Meccanica del Veicolo - Appunti parte 03

Velocità critiche flessionali di albero ad asse verticale con disco in mezzeria

Queste velocità rappresentano le condizioni limite di funzionamento degli alberi, in corrispondenza delle quali si innescano più solleciti problemi: è importante stabilire perciò di avere condizioni di funzionamento sicure a queste, soprattutto nel caso di alberi navali. Consideriamo un albero fisso di mezzo, questo è caratterizzato da un disco in mezzeria. Il suo baricentro G ha un'eccentricità rispetto al centro O₁.

Generica equazione del moto

Ad un generico istante t, si scrive la seguente relazione:

(G - O) = (O₁ - O) + (G - O₁)

(G - O) ⇒ (_x0) (cos wt )

Sen(tiamo) la generica pressione:

F = ma

F: forza di richiamo elastico dell’albero per disco.

a: accelerazione del disco.

Possiamo quindi scrivere:

F = ma

m = - kx – k ^{(̅x )} = mî̅o => - k ^{( x )} – m eω² = _{( ________ )} | ( __________ )

m m_{(̅y )} + k ^{( y )} cos wt ( ________ ), m eω² sin wt

Se sono presenti anche elementi ammortizzanti in attune:

( x ), l cos wt( ___ ) | ( ________ ) =( y ) + k _{sin wt}( ________ ), r m eω² =

Abbiamo ottenuto un sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Consideriamo soltanto l'equazione lungo x:

mx₁ + cx₁ + kx = mw_tcoswt

Calcolo dell'integrale generale

1. Eq. omogenea associata:

   mx₁ + cx₁ + kx = 0

   x₁ + c/m x₁ + k/m x = 0

   x₁ + c/m x₁ + k/m x = 0

   x + c_cx + x = 0

   x + c wm x + wm²x = 0

   x + 2 c ^km x + wm²x = 0

   x + 2⁵x + wm²x = 0

   x₁ + 2 x₁ + wm²x = 0

2. L'equazione caratteristica sarà:

   z² + 2 z wm z + wm² = 0

   z + c^c/m 2 wm z + wm² z = 0

   z⁵ = -5um ± jwm⁵.

Consideriamo il caso di sistema sottosmorzato

z ≤ 1

z₁ = 5wm - 5jm V-² (1- ⁵)

z₁ = -5wm - jwm¹ + jm⁵ → z₁ = -5wm + jwm

L'integrale generale sarà del tipo

x(t) = A z₁^t + B z₂^t

Con A e B detti costanti determinati dalle condizioni iniziali. Notiamo che z₁ e z₂ sono complessi, per cui x(t) risulta complesso per t ∈ reali.

Ottenuta soluzioni x(t) reali per t ∈ reali, occorre che anziché A e B, come z₁ e z₂, siano complesse coniugate:

x(t) = A₁ z₁^t + A₅ z₁^t

Poniamo allora A = A₃ j^-_up, quindi à = A_o j^-_up.

Sostituendo in x(t) si ottiene:

x(t) = A_i j^{-_{suin j}} t ± A_o j^-_t (x(t) = A_o ( cos &supine; t&sup+suint &supjm; jw⁵t )

x(t) = A_o cos &supine; t &emsp+ ( j ( w w⁵t &sup+)

Utilizzato la formula di Eulero [ j^-5] x orr ora:

x(t) = 2 A_o suin w₅t o (3) w₅t ± ( cosmop &supine; suim &supine; x_oms(t) = A e^&sup+2