Matematica finanziaria e attuariale

Matematica finanziaria e attuariale

OFS di capitalizzazione

C M(t, t₁) t₀ t₁M - C - IM - C + ICAPM
Legge di uzzazioneM = F (C, t₀, t) proprietà; non negativa elefante-F (C, t₀, t) = C-F (0, t₀, t) = 0-F (C, t₀, t₁) = F (C, t₀, t₂) con t₁ = t₂-F (C₁, t₀, t) = F (C₂, t₀, t₂) con C₁ ≠ C₂-F (C, t₀, t) = C · F (d, t₀, t)

Fattore di montante

C · f(t) = M proprietà; non negativo; crescente; f(1) = 1; definito per t ∈ [0, T]

Tasso di interesse

i(t) = (F (t) - C) / C
(F(t) - C) / C(f(t) - 1

O.Fs di capitalizzazione

C to M(t, t₁) t_lM - C - IC M - C (I/C)

Legge di capitalizzazione

M = F(C, t_o, t) non negativa definita V ≥ 0 e V 0 ≤ t_o ≤ t ≤ T, con T estremo superiore dei tempi eventualmente necessari
F(C, t_o, t₀) = C
F(O, t_o, t) = O
F(C, t_o, t₁) = F(C, t_o, t₂) con t₁ = t₂
F(C₁, t_o, t) F(C₂, t_o, t₂) con C₁ ≤ C₂
F(C, t_o, t) = C F(t, t_o, t)

Fattore di montante

C f(t) = M
proprietà: non negativo, crescente; f(O) = 1, definito per t ∈ [O, T]

Tasso di interesse

i(t) = I(t)/C = C f(t) - C / C = f(t) - 1

OPS di sconto

M - C = 0
M - C₀ = sconto
M - C^1/M = no tassa di sconto

Legge di attualizzazione

C = M^{1/V(M₀, t)} proprietà: non negativa definita t∈ TV(M₀, t₀ = MV(0, t₀) = 0
V(M₀, t₁) = V(M₀, t₂) con t₁ = t₂
V(M₀, t₀t₂) = V(M₀ t₂) con t₁ < M₂, t₀ >
V(M₀, t) = V^{- (M - 1 o t)} presso H V(t₀, t) V(M₀, t) = V(1 - e o t) funzioni della differenze t_o

Fattore di sconto

M - C_M = ^E(X(t) - C_M = 1 - V(t) = d(t) sconto da applicasse ad un capitale interno per avere viti pochi

Leggi di capitalizzazione e attualizzazione coniugate

C(t) = MV(t) N(t) = C(t) C(t), V(t) = C p(t),v(t) = 1

Forza d'interesse (δ(t))

ρ(t) ρ(t+Δt) 1 _____________________0 t t+Δt ρ(t+Δt) - ρ(t) = ρ'(t) . Δt + o Δt ≅ ρ'(t) . Δt + ^ρ'(t)∕_ρ(t) con Δ(t) processo continuo ρ'(t) = δ(t) ρ(t)δ(t) = ^ρ'(t)∕_ρ(t)∫ ₀ ^t δ(s)ds = ^t∫₀ ^ρ'(t)∕_ρ(t)∫ ₀ ^t δ(s)ds = [ln(ρ(t) - ln(ρ(0))]∫ ₀ ^t δ(s)ds = ln(ρ(t))ln(ρ(t)) ∫ ₀ ^t δ(s)dse ^{₀∫t δ(s)ds} = ρ(t)

Scomposizione

1 _________________ 0 t t+n
Se ρ(t), ρ(tⁿ) = ρ(t+n) ovvero coegi degli capitalezzazioni associato a ρ(t) è scendibile ρ(t) = e
Teorema: 2 condizioni necessarie e sufficienti R.I.S δ(t) ≽ 0

Introduzione

1___________________________ 0 t t+n
P(t) - P(0) = ∫₀ᵗ dτP(t) = ∫₀ᵗ dt + 1

Capitalizzazione semplice

P(t) = 1 + ItM(t) = C P(t) = C(1+It)IC(t) = M - C = C(1+It) - C = CIt
Scindibilità del Ris δ(t) = P'(t)/P(t)i = l/1+It = non è costante quindi non è scindibile (1 + It)(1 + i(tₒ,n)) = 1 + I(tₒ+n)P(t), P(tₒ,n) = P(tₒ+n)P(tₒ,n)V(t) coniugato V(t) = 1/P(t) = 1/1+ItAdditività rispetto agli interessi P(t) - 1 + f(tₒ,n) - 1= 1 + It - 1 + 1 + I(tₒ+n) - 1 = 1(t+ₒ+n)= 1 + (I(tₒ+n) - 1 = f(tₒ+n) - 1R.I.C

Introduzione

1i0limΔ→0p(t+i) - p(t)t= limp'(t)tp'(t) = δp(t)δ = p'(t)p(t)... usato sopra solo semplificato ...p(t) = e^δtf(t)=e^δ(1+i)^tf(t) = e^δ(1-f(t)) = e^δ-1l² CAPITALIZZAZIONE CO