Logica e Filosofia della Scienza – Quinto postulato di Euclide

Il V postulato di Euclide e le geometrie non euclidee

Il V postulato di Euclide, detto “postulato delle parallele”, ha suscitato maggiore interesse. Questo postulato evidentemente non dimostrava il vero perché non rimandava a nessuna costruzione geometrica. Non potendolo dimostrare, nacquero le prime geometrie non euclidee tra cui l’iperbolica e l’ellittica. Le geometrie non euclidee sono tutte quelle geometrie che non accettano i 5 postulati di Euclide.

Logica classica e logica aristotelica

La logica classica è una branca della logica formale che è stata la più studiata e la più usata. Questa logica opera secondo i principi della logica classica di Aristotele, cioè del terzo escluso e di non contraddizione. La logica aristotelica è una logica analitica, cioè risolve i problemi complessi attraverso l’uso del sillogismo (discorso composto da una premessa iniziale, un termine medio e una conclusione; ad es. l’uomo è un animale, Socrate è un uomo, Socrate è un animale. La premessa e la conclusione esprimono la stessa verità, il termine medio rappresenta l’affermazione che chiarisce l’identità degli estremi). Il sillogismo prende corpo da una premessa; se tale premessa è vera o falsa, la conclusione sarà ugualmente vera.

Evoluzione della logica: da Aristotele a Boole e Frege

La logica aristotelica non è l’unico modello di logica, sebbene sia stata la più influente fino al XVIII secolo. Intorno alla metà del XIX secolo, George Boole aprì un nuovo campo della logica: la logica simbolica, che fu sviluppata da Frege e da Russell. Il sistema di Russell introduce simboli per le proposizioni concrete e i connettivi proposizionali (congiunzioni, implicazioni e disgiunzioni). La proposizione "tutti gli A sono B" nella logica simbolica viene tradotta con "se esiste un A allora esiste un B", che a differenza della logica classica non presuppone l’esistenza di qualche A.

Il contributo di Frege e Russell

Frege è stato il padre del pensiero formale del ‘900, ha dato avvio a una nuova logica sostituendola a quella Aristotelica in una logica delle funzioni n-esima mutuata dalla matematica. È stato il primo propugnatore del logicismo, cioè, la matematica costituita da proposizioni aristoteliche è riconducibile alla logica. Dopo la pubblicazione della sua opera, Frege ricevette una lettera da Russell nella quale diceva di aver trovato una contraddizione nella quinta legge fondamentale, così Frege fu costretto a dichiarare fallimento per quanto riguarda il concetto di numero.

Russell: il paradosso minava il progetto di Frege di ridurre la matematica alla logica; egli difese le teorie del logicismo in quanto sosteneva che la logica fosse alla base di tutto il pensiero umano che segue i tre principi di monotonia, riflessività e cut.