Introduzione ai radar, D'Amico

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Sϑ φ = (2.5)incG ( , ) S omSdove indica la densità di potenza incidente sul bersaglio.incIl guadagno è massimo nella direzione in cui G = G(0,0); nei radar meteorologici può variaredai 30 ai 50 dB.Un parametro rilevante è la larghezza angolare del lobo principale (figura 2.10) definita comel’angolo tra la direzione principale (che individua il guadagno massimo) e quellacorrispondente ad un guadagno pari al 50% del valore massimo (-3dB).2 Antenna ideale che trasmette in ogni direzione in modo uniforme. 20RadarFIGURA 2.10: Diagramma del solido di radiazione di un’antenna.Sfruttando prima la (2.5) e poi la (2.4) si ottiene:⋅G P (2.6)= ⋅ = tS G S π⋅ ⋅inc om 2r4La potenza intercettata dall’oggetto viene in parte assorbita e in parte diffusa in tutte ledirezioni. Poiché solo ciò che ritorna all’antenna può essere riconosciuto come eco, èSnecessario calcolare la densitàdi potenza ricevuta dal radar. A tale proposito si definisce l'area equivalente (radar cross section = RCS): $(2.7)\; S\; =\; \backslash sigma\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^4$ Sostituendo la (2.6) nella (2.7), si può ricavare: $(2.8)\; P\_G\; =\; \backslash frac\{t\; \backslash cdot\; S\}\{r^2\; \backslash cdot\; \backslash pi\}$ In definitiva se l'antenna ha un'area $A$, la potenza totale ricevuta è: $(2.9)\; P\_G\; =\; \backslash frac\{\backslash sigma\; \backslash cdot\; t\; \backslash cdot\; P\_S\; \backslash cdot\; A\}\{\backslash pi\; \backslash cdot\; r^2\}$ Nel caso in cui in trasmissione e ricezione si usi la stessa antenna vale: $(2.10)\; G\_\{\backslash theta,\; \backslash phi\}\; =\; A\; \backslash cdot\; \backslash frac\{4\; \backslash pi\}\{\backslash lambda\}$ dove $\backslash lambda$ è la lunghezza d'onda del segnale. Sostituendo la (2.10) nella (2.9) si ricava: $(2.11)\; P\_G\; =\; \backslash frac\{t\; \backslash cdot\; P\; \backslash cdot\; \backslash sigma\}\{\backslash pi\; \backslash cdot\; r^3\; \backslash cdot\; 4\; \backslash cdot\; r^4\}$ che è proprio l'equazione del radar richiesta. La potenza ricevuta dal radar è proporzionale alla potenza dipicco trasmessa e al quadrato del guadagno dell'antenna. Si può così intuire che per rilevare bersagli con RCS piccola a grande distanza occorre avere grande potenza in trasmissione ed elevato guadagno. 2.3.2 Bersagli distribuiti Se il bersaglio non è unico ma si presenta distribuito in un ampio volume, come nel caso delle idrometeore, bisogna considerare contemporaneamente il contributo di scattering (diffusione) di molte particelle. La regione di spazio comprendente tutte le idrometeore che simultaneamente contribuiscono alla diffusione della potenza trasmessa dal radar è detta regione di contribuzione o cella del fascio irradiato. Ha un'estensione radiale pari alla metà c h della lunghezza dell'impulso: ⋅τc h (2.12)=2 2 mentre l'ampiezza della sezione trasversa dipende dalla larghezza del lobo principale irradiato ϑ φ dall'antenna. Approssimando il volume con un tronco di cono, se e sono le ampiezze del lobo.principale rispettivamente in azimut ed elevazione, allora la sezione a distanza vale: θ · φ · (2.13)r rπ · Quindi il volume della regione di contribuzione è dato da: π · θ · φ · 2h r (2.14) ≅ Vc/8 All'interno della cella cade solo metà della potenza trasmessa; inoltre la densità di potenza incidente non è uniforme e non è neppure possibile apprezzare il contributo di ogni singola particella. Per tali ragioni le celle si presentano come le regioni di minima risoluzione del radar. Si noti inoltre che il volume della cella aumenta al crescere della distanza dal radar peggiorando così la sua risoluzione. Per calcolare, nella regione di contribuzione, la RCS dovuta alle idrometeore è necessario formulare le seguenti ipotesi: - Il valore di h/2 deve essere molto più piccolo della distanza , in

modo che vari poco in ogni cella:

• S sia assunto uniforme dentro il lobo principale e nullo esternamente;
• lo scattering di altri corpi dentro la cella rimanga trascurabile così da non modificare l'onda incidente;
• la diffusione o l'assorbimento di altri oggetti vicino al radar non diminuisca la potenza.

La difficile localizzazione delle idrometeore nella regione di contribuzione rende impossibile il calcolo del valore dell'RCS istantaneo, che peraltro varia continuamente a causa del vento e della forza gravitazionale. Normalmente si procede alla valutazione media su un certo numero di rilevazioni. La potenza diffusa dalla regione di contribuzione deriva dalla sovrapposizione delle singole diffusioni da parte delle particelle costituenti la cella indagata. Non essendoci una relazione di fase ben determinata tra i campi diffusi, questa può essere considerata come distribuita uniformemente, pertanto, la sezione equivalente totale è la.

somma delle RCS diogni singola particella: ∑ (2.15)σ σ= jje sostituendola nella (2.11), si ricava la potenza media ricevuta: λ⋅ ⋅2 2 ∑P G1 σ≅ tP (2.16)π⋅r j3 4r64 j

Questo risultato è solo un’approssimazione perché conseguito con l’ipotesi di guadagnocostante all’interno del lobo principale. La somma (2.15) deve essere eseguita su tutte le particelle nella cella considerata; dal momento che le precipitazioni possono essere più o meno uniformi nello spazio, è utile esprimere la (2.15) come: σ η= ⋅ (2.17)Vcη riflettivitàessendo la definita come: ∑ σσ jη = = j (2.18)V Vc c2mespressa in .3m 23RadarRiscrivendo la (2.16) come segue: τ λ ϑ φ η⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 2c P G≅ tP π⋅r 2 2r512 (2.19)si ottiene l’equazione approssimata del radar per bersagli distribuiti, nell’ipotesi che

La densità di potenza all'interno del fascio incidente sia uniforme nell'intera regione. Usando un modello [5][6] che approssima il lobo principale con una gaussiana escludendone i lobi laterali:

θ φ = ⋅ − −G G (2.20)( , ) exp γ δo 2 2

dove γ e δ sono quantità proporzionali rispettivamente all'azimut e all'elevazione, e procedendo con l'opportuna sostituzione nella (2.19), si ricava:

τ λ θ φ η⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅22c P G= t oP π⋅ ⋅r 2 2r1024 ln 2 (2.21)

Per molte antenne questa approssimazione è buona e l'errore non supera i 0,2 dB. Queste equazioni evidenziano che la potenza media dell'eco causato da bersagli distribuiti è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, in contrasto con l'inversa proporzionalità alla quarta potenza della distanza.

dell'eco proveniente da bersagli solitari. Il fenomeno è facilmente associabile all'incremento della regione di contribuzione con la distanza, in modo proporzionale al quadrato della stessa.

2.4 Equazione del radar meteorologico

Si tratta ora di elaborare una forma speciale dell'equazione del radar per bersagli distribuiti in modo da facilitarne l'impiego in ambito meteorologico. Il problema può essere diviso in tre passi:

• calcolo dell'RCS per una singola particella;
• individuazione del numero e della grandezza delle particelle in una regione di contribuzione;
• definizione dell'RCS complessivo per le particelle nella regione di contribuzione, come visto nel paragrafo precedente.

Nel seguito le particelle di pioggia o grandine saranno considerate, con una buona approssimazione, di forma sferica. Molti studi sono stati compiuti relativamente allo scattering delle idrometeore e si sono consolidate due teorie, quella di

Rayleigh (approfonditanel presente lavoro) per la diffusione di particelle piccole rispetto alla lunghezza d’onda, quella di Mie per lo scattering di particelle di dimensioni maggiori. Senza perdere di generalità, si procede facendo incidere un’onda elettromagnetica polarizzata linearmente su una sfera di dielettrico posta sufficientemente lontana dal radar, in modo dapoter considerare piana l’onda incidente. Visto che la sfera è piccola rispetto alla lunghezza d’onda, il campo elettrico dell’onda incidente è essenzialmente uniforme al suo interno. Un campo uniforme in una sfera di dielettrico omogeneo induce un dipolo elettrico parallelo al campo stesso (figura 2.11).

FIGURA 2.11 : Dipolo indotto in una goccia da un campo incidente piano. Il suo momento di dipolo è il prodotto dell’ampiezza del campo incidente e della polarizzabilità della sfera.

Il modulo del momento di dipolo indotto [7] è: π ε⋅

⋅ ⋅ ⋅ (2.22)3op K D E inc2essendo ε − 1= rK ε + 2rε εcon costante dielettrica del vuoto, costante dielettrica relativa del mezzo, D diametroo rEdella sfera ed modulo del campo elettrico incidente.incLa potenza sottratta dall’onda incidente viene in parte assorbita e dissipata come calore, inparte reirradiata dal dipolo, il cui campo elettrico in modulo è fornito dalla:π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 3p K D E (2.23)ϑ= = incE sinε λ λ⋅ ⋅ ⋅ ⋅r 2 2r r2o 25Radarθrdove è la distanza dalla sfera e è l’angolo rispetto al dipolo evidenziato in figura 2.12.L’onda elettromagnetica emessa dal dipolo non può essere approssimata come un’ondasferica. Il campo elettrico, infatti, decresce in ogni direzione come l’inverso del raggio, ma èdotato