Intelligenza Artificiale - Parte B

Proprietà delle lotterie

B A Cuna qualche probabilità p per cui l’agente razionale sarà indifferente tra acquisire L conBcertezza e partecipare alla lotteria che fornisce L con probabilità p e L con probabilitàA C−1 p. Ossia per ogni L , L e LA B C ∃ −L L L =⇒ p [p : L ; 1 p : L ] (10.5)A B C A C4. Sostituibilità: se un agente è indifferente tra due lotterie L e L , allora l’agente saràA Bindifferente anche tra due lotterie più complesse che sono identiche se non per il fatto chein una di esse L è sostituito da L . Questo vale indipendentemente dalle probabilità eB Adalle altre uscite nelle lotterie.∼ − ∼ −L L =⇒ [p : L ; 1 p : C] [p : L ; 1 p : C] (10.6)A B A B5. Monotonicità: supponiamo che due lotterie abbiamo le stesse uscite L e L . Se unA Bagente preferisce L rispetto ad L , allora l’agente deve preferire la lotteria che ha unaA Bprobabilità più alta per L (e viceversa).A ≥ ⇐⇒ − −L L

⇒ (p q [p : L ; 1 p : L ] [q : L ; 1 q : L ]) (10.7)%

A B A B A B

6. Scomponibilità: lotterie complesse possono essere ridotte a lotterie più semplici usandole leggi della probabilità. Questa regola è stata chiamata ”no fun in gambling” (non c’èdivertimento nel gioco d’azzado), perché afferma che due lotterie consecutive possono essereriunite in una singola lotteria equivalente.

− − ∼ − − −[p : L ; 1 p : [q : L ; 1 q : L ]] [p : L ; (1 p)q : L ; (1 q)(1 p) : L ] (10.8)

A B C A B C

Possiamo notare però che questi assiomi della teoria dell’utilità non dicono nulla dell’utilitàstessa, limitandosi a parlare di preferenze. La preferenza è considerata la caratteristica fon-damentale degli agenti razionali: l’esistenza di una funzione di utilità è una conseguenza degliassiomi stessi, più in particolare se le preferenze degli agenti soddisfano gli assiomi allora esiste→ ∈una

funzione U : Stati tale per cui, per ogni S e S Stati abbiamo che

R A B⇒ U (S ) > U (S )

S SA B A B⇒ ∼U (S ) = U (S )

S SA B A B 1e che l'utilità di una lotteria è il valore atteso della utilità dei suoi esiti, ossia

XU ([p : S ; . . . ; p : S ]) = p U (S ) (10.9)

Quindi un agente razionale che vuole massimizzare la funzione di utilità deve massimizzare il valore di utilità atteso, ed in questo possiamo ritrovare il principio MEU, ossia massima utilità attesa.

Per le persone avverse al rischio la funzione di utilià è più conservativa, ma in ogni caso dovranno sempre massimizzare l'utilità attesa. La cosa importante da notare è che i valori delle probabilità degli esiti sono soggettivi e non oggettivi, è quindi possibile spostare la desiderabilità dei singoli esiti. Vediamo come anche qui ritroviamo la teoria soggettiva della probabilità.

E' importante ricordare che l'esistenza di un funzione di

Utilità che descrive le preferenze di un agente non significa necessariamente che l'agente stia massimizzando esplicitamente tale funzione nelle due deliberazioni.

10.3 Funzioni di utilità

L'utilità è una funzione che fa corrispondere stati a valori reali. Questo è tutto ciò che possiamo dire sull'argomento? Strettamente parlando, è così: al di là dei vincoli che abbiamo elencato, un agente è libero di avere le preferenze che vuole. Se tutte le funzioni di utilità fossero altrettanto arbitrarie, comunque, la teoria dell'utilità non sarebbe molto utile: infatti dovremmo osservare le preferenze di un agente in ogni possibile combinazione di circostanze prima di poter formulare una qualsiasi predizione sul suo comportamento. Fortunatamente, le preferenze degli agenti reali sono spesso più sistematiche.

10.3.1 L'utilità del denaro

La teoria dell'utilità affonda le sue radici nell'economia, e questa disciplina offre un ovvio

Allora vinciamo 30 milioni altrimenti torniamo a casa con 0 euro. Molte persone sceglierebbero la (1) anche se il valore monetario atteso (EMV) dell'azzardo (valore atteso della lotteria) è di 15 milioni di euro (> 10) ma questo non significa che puntare tutto sulla moneta sia la scelta migliore. Indichiamo con S lo stato in cui si possiede una ricchezza di n euro, e che la vostra ricchezza corrente sia k. L'utilità attesa delle due azioni sarà:

EU (Accetta) = U (S ) + U (S )6k k+30×10

EU (Rifiuta) = U (S )6k+10×10

Per determinare cosa fare dobbiamo assegnare dei valori di utilità agli stati di uscita. L'utilità non è direttamente proporzionale al valore monetario, perché il cambiamento in positivo dello stile di vita sarà molto alto in corrispondenza dei primi 10 milioni, mentre l'utilità di ogni milione aggiuntivo sarà molto inferiore. Supponiamo di assegnare i seguenti valori di utilità:

U (S ) = 5,

U (S ) = 8

e U (S ) = 10.

Questo caso l'azione razionale sarebbe quella di rifiutare la scommessa in quanto la sua utilità attesa è pari a 7,5, un valore inferiore a 8,63.

In un pioneristico studio delle funzioni di utilità reali, Grayson (1960) trovò che l'utilità del denaro era quasi esattamente proporzionale al logaritmo della quantità. Questa idea era già stata presentata da Bernoulli nel cosiddetto paradosso di San Pietroburgo:

Possiamo partecipare ad un gioco (con puntato c > 0) che consiste nel lanciare una moneta ripetutamente finché non esce testa. Se questo accade al lancio n, si vincono 2 rubli.

Il valore monetario atteso è ∞ ∞X X -nn n ∞EM V = 2 testa la lancio n) = 2 2 =P(priman=1 n=1-c+EM ∞.

Mentre il guadagno atteso è esattamente V = ∞.

Sulla base di questo Bernoulli ipotizzò che la funzione di utilità per il denaro fosse direttamente proporzionale al logaritmo della quantità ed è quindi U(S) =

a log n + b (10.10)n 2

Vedendo alcuni dati sperimentali nella figura seguente, prendendo in considerazione solo la parte positiva delle curve in cui la pendenza descresce, allora per ogni lotteria L l'utilità di accettare tale lotteria è inferiore a quella di ricevere direttamente con certezza il suo valore monetario atteso: U (L) < U (S ) (10.11)

EM V (L)

Questo significa che gli agenti che hanno curve di questo tipo sono avversi al rischio: preferiscono

Figure 10.1: L'utilità del denaro. (a) dati empirici su intervallo limitato. (b) tipica curva

un guadagno sicuro, anche se è inferiore al valore monetario atteso di una scommessa. D'altro canto nella regione dei "disperati" della Figura 10.1(b) che hanno una grande ricchezza negativa, il comportamento è di ricerca del rischio. Il valore che l'agente accetterà al posto di una lotteria è chiamato equivalente certo della lotteria.

Notare che per piccoli cambiamenti relativamente alla ricchezza

6.4.10.3 Scale e valutazione di utilità

"catastrofe possibile" in U (S) =>u . Le utilità normalizzate potranno quindi usare una scala con u = 0 e u = 1. Per valutare⊥ ⊥ >le utilità intermedie si può chiedere all’agente di indicare una preferenza tra una dato stato di−uscita S e una lotteria standard [p : u ; 1 p : u ]. La probabilità p viene quindi ”tarata”> ⊥finché per l’agente è indifferente scegliere tra S e la lotteria standard. Quando si raggiunge quelpunto, e presumendo che si usino utilità normalizzate, l’utilità di S corrisponde al valore p.

In molti problemi, tra cui quelli che riguardano la medicina, i trasporti e l’ambiente, possono essere messe in gioco vite umane. In tal casi, u è il valore assegnato alla morte istantanea (o⊥molte morti). Sono stati anche compiuti dei tentativi di determinare il valore assegnato dalle persone alla propria stessa vita: due unità di misura comunemente usate nell’ambito

1. Funzioni di utilità multiattributo