Dischi incolti e concentrici in puro rotolamento
α = π/6
Determinazione di U(s)
U = Upeso + Uel
Upeso = -u g yc
Uel = -1/2 k (R2/2) → yc = Vc t - 1/2
svol: yc = -1/2 s + cost
Upeso = +u g 2 s
U = + u g 2 s - 1/2 k (R2/2) ≼ 1/dt 1/2 u g s - 1/2 ks
→ s = ug/k → posizione di equilibrio sc è stabile
Determinazione di T
T = 1/2 m v2 + 1/2 Ic + 1/2 m s2 + 1/2 v2
Per Ic: è → Ic = 1/2 m r2 → p2/R = Vc = St
→ T = 1/2 m s2 = 1/2 K s2 - 1/R2 = 1/2 m (1/2
Il periodo non dipende da s ⇒ Tp = 2π √(u/+k)
Dischi incolti e concentrati in puro rotolamento
α = π/6
Determinazione di U(s)
- Rea parte di equilibrio stabile (...)
- Periodo delle oscillazioni piccole attorno a ...
U = Upeso + Uel
Uel = -1/2 k (s2 + R2)
Upeso = -ug yc
→ yc = Vc·t - 1/2 s
yc = -1/2 s + const
→ Upeso = +ug 1/2 s
U = ug/2 s - 1/2 (n2 + x2)
d2U/dt2 = 1/2 ug s - 1/2 ks = 0
→ s = ug/k POSIZ di Eq vale U''eqs |seq = -k < 0 ⇒ Seq È STABILE
Calcolo del lavoro totale T
T = 1/2 m vc2 + 1/2 Icθ̇2 = 1/2 mŝ2 + 1/2 Icθ̇2
Per Ic: è massivo solo al centro → Ic = 1/2 m r2
⇒ θ̇ = ŝ/R Vc = ŝ̇t
⇒ T = 1/2 m ŝ2 = 1/2 m x2ŝ̇2 = 1/2 m (n + 1/2 x2/R2)ŝ̇2 = 1/2 e(s)ŝ̇2
e(s) = u (1 + χ2/2R2)
Il periodo non dipende da s ⇒ TE = 2π √(u (1 + χ2/2R2)/k)
Seconda parte
Il sistema parte dalla quiete con la molla lungo R det = θ(t) e le reazioni vincolari in H lungo il moto
Usiamo Ṫ = U̇ = Π
T = u (1 + 1/2 r2/R2) Ṡ S̈
U̇ = -k Ṡ S̈ + mg/2 Ṡ
⇒ u Ṡ (1 + 1/2 r2/R2) = -k Ṡ Ṡ + mg/2
⇒ Ṡ + Ω2 S = p = cost
Ω2 = k/u (1 + 1/2 r2/R2)
p = mg/2 u (1 + r2/2R2)
L’equazione (E) si risolve sommando le soluzioni generali dell’eq. omogenee associate
S̈ + Ω2 S = 0 con SOL = A cos(Ωt) + B sin(Ωt)
Con una SOL PART. dell’eq completa (t)
Sia S tale SOL PART ottenute imponendo Ṡ = cost0 + Ω2 S̄ = β
⇒ S̄ = β/Ω2
Dunque la SOL GENERALE di (E) è
S(t) = A cos(Ωt) + B sin(Ωt) + S̄
Nel caso:
S̄ = mg/2t le SOL GEN è
S(t) = A cos(Ωt) + B sin(Ωt) + mg/2t
Condizioni generali Ṡ(0) = 0 (INIZIO QUIETE)
Ṡ(0) + (-A sin(Ωt) + B cos(Ωt))t=0 = BΩ = 0 ⇒ B = 0
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