Lezione 1 - richiami di statistica

Concetti lezione 1

Mercoledì 26 settembre 2018 08:13

IM: Identificazione modelli

Modello: descrizione matematica di un fenomeno o di un sistema, ovvero di una relazione tra due grandezze.

Modellazione white box

In questo caso, conosco le leggi fisiche che regolano il sistema, e perciò il modello risulta essere validato sulla base di leggi fisiche.

• Pro: Conoscenza delle variabili in gioco nel sistema.
• Possibilità di generalizzare il modello per qualsiasi tipo di sistema di questa tipologia: se cambio il valore delle variabili in gioco, il modello vale ancora (es: per un RC, qualsiasi sia il valore di resistenza e capacità, varranno le stesse leggi).
• Contro: Difficoltà di stesura delle leggi fisiche per sistemi complessi con relativi costi.

Modellazione black box

Mi baso su dati sperimentali.

• Pro: È costruito ad "hoc" sul tipo di problema, molto rapido.
• Contro: Poco generalizzabile.

Sistema: INPUT (causa) ---> S ---> OUTPUT (effetto), di cui voglio ottenere una descrizione matematica tramite un modello, tramite modellazione WB o BB.

AD: Analisi dei dati

I dati forniscono indicazioni sul modello da utilizzare, tramite l'individuazione di un pattern e di regolarità dei dati stessi.

• Sistemi statici: Conoscere l'ingresso u è sufficiente per trovare l'uscita.
• Sistemi dinamici: È necessario conoscere la condizione iniziale del sistema.

Richiami di statistica

Variabile casuale: variabile V definita a partire dall'esito S di un esperimento casuale. L'esito S definisce il valore che assume la variabile V.

• V.C: variabile casuale
• V(S): variabile casuale

V() = valore assunto dalla variabile casuale a seguito di uno specifico esito dell'esperimento.

Se la variabile casuale può assumere diversi valori, assegno una probabilità che ogni esito accada, ovvero che la V.C. assuma valori differenti.

Se V.C assume valori discreti:

• Funzione di probabilità di massa (pmf - probability mass function): si associa una probabilità ad ogni valore che la V.C. può assumere.

Se V.C assume valori continui:

• Funzione di densità di probabilità (pdf - probability density function): se i valori che una V.C. può assumere sono continui, quindi infiniti, non ha senso trovare la probabilità che la V.C. stessa assuma uno specifico valore. Verifico quindi che appartenga ad un intervallo.
• Funzione di densità cumulata (cdf - comulated density function) o distribuzione di probabilità: f(x) può essere, per esempio, la funzione "campana".

Valore atteso di una V.C. continua: x = ogni valore assunto dalla V.C.; f(x) = probabilità che la V.C. assuma quel valore.

Una variabile casuale si definisce gaussiana se si distribuisce con le seguenti funzioni.

Proprietà delle variabili gaussiane

• Linearità
• Varianza: Utilizzando le proprietà di linearità (in maniera sia diretta che inversa) del valore atteso, e evidenziando che è un valore (e non una variabile casuale), otteniamo che:

Proprietà varianza:

Linearità