Matematica finanziaria, ciò che serve per rispondere alla parte teorica

Matematica finanziaria modulo: Ghisardullo

Matematica finanziaria modulo: Ghizzardi

Enunciazione del teorema di Rouche-Capelli

Sia A ∈ ℝ^m,n, b ∈ ℝ^m il sistema lineare Ax = b è possibile se e solo se la matrice A ha lo stesso rango della matrice completa [A|b], cioè ρ(A) = ρ([A|b]).

Regola di Cramer

Enunciare e dimostrare la regola di Cramer per la soluzione di un sistema lineare

Sia A una matrice quadrata di ordine n, il sistema Ax = b ha una sola soluzione per ogni b ∈ ℝⁿ se e solo se la matrice A è invertibile: x = A^-1b.

Dimostrazione

Dimostro il "se". Sia A invertibile. Quindi l'operatore lineare associato è invertibile. Quindi è iniettivo ⇒ ha una sola soluzione. Quindi è anche suriettivo ⇒ ha soluzione. In particolare dato b ∈ ℝⁿ, essa soluzione è T^-1(b). Quindi T^-1(b) = A^-1(b).

Dimostro che "se e solo se": ammette che Ax = b ammette una unica soluzione ∀b ∈ ℝⁿ. Ciò significa che per ogni vettore b ∈ ℝⁿ esiste un solo vettore x ∈ ℝⁿ tale che T(x) = b. Parlando operatore, l'iniezione è suriettiva quindi è invertibile. Quindi anche A è invertibile.

Teorema di Bolzano

Enunciare e dimostrare il teorema di Bolzano

(vedi 2014).

Definizione di sottospazio vettoriale di ℝⁿ

La definizione di base di uno spazio vettoriale. Un sottospazio V ≤ ℝⁿ, ∀ v, w, φ(v) è detto sottospazio vettoriale di ℝⁿ se è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per scalare di ℝ.

Sia un sottospazio vettoriale di ℝ^m ma un insieme finito {v₁, v₂, ..., v_n} di una base di V se S è linearmente indipendente e <S> = <V>.

Definizione di rango di una matrice A ∈ ℝ^m,n

Dato un sistema A ∈ ℝ^m,n, il sistema ammette rango di A il numero massimo ⇒ totale che A ha almeno un minore null non nullo. < Il minore < ordine maggiore > è il massimo....

Calcolare il determinante

Sia A ∈ M_n(R) una matrice invertibile. Calcolare il determinante di A^-1 in funzione del determinante di A. → (vedi Matris)

Determinante di una matrice inesistente

Sia A ∈ M_n(R) una matrice inesistente. Dimostrare che il suo determinante è non nullo. → (vedi Matris)

Sistema lineare con n incognite e m equazioni

Dato un sistema lineare con n incognite e m equazioni, devo comprendere bene della esistenza e unicità di due soluzioni. Bisogna innanzitutto discutere nei casi che il sistema è possibile, impossibile o altrimenti indeterminato e per annunciare i risulti fondamentali, a questo riguardo:

Si considera il sistema lineare di m equazioni e di n incognite. A ∈ M_mxn

L'operatore associato al sistema

Sia I ∈ M_xL'operatore I ∈ M_n → M_n associato al sistema.

• Impossibile quando non ammette alcuna soluzione b ∈ Im I.
• Possibile quando ammette almeno una soluzione b ∈ Im I.

Se possibile, il sistema lineare è detto:

• Determinato quando ammette una sola soluzione T^-1(b) ∈ sing(₀) per A= I.
• Indeterminato quando ammette infinite soluzioni T^-1(b) ha cardinalità infinita per A(^m) ∈ I.

Risoluzioni di equazioni

Rieseguendo linee, l'inclinazione di uno studio risente una che cambia di equazioni. Calcolo i che si devono ottenere tra queste insolite risoluzioni di cui si è parlato:

Soluzione unica di un sistema lineare

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Il sistema Ax = b ha una sola soluzione per ogni b ∈ Rⁿ se e solo se la matrice A è invertibile. x = A^-1b. In questo caso esiste soluzione se e solo se tale soluzione è unica. Si dice dunque l'invertibilità della matrice A.

Definizione e esempi di funzione lineare

Dato una funzione f: ℝⁿ→ℝ quando si dice che essa è lineare? Fornite almeno la definizione e un paio di esempi. Poi enunciate e dimostrate il Teorema di Riesz.

Una funzione f: ℝⁿ→ℝ è detta lineare se f(x + y) = f(x) + f(y) per ogni x, y ∈ ℝⁿ ed ogni , ∈ ℝ.

La funzione scalare f: ℝ→ℝ con f(x) = mx con m∈ℝ sono lineari.

Prodotto scalare

Data due vettori x, y ∈ [0,1[ⁿ. Il loro prodotto scalare x·y è definito come x·y = ∑_i=1ⁿ x_i·y_i. Quando a prodotto scalare è nulla.

La funzione lineare: f: ℝⁿ→ℝ sotto una nozione F: ℝⁿ→l↰ℝ, f(x) = (∀x∈ℝ) f(x) tale funzione è lineare.

La funzione f: ℝⁿ→ℝ→ℝ è lineare s