Integrale triplo

INTEGRALE TRIPLO (o integrale di volume)

∬_Ω f(x,y,z) dxdydz se f = 1 è il volume di Ω

• dominio e sezioni in ℝ³
• Ω = {(x,y,z) ∈ ℝ³ | (x,y) ∈ D α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)}
• α,β: D ⊂ ℝ² → ℝ continue, D convesso α ≤ β

INTEGRALE RISPETTO AL piano xy

EX Calcolare il volume del calice

• equazione sfera
• x² + y² + (z - r)² = r²
• z = r ± √(r² - x² - y²)
• ⦀ parte calotta superiore
• ⇒ α(x,y) = r - √(r² - x² - y²)
• equazione cono
• z = r (r/h)
• z = (h/r)√(x² + y²)
• Ma il nostro cono è "capovolto" e traslato rispetto a O

x = \(\frac{h}{r+1/r}\)(r-r) + r = \(-\frac{h}{r}r + h + r\)

\(\Rightarrow \rho(x,y,z) = - \frac{h}{r} \sqrt{x^2+y^2} + h + r\)

Calcoliamo l'integrale

\(\int\int\int_{D} \rho dx dy dz =\int\int_{0}^{r-\sqrt{x^2+y^2}} \rho(x,y,z)\, dz\)

\(= \int\int_{D} \left(h + r - \frac{h}{r}\sqrt{x^2 + y^2} - r + \frac{r^2-x^2-y^2}{2}\right) dx dy \)

\(\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} \left[ \int_{0}^{\left(\frac{h}{r}\sqrt{\rho^2-\beta^2} + h - r + 2\sqrt{r^2-\beta^2}\right)\rho\, d\rho} \right] d\Theta\)

\(= 2\pi \left[\frac{\beta^2}{2}\right]_{0}^{r}\)

\(+ 2\pi \int_{0}^{r} \sqrt{r^2-\beta^2} \rho d\rho = 2\pi \left[ \ldots \right]_{0}^{r}\)

\(+ \pi \int_{0}^{r} \sqrt{r^2-\beta^2}\, 2p d\rho =\)

\(- 2\pi h \frac{r^2}{2} - \frac{h}{r} \frac{r^3}{3} - \pi \left[\left(r^2-\beta^2 \right)^{3/2} \frac{2}{3}\right]_{0}^{r}\)

\(= 2\pi h \frac{r^2}{2} - \frac{h}{r} \frac{r^2}{3} + \frac{2}{3} \pi r^2^{3/2}\)

Θ 2π || λ ||^ e₀ ∫ ^r2 _{r²sin²θ + β} ∫ j₂ sin²θ dφdθ =

• -2π|| λ ^r2_{r²sin²θ + β} dj dθ Θ dividiamo l'integrale

• ∫ d

π/2 ∫ r _e φ ∫ j dφdθ + 2π∫ [ ] dφ dθ =

π∫ [ ] dφdθ =

0 0

A Sopra sotto…

P e ∫ x² + y² + z² = r² = 2

P

Calcoliamo (A) con x=0

0₂π ∫ βrxsin θ [r² / x⁴]

= 2π ∫ ^{(R2 - r2)1/2} _cos⁵θ 0

= ^{2π at β} ₇∫ α..50