Lezioni, Introduzione al pensiero matematico

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Author: Chiara 1995

Aggiornato il 16/04/2026

di Chiara 1995

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Appunti di Introduzione al pensiero matemetico per l'esame della professoressa Robutti. Distruggendo completamente il sistema assiomatico di Euclide si parte con la costruzione di quello di …

Esame Introduzione al pensiero matematico

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Robutti Ornella

Università Università degli studi di Torino

A.A. 2014-2015

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INTRODUZIONE AL PENSIERO MATEMATICO

1) 16 minuti → 8 domande (quiz) scritto

2) problemi → {25 min.}

3) 2 domande difficile

sistema assiomatico/struttura induttivo-deduttiva

Teoremi
Assiomi (postulati)
Dimostrazione

“Elementi” di Euclide - 300 a.C (Alessandria di Egitto)

5 Assiomi → 465 Proposizioni
+ 3 definizioni (punto/retta/...) (ciò che non ha parti)

Ristrutturazione da parte David Hilbert (1862-1943)

Nel 1899 Fondamenti della Geometria (la sistemazione moderna degli Elementi di Euclide)

Introduzione di termini indefiniti

6 termini indefiniti
- - 2 (per oggetti)
  - punto
  - retta
- - 4 (per relazioni)
  - incidenza
  - ordine (A - B - C)
  - congruenza:
    - angoli
    - segmenti

- Relazione logica di uguaglianza

proprietà riflessiva
- ∀x (x = x)
proprietà simmetrica
- ∀x ∀y (x = y ⇒ y = x)
proprietà transitiva
- ∀x ∀y ∀z (x = y ∧ y = z ⇒ x = z)

Simbolo di congruenza

INTRODUZIONE AL PENSIERO MATEMATICO

29/09

16 minuti –> 8 domande (quiz)
Problemi esistenza / 25 min
2 domande <- difficile

Sistema assiomatico / sistema induttivo-deduttivo metodo del matematico per dimostrare le sue scoperte

Teoremi
Assiomi (postulati)
Dimostrazione

“Elementi” di Euclide – 300 a.C (Alessandria di Egitto)

(primo esempio nella storia di sistema assiomatico)

5 Assiomi –> 465 Proposizioni
+ 3 definizioni (punto / retta / incidente)

Risistemazione da parte David Hilbert (1862-1943)

Nel 1899 Fondamenti della Geometria (la sistemazione moderna degli Elementi di Euclide)

Introduzione di termini indefiniti

- 6 termini indefiniti

- 2 (per oggetti)
punto
retta
- 4 (per relazioni)
incidente
ordine (A – B – C)
congruenza

Relazione logica di uguaglianza

proprietà riflessiva∀x (x = x)
proprietà simmetrica ∀x ∀y (x = y ⟹ y = x)
proprietà transitiva ∀x ∀y ∀z (x = y ∧ y = z ⟹ x = z)

Assiomi

L proposizioni che non abbisognano la necessita di essere altrimenti giustificate

In un qualunque sistema assiometrico

Accettazione di alcune affermazioni sulle interne qualificazioni (requisiti)
Accettazione di qualcosa / altre cui affermazioni segue logicamente

16 Assiomi (accettabili come autoevidenti)

Assiomi della Teoria degli Insiemi

a ∈ A

Assioma di isolamento = per ogni proprietà p (A/3)

Assioma di estranettività

A,B,C (in corsivo) = punti

a,b,c (in corsivo) = rette

A,B,C (in gorsetto) = insiemi

A ∪ B = {X | X ∈ A ∨ X ∈ B}

A ∩ B = {X | X ∈ A ∧ X ∈ B}

Postulati di Euclide

EU (1) Per ogni coppia di punti distinti P e Q, esiste un'unica retta incidente con P e Q

EU (2)

Definizione 1.1

Data due punti distinti A e B, si dice segmento AB l'insieme dei punti A e B e dei punti di AB che stanno tra A e B. A e B si dicono estremi del segmento AB

Data un segmento AB e un altro segmento CD essi suppore su unico punti tale che B sta tra A e C e CD = BE

Definizione 1.2

Data punti distinti O e A l'insieme di tutti i punti P tali che OP = OA è detto circonferenza di centro O e raggio OA; OP è raggio della circonferenza

A B Ě Ĉ D

EU3 Dati 2 punti distinti O e A, c'è 1 circonferenza di centro O e raggio AO

mi servono definire

semiretta

A ————>

_AB

————> B

_BA

Tutti i punti sul segmento AB + tutti i punti S della retta AB tali che ABC due stanno a destra di B

due semirette opposte

C A B ————>

2 semirette con stessa origine A tali che AB = AC (sono parte della stessa retta)

angolo

A———-C

Formati da due semirette non opposte —> che sono i suoi lati

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