Integrale triplo

Integrale triplo e volume

L'integrale triplo o integrale di volume ∮∮∮_Ω f(x,y,z) dx dy dz, se f=1 e Ω è il volume di Ω.

Domini e volumi in ℝ³

Ω = {(x,y,z) ∈ ℝ³ / (x,y) ∈ D α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)}. Le funzioni α e β: D ⊆ ℝ² → ℝ sono continue, con D chiuso.

L'integrale è integrabile rispetto al piano xy.

Calcolo del volume del solido

Equazione della sfera: x² + y² + (z - r)² = r². Si considera z = r − √(r² − x² − y²) per perdere la calotta superiore, quindi α(x,y) = r - √(r² - x² - y²).

Equazione del cono: h = r (r=h) z = 𝓥 x ma il nostro cono è capovolto e traslato rispetto a O.

Integrale triplo

L'integrale triplo ∭_Ω f(x,y,z) dx dy dz, se f = 1, è il volume di Ω con:

Ω = { (x,y,z) ∈ ℝ³ / (x,y) ∈ D   α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y) }.

α, β: D ⊂ ℝ² → ℝ con D chiuso, α ≤ β.

Calcolo del volume dell'ovolo

Equazione della sfera: x² + y² + (z-r)² = r². Considerando z = r ± √r² - x² - y², la sezione perde la calotta superiore, quindi α(x,y) = r - √r² - x² - y².

Equazione del cono: z = h/r ρ con z = h/r √x² + y². Il cono è capovolto e ribaltato rispetto a O.

z = (h + r) - r = -^h/_r-,(p-r)+r = -^h/_r-β+h+r.

⟹ β(x² + y²) = -^h/_r√x² + y² + h + r.

Calcolo dell'integrale

∫∫∫ (ht + r -^h/_r √x²+y²-r+/-^h/_r√-x²-y²) dx=x=ρcosθ   0≤ρ<r y=ρsinθ   0≤θ<2π = 2π∫₀^r(h+^ρ/_r√r²-ρ²)ρdρ = 2π∫(h^ρ/_r²-ρ²)ρdρ 2π(r²-ρ²) dρ =- 2πh^r2/₂ - ^h/_r h³/₃ - π (r²-ρ²)[²/₃] = 2πh r²/₂ - h²/₃ + ²/₃π r^23/2.

Domini di integrazione

Rispetto al piano xy:

• Ω = {(x,y,z) ∈ &Ropf;³ / (x,y) ∈ D , α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)}
• D è il dominio del piano (x,y). D aperto ∃ f, ∃ p D → &Ropf; f(x, p è continuo α ≤ β ∈ su D.
• ∭_Ω f(x,y,z) dx dy dz = ∭_D [ ∫_α(x,y)^β(x,y) f(x,y,z) dz ] dx dy

Rispetto al piano yz:

• Ω = {(x,y,z) ∈ &Ropf;³ / (y,z) ∈ D , α(y,z) ≤ x ≤ β(y,z)}
• ∭_Ω f(x,y,z) dx dy dz = ∭_D [ ∫_α(y,z)^β(y,z) f(x,y,z) dx ] dy dz

Rispetto al piano xz:

• Ω = {(x,y,z) ∈ &Ropf;³ / (x,z) ∈ D , α(x,z) ≤ y ≤ β(x,z)}
• ∭_Ω f(x,y,z) dx dy dz = ∭_D [ ∫_α(x,z)^β(x,z) f(x,y,z) dy ] dx dz

Esempio

Ω = {(x,y,z) ∈ ℝ³/y²+z²≤1 0≤x≤3} f(x,y,z)=2 α(y,z)=0 β(y,z)=0.

∭_Ω f = ∬_D (∫₀³ 2 dx) dy dz = ∬_D 3z dy dz con D = {(y,z)∈ℝ²/y² + z² ≤ 1} (cilindro). Utilizziamo le coordinate polari: y = ρcosθ z = ρsenθ 0≤ρ≤1 0≤θ≤2π = ∫₀^{2π} 3ρsenθ (∫₀¹ ρ dρ) dθ sen (∫₀¹ ρ²cosθ dρ) = 0.

Cambiamento di variabili negli integrali triplo

∭_Ω f(x,y,z) dx dy dz = ∭_A f o Φ(u,v,w)|detJΦ(u,v,w)| du dv dw con Φ:A⊂ℝ³ -> Ω, Φ iniettiva e invertibile Φ∈C¹(A), JΦ invertibile.

Le coordinate tipiche per il cambiamento di variabili sono:

• Sferiche: (x=ρ sin θ cos φ) y=ρ sin θ sin φ z=ρ cosθ con JΦ=ρ² sin θ 0≤φ≤2π 0≤ρ 0≤θ≤π

Traiettoria ammissibile per β = 0 e θ = 0/θ = π Φ siff. osserva m.u.a. fig. sopra.

Esempio: coordinare sferiche

Semisfera tagliata da un piano Ω = x²+y²+z² ≤ ρ²/2 x²+y²+z² ≤ ρ²/2 z ≥ 0 (z ≤ ρ sul suo sup superiore).

Calcolo del momento di inerzia del solido

Ed(x,y,z) = ₁/^x2+y2+1 + β < x² + y² con α, β parametri positivi.

I_z = ∫∫∫ _E (x²+y²) d(x,y,z) dx dy dz.

Applichiamo le coord. sferiche, quindi:

Calcolo di I_z

I_z = ∫ƒ varia da 0 e 2π Θ dipende da β∫ ^x2+y2 _z²p²sin²Θ + β²cos²Θ = β² ≤ R² ⇒ β≤R 0 ≤ ρ cosΘ ≤ √< ^{γ2 − ε2} ⇒Θ ε [0,π/₂] cos Θ = √<^{32 − γ2} β poiché ρ cosΘ > 0.

Chiamiamo anche D il dominio bidimensionale D = {(p,Θ) / 0≤p≤R, 0≤Θ≤π/₂} ρ cosΘ< √_β²γ.

⇒ I_z = ∫^2π₀ ∫^D [ ∫₀^{ƒ di pΘ} ρ dρ dφ ] dψ.

I_z = ∫^2π₀ ∫^D [ ∫₀^{β2sin2Θ dφ sinβ dρ dφ ] dψ =}

= ∫^2π₀ ∫^D [ ∫₀^{β3sin3Θ dρ dψ ] dφ ⊓} ➂ 2π ∫∫ β⁵sin⁵θ [^α/_r⁵sin⁵θ + β³sin²θ] dpdθ =(■√) [^{pβ2√sin2θ}/] dp6 -π ∫∫ [■] dp dθ (⊖ discutiamo l'integrale cosα x cos θ x = ∫∫ √(...) dp dθ = θ − π/2 0 = ∫ [■] dp dθ (a) (b) superiamo{ x²+y²+z² = r² = r = √R² − r² z = r cosθ ⇒ cosθ = √R² − r²R.

Calcolo (A) con x = 0

2π ∫ β/cosθ 0 = α sinθ x ∫ α sin θ ∫ β⁵sin⁵θ = α sin θ x 2πβ 7 ∫ ∫ α x = 2π ∫ 0 α∫ β⁵sin⁵θ = 2πx ◄[…]= x, x sin θ (√(R²)∫cos θ