Meccanica del Veicolo - Appunti parte 03

Velocità critica flessionale di albero ad asse orizzontale con disco in mezzeria

Queste velocità rappresentano le condizioni limite di funzionamento degli alberi, in corrispondenza delle quali essi risultano più sollecitati; pertanto è importante stabilire per evitare di avere condizioni di funzionamento vicine a queste, soprattutto nel caso di alberi reali.

Consideriamo un albero fisso di massa, questo è concentrato in un disco in mezzeria se il suo baricentro G ha un eccentricità rispetto al centro a₁.

Generica equazione del moto

Ad un generico istante t si avrà la seguente situazione :

(G - O) = (O₁ - O) + (G₁ - O₁)

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} l\,cos\,\omega t \\ l\,sin\,\omega t \end{bmatrix} \]

(G - O) = \begin{bmatrix} x + l\,cos\,\omega t \\ y + lo\,sin\,\omega t \end{bmatrix}

\[ \dot{A} = \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = 2 lo w \begin{bmatrix} w\,sin\,\omega t \\ -w\,cos\,\omega t \end{bmatrix} \]

Scriviamo la generica espressione

F = m\dot{a} con F = forze di richiamo elastico dell'albero più disco \dot{a} = accelerazione del disco

Possiamo quindi scrivere

F = m\dot{a} = m\ddot{G} = -k\sum m\ddot{s} = -k \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = m \text{(cos, sin)}&0\,(cos\,\omega t) \end{bmatrix} \]

=> m \[ \begin{bmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = m lo w^2 \begin{bmatrix} cos\,\omega t \\ sin\,\omega t \end{bmatrix} \]

Se sono presenti anche elementi smorzanti in attrito :

m \[ \begin{bmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = m lo w^2 \begin{bmatrix} cos\,\omega t \\ sin\,\omega t \end{bmatrix} \]

Abbiamo ottenuto un sistema di equazioni differenziali binarie a coefficienti costanti.

Consideriamo soltanto l'equazione lungo x: mẍ + cẋ + kx = M₀ cos ω₀t

Calcolo dell'integrale generale:

l’eq. omogenea associata:

mẍ + cẋ + kx = 0

Poniamo ω_n = √(k/m)

c_c = 2√(km)

ξ = c/c_c

ẍ + (c/m)ẋ + (k/m)x = 0

ẍ + 2ξω_nẋ + ω_n²x = 0

l'equazione caratteristica sarà

z² + 2ξω_nz + ω_n² = 0

z_1,2 = -ξω_n ± ω_n √(ξ² - 1)

Consideriamo il caso di sistema sottosmorzato, ξ ≤ 1

z_1,2 = -ξω_n ± jω_n √(1 - ξ²) ⇒ z_1,2 = -ξω_n ± jω_d ω_d = ω_n √(1 - ξ²)

L'integrale generale sarà del tipo

x(t) = A e^z₁t + B e^z₂t

Con A e B delle costanti determinate dalle condizioni iniziali.

Notiamo che z₁ e z₂ sono complesse, per cui x(t) diventa complessa per t ∈ R.₊

Vogliamo trovare x(t) reale per t ∈ R, occorre che anche A e B, come z₁ e z₂, siano semplici coniugati.

x(t) = A e^-ξω_nt e^jω_dt + A* e^-ξω_nt e^-jω_dt

Poniamo allora A = A₀ e^jφ, quindi A* = A₀ e^-jφ.

Sostituendo in x(t) si ottiene:

x(t) = A₀ e^-ξω_nt e^j(ω_dt+φ) + A₀ e^-ξω_nt e^-j(ω_dt+φ)

x(t) = A₀ e^-ξω_nt [e^j(ω_dt+φ) + e^-j(ω_dt+φ)]

x(t) = A₀ e^-ξω_nt [2cos(ω_dt+φ)]

x(t) = 2A₀ e^-ξω_nt cos(ω_dt+φ)

x_sm(t) = A_sm e^-ξω_nt cos(ω_dt+φ)

Se la massa forma costante valendo da x_sm(t), si avrebbe moto oscillatorio smorzato, per t → + ∞ x_sm(t) → 0.

Consideriamo adesso l'equazione della linea elastica:

d²y/dx² = M/EI

Sostituendo l'espressione in (3) si ottiene:

d²/dx² (EI d²y/dx²) = µ W g

Se EI e µ non costanti, in (3) si può scrivere:

d²y/dx² = µ W g/EI

c²d²y/dx² = 0

Se µ = cost per cui: µ W g /EI = ω²

p⁴ = 0

si arriva ad un'eq. diff. lineare omogenea del 4^o ordine a coeff. costanti.

z⁴ = 0

con α = √ (µ W ω²/EI)

y = A e^-αx + B e^-αx x + C e^αx + D e^αx x

Con A, B, C, D costanti. Osserva però che C e D siano complessi coniugati, in modo da ottenere valori di y(x) reali per x reali: l'espressione si riscrive:

y(x) = A x² + B x + C cos(αx) + D sin(αx)

Individuiamo A, B, C, D in base alle condizioni al contorno.

Flessione nulla agli estremi A e B y(0) = 0 y(l) = 0

Momento nullo agli estremi A e B

y'(0) = 0 y''(L) = 0

y'''(x) = α²(A x² + B x - C cos(αx) + D sin(αx))

Per x = 0

y(0) = 0

• A + B + C = 0
• A + B + A + B = 0
• A + B = 0
• B 2 - A

y'(0) = 0

• A + B + C = 0
• A + B = C
• C = 0
• C = 0

Per x = 1

A ((xL/L)² - x²) + D x sin(kL) = 0

• A (xL/L)² + A(Lx/L - xL) = A L (xL/L - (x²/L) ) = 0
• D sin(kL) = 0

A (xL/L)² + A(x²/L) - D x sin(kL) = 0

A (xL/L)² - x²) - D sin(kL) = 0

Se μ ≠ 0

A = 0

Avendo ottenuto A = B = C = 0, se anche D = 0 perché poi x = 0, si ottiene y(x) = 0 che corrisponde ad una configurazione indefinita. Ci saranno infinte soluzioni di w. per cui y(x)≠0

D ≠ 0

Significa sin (kL) = 0

α = mπT

-> α = m π/L

Si ottiene quindi

y(x) = D sin(αx) => y(x) = D sin( mπ

• con w scelta nel modo seguente