ ⅆ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ −

F r m v dt= d m v m v m⃗

v

B A

dt

A A A

1 2

m v

Il termine prende il nome di energia cinetica, l’energia che possiede un corpo per il movimento

2

che ha o acquista: equivale infatti al lavoro necessario per portare un corpo da una velocità nulla ad una

velocità nota. Quando un corpo di massa m varia la sua velocità, con questa varia anche la sua energia

cinetica. Quindi possiamo definire il lavoro come la variazione dell’energia cinetica dal punto A al punto

=∆

W E

B. Il teorema delle forze vive dice che e vale per ogni tipo di forza. Per esempio, come

k

abbiamo specificato prima la forza centripeta non compie lavoro quindi non varia l’energia cinetica dei corpi.

L’unità di misura del lavoro (e dell’energia) è il Joule: il lavoro di un Joule è quello compiuto dalla forza di

un Newton che sposta il suo punto di applicazione di un metro nella direzione della forza stessa

→1 Joule=1 N ∙ 1 m . La potenza P è la derivata del lavoro rispetto al tempo e si misura in J/s, ovvero

in Watt, il lavoro di un Joule compiuto in un secondo:

⃗ ⋅ ⅆ ⃗

dW F r ⃗ ⋅

= = ⃗

P= F v

dt dt

Quando il lavoro è positivo aumenta la potenza che indica quanto velocemente viene compiuto il lavoro.

⃗ =−mg ⃗

F u

Vediamo ora il lavoro compiuto dalla forza peso, che definiamo come :

z

B B B B

∫ ∫ ∫ ∫

⃗ (−mg )

⋅ⅆ ⅆ ⋅ ⅆ

= ⃗ = (−mg ⃗ )⋅ ⃗ = (−mg ⃗ )⋅(dx ⃗ +dy ⃗ +dz ⃗ )= =¿

W F r u r u u u u z

z z x y z

A A A A

¿−mg + =−(mg −mg )

z mg z z z

B A B A

Non dipende dalla traiettoria ma solo dal punto di partenza e dal punto di arrivo. Introduciamo una funzione

( )

( ) ( )

− −U =−∆

( ) U z z U

=mgz

U z , quindi l’espressione di prima diventa , a cui diamo il nome

B A

di energia potenziale gravitazionale. L’evoluzione naturale di un corpo in caduta è quello di far diminuire

la sua energia potenziale gravitazionale se soggetto alla forza peso. ⃗ =−kx ⃗

F u

Vediamo adesso il lavoro compiuto dalla forza elastica, che definiamo come :

x

x x x

B 2 2 2

∫ ∫ ∫ ∫

⃗ (−kx )

⋅ⅆ ⋅ⅆ ⋅(dx ⋅ ⅆ

= ⃗ = (−kx ) ⃗ = (−kx ) + + )= =¿

W F r u r u u dy u dz u x

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

x x x y z

A x x x

1 1 1

[ ]

x ( )

−1 1 1

2

2 2 2

=− −

k x k x k x

2 1

2 2 2

x 1

Anche qui ogni riferimento alla traiettoria è scomparso. Per questo motivo introduco una funzione che

1 ( )

2 ( ) ( )

( ) =

U x k x − −U =−∆

U x x U

chiamo , così l’espressione diventa , che è l’energia

2 1

2

potenziale elastica. ⃗ ⃗

u

=−μN ⃗

F u

Facciamo ora la stessa cosa per la forza d’attrito che definiamo , con vettore

T

T

tangenziale alla traiettoria (quello della velocità). Ricordando che il vettore tangenziale è parallelo e

ds

concorde allo spostamento abbiamo:

B

(−μN ) ⋅ ⅆ ⅆ

=¿−μN

s s

A

B B B

∫ ∫ ∫

⃗ ⋅ⅆ

= ⃗ = (−μN ⃗ )⋅ⅆ ⃗ = ¿

W F r u r

T

A A A

È una quantità proporzionale alla lunghezza della traiettoria, quindi il lavoro della forza d’attrito dipende

intuitivamente dalla traiettoria. Non possiamo quindi definire una funzione energia potenziale per la forza

d’attrito.

Classifichiamo le forze in: →

 Forze per cui il lavoro non dipende dalla traiettoria forze conservative;

 Forze per cui il lavoro dipende dalla traiettoria forze non conservative o dissipative.

Quindi ricordando il teorema fondamentale del calcolo integrale, ovvero:

B

∫ ( ) ( )−F ( )

f x dx=F B A ,

A

abbiamo visto che questo teorema non vale sempre, ma vale soltanto per le forze che soddisfano un certo

numero di ipotesi: è possibile definire una funzione primitiva del lavoro infinitesimo, ovvero l’energia

potenziale, solo nel caso delle forze conservative.

Una forza centrale è un tipo di forza con direzione rivolta sempre verso un medesimo punto fisso, detto

centro e tale da avere un modulo che dipende unicamente dalla distanza del punto di applicazione del centro

(esempi di forze centrali sono la forza gravitazionale e la forza elettrostatica). Vediamo quanto vale il lavoro

di una forza centrale: (B )

B B r

∫ ∫ ∫

⃗ ⃗ ( )

( )=a ( ) ( ) ( )

⋅ ⅆ ⋅( ⅆ ⅆ

⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ +rdθ ⃗ )= = − (r )

F r r u → F r a r u r u u a r r A r A

r r r θ B A

(A )

A A r

Con funzione A primitiva (che dipende dalla forza centrale in questione): la forza centrale è conservativa.

k

⃗ ( )=

F r u

Facciamo la stessa cosa per la forza tangenziale :

θ

r

) )

B B θ(B θ(B

kr kr

∫ ∫ ∫ ∫

⃗ ( )

⋅ ⅆ ⋅ ⅆ ⋅rdθ=k

⃗ = ⃗ ⃗ +rdθ ⃗ =

F r u r u u dθ=k ∆θ

θ r θ (A ) (A )

A A θ θ

∆ θ

Il lavoro compiuto è proporzionale a , ma non è una forza conservativa! Infatti, se in un giro tra A e B

=k (∆θ+ )

∆ θ ∆ θ+2 π W 2 π

l’angolo è , con un giro in più l’angolo è , quindi il lavoro sarebbe .

Prendiamo in considerazione ora una qualsiasi forza conservativa e due diverse traiettorie C e C per andare

1 2

dal punto A di partenza al punto B di arrivo.

Se è conservativa sicuramente il lavoro sarà lo stesso per le due traiettorie:

B B B B B A

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⋅ ⅆ ⋅ ⅆ ⋅ⅆ ⋅ ⅆ ⋅ ⅆ ⋅ⅆ

= ⃗ = ⃗ ⃗ − ⃗ =0 ⃗ + ⃗ =0

W F r F r → F r F r → F r F r

A C A C A C A C A C B C

1 2 1 2 1 2

Questo ci porta alla determinazione di un tipo di integrale che ci dice

che la circuitazione di una forza conservativa è nulla. La

circuitazione è l’integrale di linea chiusa del prodotto scalare fra la

forza e gli spostamenti infinitesimi, ovvero è il lavoro calcolato un

percorso chiuso: se la circuitazione è zero allora la forza è

conservativa.

∮ ⃗ ⋅ ⅆ ⃗ =0

F r

Quindi se conosciamo la forza possiamo calcolare l’energia potenziale

nel caso questa sia conservativa, ma è vero anche il viceversa, cioè se

ho l’energia potenziale, in quanto è una primitiva, dovrei derivarla per arrivare alla forza. In uno spazio

unidimensionale quindi abbiamo che il lavoro finito è l’integrale della forza per lo spostamento infinitesimo

che è uguale alla variazione dell’energia potenziale, quindi:

ⅆ ⅆ ⅆ

− − −

U U U

⃗ ⃗ ⃗

( )

( )−U ( )

ⅆ ⅆ ⅆ

= =− + = =

F → F x U x x x x → F

ⅆ ⅆ ⅆ

x x x ⃗ =F ⃗ + ⃗ + ⃗

F u F u F u

Nello spazio tridimensionale però le cose si complicano. Infatti, e lo

x x y y z z

ⅆ ⃗ =dx ⃗ + ⃗ + ⃗

r u dy u dz u ⋅ ⅆ ⃗ =F + +

F r dx F dy F dz

spostamento infinitesimo è , quindi . Se

x y z x y z

( )

( ) ( )

=− + −U

F dx U x x , y , z x , y , z

consideriamo uno spostamento parallelo all’asse x allora , per

x

cui bisogna fare una derivata parziale per tutte le componenti:

−∂U ∂U ∂U

= = =

F , F , F

x y z

∂x ∂y ∂z

Quindi posso scrivere il vettore forza come:

( ) ( )

∂U ∂U ∂U ∂ ∂ ∂

=−⃗ ⃗

⃗ ∇ ∇=

=− ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

F u , u , u U , con u , u , u

x y z x y z

∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

Dove è il gradiente, un operatore che esprime la ripidità della superficie con le valli, funzione

dell’energia potenziale: più una valle è ripida, più il gradiente è grande. Da questo deduciamo che se

aumenta la forza l’energia potenziale diminuisce. 1 2 2 2

( )= (x + +z )

U x , y , z k y

Esempio 1.4: abbiamo un’energia potenziale . Calcolare la forza.

2

( )

∂ 1 2 2 2 =−ky

= ( + + ) =−kx F

F k x y z

Soluzione: la forza è , e allo stesso modo trovo e

y

x ∂x 2 ⃗

=−kz ( )

F =− ⃗ ⃗ ⃗ =−k ⃗

F kx u , ky u , kz u r

. Se scrivo questa forza in forma vettoriale diventa , quindi

z x y z

è una forza elastica in tre dimensioni.

Le forze conservative conservano l’energia meccanica, che è la somma di energia cinetica e potenziale nello

=∆ =−∆U

W E

stesso sistema. Infatti, siccome nei sistemi conservativi il lavoro è , allora possiamo

k

( )

+ + =0

∆ E ∆ U=0 → ∆ E U

scrivere : è la legge di conservazione dell’energia meccanica, ovvero al

k k

variare dell’energia potenziale e cinetica, la loro somma (ovvero l’energia meccanica) non varia, si conserva.

Cosa succede se sono presenti anche delle forze non conservative? Allora possiamo dire che:

⃗ =⃗ ⃗ ⅆ ⅆ

+ =ⅆ +

F F F → W W W

C NC C NC

ⅆ =−dU

W

Il lavoro delle forze conservative è e per il teorema delle forze vive il lavoro elementare

C

ⅆ =d

W E

complessivo è . Possiamo quindi scrivere che

k

ⅆ ⇒ ⅆ

=−dU + =d +dU

d E W W E . La somma che abbiamo ottenuto è l’energia meccanica

k NC NC k

=ⅆ

d E W

quindi . Quindi il lavoro delle forze non conservative è uguale alla variazione dell’energia

m NC

=∆

∆ E W

meccanica: , se invece non ci sono forze non conservative non c’è alcuna variazione

m NC

dell’energia meccanica. ⃗ =−k ⃗

F v

Nel caso della caduta di un corpo in un fluido viscoso per velocità basse quanto vale il lavoro?

dx 2

ⅆ =−k

W v dx=−k v dt=−k v dt=dE

⃗ ⃗ ⃗

NC dt

La velocità in funzione del tempo avevamo calcolato che era uguale a:

( ) ( ) ( )

2 2

−k −k −k

2 2 2 2

−m

mg dE m g g

t t t

2

m m m

( )= ⇒ =−k ⃗ =−k =

v t 1−e v 1−e 1−e

2

k dt k

k

2 2

dE m g mg

Per t → ∞ , →− ev → ,

dt k k

quindi l’energia cinetica tende ad un valore costante: perdiamo energia meccanica in maniera costante, ma

quello che perdiamo è energia potenziale gravitazionale. Quando la velocità diventa costante perché ha

raggiunto il valore asintotico anche il lavoro delle forze dissipative rimane costante.

Introduciamo ora una grandezza della dinamica rotazionale, ovvero il momento angolare. In algebra, il

⃗ =⃗

v ⃗

M OP × v

momento di un vettore è il vettore ,

v

dove P è il punto a cui è applicato il vettore e O è il

polo rispetto al quale calcoliamo il momento (che non è

detto sia l’origine del sistema di riferimento). La scelta

del polo influenza il valore del momento. Consideriamo

due poli diversi O e O’ e quindi due momenti diversi M e

M’ di uno stesso vettore:

⃗ =⃗ ⃗ '=⃗

⃗ ⃗

M OP × v , M O ' P × v

Che relazione c’è tra i due momenti? Guardando il

P=⃗ ⃗

O ' O ' O+ OP

grafico notiamo che , quindi

=⃗ ⃗ =⃗ =⃗

( )

⃗ ⃗ +⃗ ⃗

' ' ' ' ' . Il momento di un vettore non è

= ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ +

M O P ×⃗

v O O+ OP × v O O× v OP × v O O× v M ⃗

M

quindi un vettore definito univocamente, varia a seconda del polo rispetto al quale lo si calcola. e

⃗ ⃗

⃗ ' ' '

sono uguali quando , quindi quando sono paralleli. In fisica, il momento

M ⃗ =0 ⃗

O O × v O O e v

⃗ ⃗

p

=⃗ ⃗

L r × p

angolare è il momento del vettore quantità di moto e si indica con , dove è la quantità di

=⃗

r OP

moto e . Il momento angolare è molto utile per studiare le rotazioni. Prendiamo in considerazione

un moto curvilineo in cui scomponiamo la velocità in una componente radiale e una trasversa:

⃗ =⃗ + ⃗

v v v

r θ

Il momento angolare in questo caso è:

⃗ ( )

=⃗ ⃗ =⃗ ⃗ =⃗ ⃗ +⃗

L r × p r ×m v r × m v v

r θ dθ

⃗ 2

( )

=⃗ =m

→ L r × m v → L=rm v r

⃗ θ θ dt ⃗ ⃗ ⃗

r

=⃗

M r × F

Il momento di una forza invece si chiama momento torcente e si indica con , dove è il

⃗ ⃗

=

F F

braccio della forza. Se la forza è una sommatoria di tante forze , il momento diventa:

i

∑ ∑

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

= ⃗ =⃗ =⃗

M r × F r × F r × F

Il momento è uguale al momento della forza risultante, cambia: questo è vero fin quando parliamo di

dinamica del punto, non per quanto riguarda i corpi estesi.

Con il teorema del momento angolare calcoliamo la variazione del momento angolare nel tempo:

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

⃗ ⃗

L r v

( )

= ⃗ = + ⃗

r × P × m⃗

v r × m

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

t t t t ⅆ ⃗

r

ⅆ ⃗

r ⅆ ⃗

r p

v =

e sono uguali se il polo O è fisso cioè se ; in questo caso abbiamo che il primo

ⅆ t ⅆ ⅆ

t t

prodotto vettoriale è nullo quindi abbiamo:

ⅆ ⅆ ⃗

L v ⃗

=⃗ =⃗ ⃗ =⃗

r × m r ×m a r × F

ⅆ ⅆ

t t

Il teorema ci dice che se lavoriamo con un polo fisso in un sistema di riferimento inerziale la derivata del

momento angolare della quantità di moto è uguale al momento torcente della forza, ovvero:

L t t

ⅆ L f

∫ ∫ ∫

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

= = = = (⃗ )

M → L M t → L M t → ∆ L r × F t

ⅆ t L 0 0

i

Per avere la variazione del momento angolare devo avere anche l’azione del momento della forza. Se

r

consideriamo costante per forze brevi troviamo il momento dell’impulso delle forze, cioè:

t

∫ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ =⃗

r × F t → ∆ L r × J

0 | |

⃗ =rF

M sin θ

Il modulo del momento della forza è (dalla definizione di prodotto vettoriale) quindi

| |

⃗ =r

M F . Se consideriamo un moto circolare il lavoro è:

T

B B B B B

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⋅ⅆ ⋅ ⅆ ⋅ ⅆ

= ⃗ = =

W F r → F s F s F rdθ= Mdθ

T T

A A A A A

Adesso calcoliamo il momento della forza centrale rispetto al centro della forza:

⃗ ⃗ ( ) ( )

=⃗ =⃗ ⃗ =0 ⃗ ⃗

M r × F r × a r u (il prodotto vettoriale è 0 perché r e a r u sono paralleli) . Questo

r r

implica che il momento angolare della forza centrale sia costante. Il verso della rotazione è dato dal verso

della forza centrale: se la forza centrale è verso il basso, la rotazione sarà in senso orario, mentre se la forza

centrale è verso l’alto, la rotazione sarà in senso antiorario. In una forza centrale la velocità areolare è

costante: 2

dA r dθ L

( )

⃗ = ⃗ = =

v → dA=r ∙ ds=r rdθ → v

dt dt m

Il principio di relatività afferma che le leggi della meccanica hanno sempre la stessa forma nei sistemi

di riferimento inerziali.

Ora inizieremo lo studio dei moti relativi. Come cambiano la velocità e l’accelerazione di un punto

materiale cambiando sistema di riferimento? Se prendiamo un sistema di riferimento xyz con origine in O

fisso e un secondo sistema di riferimento

x’y’z’ con origine in O’ mobile. Prendiamo un

punto P qualunque le cui coordinate sono date

⃗ =x ⃗ + ⃗ + ⃗

r u y u z u

dal vettore nel sistema

x y z

di riferimento fisso e dal vettore

in quello mobile. Il

⃗ ⃗ + ⃗ + ⃗

r '=x ' u y ' u z ' u

x y z

r

vettore identifica la posizione del

OO '

punto di origine del sistema di riferimento

mobile nel sistema di riferimento fisso:

. Dal disegno

⃗ =x ⃗ + ⃗ + ⃗

r u y u z u

OO ' O ' x O ' y O' z '

⃗ ⃗ ⃗

= +

r r r

possiamo vedere che . Per

OO '

quanto riguarda la velocità, nel sistema di

riferimento fisso viene chiamata velocità assoluta ed equivale a:

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

r x y z

= = + +

v u u u

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

x y z

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

t t t t

Nel sistema di riferimento mobile la velocità è chiamata velocità relativa ed equivale a:

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

r ' x ' y ' z '

= = + +

v ' u u u

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

x' y' z '

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

t t t t

Dato che il sistema di riferimento mobile si muove ed eventualmente ruota, i suoi tre versori non sono affatto

costanti.

Vediamo adesso anche la velocità dell’origine del sistema di riferimento mobile misurata nel sistema di

riferimento fisso:

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

r x y z

OO ' OO ' OO ' OO '

⃗ = = ⃗ + ⃗ + ⃗

v u u u

OO ' x y z

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

t t t t

Che relazione c’è tra queste velocità? Posso scrivere la velocità assoluta anche in questo modo:

( )

'

ⅆ ⃗ + ⃗

r r ⃗

d r

'

ⅆ ⃗ ⃗

r d r

' '

O O O O

⃗ = = = +

v ⅆ ⅆ

t t dt dt

[ ] [ ]

[ ] ⅆ ⅆ ⅆ

⃗ ⃗ ⃗

d u d u d u x y z

ⅆ ⅆ ⅆ

x ' y ' z ' x ' y' z' O' O' O '

⃗ + ⃗ + ⃗ + + + + ⃗ + ⃗ + ⃗

→ u u u x ' y ' z ' u u u

x' y ' z ' x y z

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

t t t dt dt dt t t t ⃗

v '

I primi tre termini sono la velocità relativa ;

v

gli ultimi tre termini sono la velocità . I tre

O '

termini centrali costituiscono un vettore

perpendicolare a ciò che stiamo derivando:

scomponiamo i versori nelle loro componenti

polari:


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8 mesi fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
Università: Torino - Unito
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher micol.morsiani98 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica meccanica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Torino - Unito o del prof Chiavassa Andrea.

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