Matematica finanziaria, ciò che serve per rispondere alla parte teorica

Matematica Finanziaria

modulo: Ghizzardi

Teorema di Rouché-Capelli

Sia A∈M_n(m,n) e b∈R^m. Il sistema lineare Ax=b è possibile se e solo se la matrice A ha lo stesso rango della matrice completa [A|b], cioè ρ(A)=ρ([A|b]).

Teorema: Calcolo con la regola di Cramer.

Per la risoluzione di sistemi lineari.

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Il sistema Ax=b ha una sola soluzione per ogni b∈R^n se e solo se la matrice A è invertibile: x=A^(-1)b.

Dimostrazione:

• Dimostro che "⇒": Sia A invertibile. Quindi l'operatore lineare associato è invertibile (quindi è iniettivo ⇒ ha una sola soluzione).
• In particolare, dato b∈R^n, A ha soluzione: x=T^(-1)(b). Quindi T^(-1)(b)=A^(-1)(b).
• Dimostro che "⇐": Sia b∈R^n. Ammetto che Ax=b ammette una unica soluzione; ∀b∈R^n ⇒ significa che per ogni vettore b∈R^n esiste un solo vettore x∈R^n tale che T(x)=b. Pertanto, l'operatore è iniettivo e quindi A è invertibile.

Definizioni:

Base di uno spazio vettoriale (vedi sotto).

Due definizioni del polinomio minimo di 2°.

La definizione è data per un polinomio f∈R^m, V il Φ(x) di un sottospazio vettoriale di R^m se è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per scalare (di R^m).

Sia un sottospazio vettoriale di R^m ma solitamente finito se e solo se il numero dV in x∈S = linearmente indipendente e quindi l=|V|.

Due definizioni del rango di una matrice A∈M_n(p,m).

• Dato un numero p>A^2, possiamo sempre parlare di A come numero fisso, cioè tale che 1 ha almeno un minore i tale che il suo valore minor 2 d'ordine maggiore di 1[D=|sotto|1].

1) Considero il caso di un sistema di n ve. {x₁, x₂, ..., x_n} ⊆ R^m. Esso ammette in v.c. {0} un sottospazio lineare V. Si v.c. x _i è una combinazione lineare di {x₁, x₂, ..., x_i-1, x_i+1, ..., x_n}.

2) Dato un sottospazio razionale L ⊆ R^m possiamo definire che un sistema {x₁, x₂, ..., x_n} ⊆ R^m genera L se L = il s.v.p. proprio di R^m descritto as una base finita formata solodegli x _i.

L base più naturale per R^m è quella data da {e₁, e₂, ..., e_m}.

c = 1e₁ + ... + 0 e_n, S si possono definire

x = x₁t₁ + ... + x_nt_n S = Σ x_j e_j.

Na nox suppl convient! bar × R^M considerando m=2 (R²), infatti:

{2,0} {0,4} è una base di R²

{4,0} {1,2} è una base di R²

{x₁ = a₁ + a₂

x₂ = 2a₂

generano infinite basi di R²?

Ogni base di R^M ha cardinalità un numero.

2) sia v sott. di R^m. Una sottosuccessione S ⊆ V e una base d V x_n ogni v in Pwn avere in modo noto es una combinazione lineare degli elementi di S.

Esempio:

In R² v = {x ∈ R² | x₂ = 0 }

{1,0} è una base di V.

In R² V = {x = (x₁, x₂) | x₂ = 0 }

{1,0,0}, {0,1,0}, {1,0,0} sono una base di V.

Ogni base di V ⊆ Rⁿ ha la Cardia numero di elementi.

Definizione di funzione derivabile

Nel caso di funzione f : X ⊆ ℝⁿ→ℝ derivabile:

∃ lim_v1→0...lim_vn→0 ((f(x^o + h) - f(x^o) - h₁...h_n) / ||h||) = g(x^o)·h

In prima approssimazione si ottiene:

f(x^o + h) ≈ f(x^o) + ∇f(x^o)·h + O(||h||) per h→0.

Derivate parziali

Def: dato f: X ⊆ ℝⁿ→ℝ, derivabile parzialmente su Int(X) se le funzioni derivate parziali prime f_x (x, i = 1, 2, ..., n) sono a loro volta derivabili parzialmente in x^o ∈ Int(X), esistono i numeri:

(∂/∂x_j(f_xi (x^o)))_i,j=1,...,n

allora si dice che f è derivabile parzialmente due volte in x^o.

Def: dato f: X ⊆ ℝⁿ→ℝ si dice derivabile parzialmente due volte rispetto allo variabile x_i e x_j (i, j = 1, 2, ..., n) nel punto x^o ∈ Int(X) se il limite:

lim_h→0 (f_xi(x^o + he_i) - f_xi(x^o)) / h esiste finito.

Le derivate parziali sono sempre raccolte in una matrice quadrata (n×n), detta matrice hessiana. Se la matrice degli assi principali è derivabile due volte, allora:

∇²f(x^o) = Hf(x^o) = O = ƒ(x^o):

Teorema

Se f: X ⊆ ℝ²→ℝ è totalmente derivabile parzialmente prima e seconda in un intorno di x^o ∈ Int(X), e tale derivata è continua in x^o allora:

(∂²f(x^o)) / (∂x_j ∂x_i) = (∂²f(x^o)) / (∂x_i ∂x_j), ∀i, j = 1, 2, ..., n

Proposizione:

se X ⊆ ℝⁿ è un insieme convesso f_i : X ⊆ ℝⁿ → ℝ i = 1, 2, ... n sono funzioni concave α_i ⩾ 0 solo scalari ⩾ 0

Allora la funzione f(h) = α₁f₁(x) + α₂f₂(x) + ... + α_nf_n(x) = ∑_i α_if_i(x) è concava. Se almeno 1 α_i ≠ 0, linearmente concave (con α_i > 0) allora f(h) è linearmente concava.

se i) f₁, f₂, ... f_p con f : X ⊆ ℝⁿ → ℝ i = 1, 2, ... n sono funzioni concave di una sola variabile, f_i(x) concave rispetto a tale variabile ii) d_i, k_i ∈ ℝ, sono scalari tali di ⩾ 0, allora la funzione λ(x₁, x₂, ..., x_n) = λf(k_i) + ... + λh(x_n) = ∑_i d_if_i(x_i) è concava E se la funzione concava se ciascuna f_i = {}". E anche se λ è linearmente concava e f_i E fun. di di ⩾ 0.

se a) X ⊆ ℝ^k è un insieme convesso ai) g : X ⊆ ℝ^k → ℝ è una funzione di n variabili concava bii) f : Y ⊆ ℝ → ℝ è una funzione di una variabile monotona crescente e concava, allora la funzione composta f(g(x)) log : X ⊆ ℝ^k → ℝ è continua.

Teorema:

sia X ⊆ ℝ² convessa e f : X ⊆ ℝⁿ → ℝ differenziabile un_x concava (concava). Se esiste un punto stazionario x ∈ int(X) (con ∇f(x) = 0), allora X è un punto di massimo (minimo globale) se è linearmente concava (concava), allora tale punto o max (min) è unico.

esiste un

un determinato

tale che

è un punto critico o

stazionario della funzione lagrangiana:

ossia

Queste condizioni non sono necessarie ma diventano sufficienti se:

1. è continua e differenziabile
2. è concava (concave) e i vincoli sono lineari

Al di sopra di questi casi occorrono condizioni specifiche di secondo ordine che richiedono lo studio della matrice hessiana:

=

(matrice hessiana ostacolata)

Teorema:

• se la funzione lagrangiana ha h definita seconda continua in (nei) e è definita negativa (positiva), allora è un punto di massimo locale
• vincolato stretta
• n richiede a ms di:
• è definita negativa (neg) in quanto se l'ottimo è un minimo è sempre di rango definito tracciato da tutti concede um nulla e
• vincolato