Laboratorio di Metallurgia

IllesidiFattore Lorenz Polarizzazione

In questa equazione:

• I. Intensità integrata per unità di lunghezza di linea di diffrazione.
• I(0). Intensità del fascio incidente.
• A. Area della sezione del fascio incidente.
• λ. Lunghezza d'onda del fascio incidente.
• r. Raggio del cerchio del diffrattometro.
• µ(0). Costante di permeabilità magnetica del vuoto.
• e. Carica dell'elettrone.
• m. Massa dell'elettrone.
• ν. Volume della cella unitaria.
• F. Fattore di struttura.
• p. Fattore di molteplicità.
• θ. Angolo di Bragg.
• e^(-2M). Fattore di temperatura.
• µ. Coefficiente di assorbimento lineare, che entra come fattore di assorbimento 1/2 µ.

Di seguito verranno analizzati i sei fattori che influiscono sull'intensità delle righe di diffrazione e che quindi compaiono nell'equazione appena citata.

Il fattore di molteplicità p può essere definito come il numero dei piani che possiedono indici di Miller differenti ma con la stessa spaziatura d. Poiché piani con la stessa spaziatura d contribuiscono allo stesso cono di diffrazione, questo sarà tanto più intenso quanto maggiore sarà il valore di p.

Se si considerano, ad esempio, le riflessioni {111}, ci sono otto piani che possiedono la stessa spaziatura ma differente orientazione, ovvero: (111), (-111), (1-11), (11-1), (-1-11), (1-1-1), (-11-1), (-1-1-1). In questo caso, p = 8. Invece, i piani {100} presentano sei possibili varianti: (100), (010), (001), (-100), (0-10), (00-1), per cui p = 6. Da quanto detto, l'intensità della riflessione {111} sarà 4/3 rispetto a quella della riflessione {100}.

Fattore di polarizzazione: L'intensità I del fascio diffuso da un singolo elettrone di carica e e massa m rispetto ad un punto P,

1. componenti:20IIp 20cosiIp III cosIo TE1PzyIo 1 17520 di
2. Fattore polarizzazione

Il fattore di polarizzazione è presente quando la radiazione non è polarizzata.

3. Fattore di Lorenz

Questo fattore, essenzialmente di tipo geometrico, è dovuto a tre contributi.

4. Primo contributo

Quando un cristallo, ruotando, passa attraverso un angolo di Bragg, si ha una riga di diffrazione con un profilo avente un'intensità massima (I(max)) e una determinata larghezza. L'energia totale del fascio diffratto può essere misurata e prende il nome di intensità integrata. In particolare, tale energia è pari all'area sotto questo profilo di diffrazione e rappresenta una grandezza molto più interessante di I(max), in quanto dipendente dalle caratteristiche del materiale, mentre la massima intensità dipende, come abbiamo visto, da un insieme di fattori che sono legati anche all'apparato sperimentale.

Naturalmente, quando il piano riflettente forma un

angolo θ(B) con il fascio incidente, la legge di Bragg risultasoddisfatta, pertanto l'intensità diffratta nella direzione 2θ(B) è un massimo. Tuttavia, dell'energia sarà comunque diffratta in questa direzione anche quando l'angolo di incidenza differisce di poco dall'angolo di Bragg θ(B) e l'energia totale diffratta, nella direzione 2θ(B), è data dal valore di I(max) della curva rappresentata in [Fig. 11-2]. Per cui, se ora consideriamo una piccola rotazione Δθ del campione rispetto all'angolo θ(B) che rappresenta un angolo di Bragg, come mostrato in [Fig.11-3], il fascio incidente formerà rispetto al campione un angolo θ(1) = θ(B) + Δθ e per il fascio diffratto si avrà che θ(2) = θ(B) - Δθ. Pertanto, la differenza di cammino tra i due raggi diffratti da due atomi adiacenti e distanti a sarà, secondo lo schema mostrato a

angolo rispetto che ad alto angolo.Essendo la larghezza del picco a metà altezza inversamente proporzionale al coseno di θ(B), l’intensitàintegrata sarà proporzionale al prodotto tra la larghezza a metà altezza e l’intensità massima, ovvero:BImax fine fase finale

Secondo contributoL’intensità di una riflessione ad un particolare angolo di Bragg dipende anche dal numero di cristalliorientati favorevolmente all’angolo θ(B), e questo numero non è costante. In [Fig. 11-4] è rappresentatauna sfera di raggio r, nel cui centro O è posizionato il campione.Supponiamo che l’intervallo angolare vicino all’angolo di Bragg θ(B) dove la riflessione risulta essereapprezzabile sia Δθ. I piani riflettenti saranno esclusivamente quelli la cui normale giace all’interno dellabanda rΔθ. Finché i cristalli sono assunti come orientati casualmente, i loro

piani normali saranno uniformemente distribuiti sulla sfera; di conseguenza, la frazione di cristalli favorevolmente orientati sarà data dal rapporto tra l'area di quella striscia rispetto all'area dell'intera sfera. Se ΔN rappresenta il numero di questi cristalli e N quelli totali, si ha che: 0B9o casoD0cos0Brdozitrs.in ztraTerzo contributoIn realtà quello che si fa non è comparare l'energia totale diffratta da un cono di diffrazione con quella diffratta da un altro, ma piuttosto vengono comparate le intensità integrate per unità di lunghezza di una linea di diffrazione con quella di un'altra. Osservando, ad esempio, la Fig. 11-5 è possibile osservare che la lunghezza di ogni linea di diffrazione è pari a 2πRsin(2θ(B)), dove R è il raggio della camera e la relativa intensità per unità di lunghezza di linea è inversamente proporzionale a sin(2θ(B)). Fattore di

Lorenz-Polarizzazione

I tre contributi appena discussi vengono, quindi, racchiusi in un unico fattore che prende il nome di fattore di Lorenz e che viene espresso dalla seguente equazione:

casofin asinoIÌfin cosao zo

Combinando insieme il fattore di Lorenz con quello di polarizzazione, trascurando il fattore costante 1/8, otteniamo il fattore di Lorenz-Polarizzazione, il cui andamento in funzione dell’angolo di Bragg è riportato in Fig. 11-6:

201 coscososin

Fattore di assorbimento

Il fattore di assorbimento dipende anch’esso dalla particolare geometria adottata sperimentalmente. Deve quindi essere calcolato a seconda del particolare metodo impiegato e tiene conto del fatto che l’intensità del fascio diffratto è influenzata dall’assorbimento del campione.

I provini usati per il diffrattometro sono piatti e formano angoli uguali con i raggi incidenti e con quelli diffratti. Il fattore di assorbimento può essere, pertanto, considerato pari

In questa equazione il fattore di assorbimento non dipende da θ, dato il perfetto bilanciamento tra dueeffetti opposti:

• Quando θ è piccolo, l’area irraggiata da un fascio con sezione d’urto costante è grande, ma lapenetrazione dei raggi X è piccola.
• Quando θ è grande, l’area irraggiata è più piccola, ma la penetrazione è maggiore.

Fattore di temperatura

Fin’ora, abbiamo assunto che qualunque fosse il reticolo, gli atomi, pur avendo disposizioni diverse,occupano posizioni geometriche fisse nello spazio. In realtà, l’agitazione termica, di intensità direttamenteproporzionale alla temperatura, porta gli atomi ad oscillare, con ampiezza diversa e frequenza costante. Inparticolare, un aumento di oscillazione porta gli atomi ad allontanarsi, a causa della geometria della curvaenergetica in funzione della distanza fra i