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Estratto del documento

INTRODUZIONE AL PENSIERO MATEMATICO

1) 16 minuti

  • 8 domande (quiz)
  • scritto max 5 punti passo con metodo deductivo

2) Problemi esistenziali?

3) 2 domande difficili

Sistema assiomatico

metodo del matematico per annunciare le sue scoperte

  • Teoremi
  • Assiomi (postulati)
  • Dimostrazioni

"Elementi" di Euclide - 300 a.C (Alessandria di Egitto)

  • 5 Assiomi
  • 465 Proposizioni
  • + 3 definizioni (punto/retta/piano)

Ristrutturazione di David Hilbert (1862-1943)

Nel 1899: Fondamenti della Geometria

  • Introduzione ai termini indefiniti
  • 6 termini indefiniti
    • 2 (per oggetti)
      • punto
      • retta
    • 4 (per relazioni)
      • incidenza
      • ordine (A - B - C)
      • congruenza I (congruenza tra angoli)
      • congruenza II (congruenza tra segmenti)

Relazioni logiche di uguaglianza

  1. proprietà riflessiva ∀x (x = x)
  2. proprietà simmetrica ∀x ∀y (x = y ⇒ y = x)
  3. proprietà transitiva ∀x ∀y ∀z (x = y ∧ y = z ⇒ x = z)

- Assiomi

Proposizioni che non abbiano la necessità di essere ulteriormente giustificate

In un qualunque sistema assiomatico

  • [R 0] Mutua comprensione del linguaggio e dei simboli
  • [R 1] Accettazione di alcune affermazioni senza ulteriore giustificazione (assiunti)
  • [R 2] Accettazione di qualsiasi affermazione che segue logicamente da un'altra

Hilbert

- 16 assiomi (accettabili d'autoevidenti)

- 2 assiomi della teoria degli insiemi (con due gamma su un tema)

a ∈ A

Assioma di Isolamento = per ogni proprietà P(x) e ogni insieme A, ∃ ǔ dell’insieme Z degli elementi X di A che soddisfano la proprietà P

Z = {X | X ∈ A ∧ P(X)}

A ∪ B = {X | X ∈ A ∨ X ∈ B}

A ∩ B = {X | X ∈ A ∧ X ∈ B}

Postulati di Euclide

  • EU(i) Per ogni coppia di punti distinti P e Q, esiste un unico retta incidente con P e Q
  • EU(2) Definizione 1.1 Dati due punti distinti A e B, il segmento AB è l'insieme dei punti A e B e dei punti di AB che stanno tra A e B. A e B sono gli estremi del segmento AB.
  • Detto un segmento AB ed un altro segmento CD esiste sempre un unico punto tale che D sia tra A ed E e CD = BE
  • Definizione 1.2 Dati 2 punti distinti O e A, l'insieme di tutti i P | OP = OA è detto circonferenza di centro O e raggio OA; il segmento OP è detto raggio della circonferenza

Ā   B̄  Ē   C̄ D̄

Nozioni Comuni Euclide

  • NC1 Gli uguali allo stesso sono uguali tra loro
  • ... quando le dispuose!
  • NC2 Se cose = vengono sommate a cose = → i totali sono = tra loro
  • NC3 Se cose = vengono sottratte a cose = → i totali sono = tra loro
  • NC4 Quando a = sono sommati = i totali sono ≠
  • NC5 I doppi dello stesso sono =
  • NC6 Le metà dello stesso sono =

......

Legende (tentativo di dimostrare del Vo postulato)

Se ⊥ Q, una retta una parallela perché unica una perpendicolare e comune Ri

- m passante per P → deve incontrare e (v. fig.

è complessa di m

- 1 con sono PR B/PA → PRiFP

è → im

PR n FAÇ̕I R by int

... fine che PR1i = (d= e1) rocce

reale de

fare → tale che RPi = RPi

PàQ é interno a RP'R' e per Q

→ all1 ottavo e suo

B su e === f a

→ ...

É unica la // (ma ciau, ma sta su predli!!) tuosi catioli sono sclusi

Assiomi di Ordine

  1. Se io A - B - C --> A, B, C sono 3 punti distinti allineati C - B - A

(É la stessa cosa che mi dice che su questa relazione è solo importante che B sia "attratto")

  1. Datı due punti B e D --> esistono 3 punti A, C, E che giacciono sulla retta BD e sono tali che A - B - C - D - E

NB: ci dice che su una retta tra due punti giace un altro punto e quindi esisteno quante ce ne sono altri --> su una - retta il senso di punti

  1. Se A, B, C sono 3 punti distinti e allineati allora uno ed uno solo è tra gli altri due
    1. A - B - C
    2. A - C - B
    3. C - A - B

NB: ci dice che una retta non è circolare

Segmento: AB segmento è l'insieme di punti tali che A - B - C

Semi-retta: = l'insieme di tutti i punti sul segmento AB e tutti i punti C tali che A - B - C

A - B <span style="text-decoration: none;">B - C

Prop: dati 2 punti qualsiasi A e B, AB ∩ -BA- = AB ∪ -BA- = ↔

Dimostrazione

AB C BĀ\overline{AB} 1. AB C AB ∩ -BA- per definizione∀ P ε AB --> P ε -AB ∩ P ε AB ∩ -BA-

AB C BĀ ∩ -AB 2 P ε -AB --> P ε -AB ∧ P ε -BA-

Per caso(i) Se C=A fine(ii) Se C=B fine(iii) Se C≠A,B

C ∈ HA e C ∈ HB

C A | C B ⇒ A B | e

ma essendo pari a per ipotesi A | Be

PROP Dati A - B - C ⇒ A - C - D ⇒ B - C - D e A - B - D

E fuori dalla retta

A B C D

C, E ⇒ individuano la retta per assioma incidenza 1

A - C - D ⇒ A | De stiamo da parti opposte rispetto di ↔CE

voglio dimostrare che A e B stanno A | BCE

→ x ASSURDO

A | BCE

A B incontra ↔CE in C

allora A - C - B mia per ipotesi A - B - C

ASSURDO ⇒ DIMOSTRATO

A, B | e A | DCE ⇒ B | DCE

⇒ B - C - D ↔E

A C D

A | CBE ↔AC incontra ↔BE in B

C e D voglio dimostrare C, D | ↔BE

x assurdo C | DBE

C D incontra B E in B mia allora

C - B - D ma non è

dimostrazione precedente B - C - D

→ C D | ↔BE

+ A - C - D ⇒ A | DBE ⇒ A | C

⇒ A - B - C ASSURDO

24 - Teorema di Pasch

Se A, B, C sono punti distinti e non allineati e una retta e che interseca AB in un punto tra A e B → allora e interseca anche AC o BC.

Se C non è su e allora e non interseca sia AC sia BC.

Dimostrazione

  • C può essere su e oppure no
  • Se C è su e → fine
  • Se C non è su e → A e B non sono su e e B-P-A

A \ Be → AB interseca e

C non è su e →

  • Stessa parte di A
  • Rispetto ad e
  • Stessa parte di B

  • Se C, A |e e A |Be → C |Be

→ BC interseca e in un punto E

B-E-C

  • Se C, B |e e A |Be → C |Ae

→ AB interseca e in un punto F:

C-F-A

Dettagli
Publisher
Chiara 1995
A.A. 2014-2015
102 pagine
8 download
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/04 Matematiche complementari
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Chiara 1995 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Introduzione al pensiero matematico e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi di Torino o del prof Robutti Ornella.