Il termine mancante e l’induzione elettromagnetica

E ∙ d l B ∙ d S

dt

γ S γ

In questo caso il campo elettrico non è più conservativo, il nome di questa

legge è detta di Faraday-Neumann-Lenz, con il meno davanti grazie a Lenz.

Quando si ha una variazione di flusso del campo magnetico, si produce una

forza elettromotrice che si oppone alla variazione di flusso del campo

magnetico, producendo a sua volta un campo magnetico indotto con verso

opposto al campo magnetico variabile. Se il flusso del campo magnetico sta

aumentando, il campo magnetico indotto aumenta nel verso opposto,

viceversa, quando sta diminuendo, il campo magnetico indotto risponde nello

stesso verso.

Si prenda un’altra situazione esempio, per capire come valga la conservazione

dell’energia:

Ossia vi è una sbarretta di metallo con contatti striscianti che si muove di moto

rettilineo uniforme, quindi con il lato incognito che sta aumentando, inoltre

x

il circuito è immerso in un campo magnetico uscente dalla pagina. Per la

conservazione dell’energia si può preliminarmente dire che, dato che sta

aumentando il flusso del campo magnetico, si deve produrre una corrente tale

da opporsi al verso della velocità , e quindi con la forza che va nel verso

v

opposto ad essa, la corrente e la forza sono indicate nel disegno. Dalla seconda

⃗

⃗ ⃗

legge di Laplace si sa che , inoltre dato che le direzioni del vettore

=Id

d F l × B

campo magnetico e del vettore superficie sono parallele fra loro, si ha:

❑

∯ ⃗ ⃗ =BA=Bax

B ∙ d S

S γ

E derivando rispetto al tempo si avrà proprio:

❑

d ∯ ⃗ ⃗ =Bav

B ∙ d S

dt S γ

Cambiando di segno seguendo la legge di Faraday-Neumann-Lenz, si ha che la

f −Bav

forza elettromotrice è uguale a , e dividendo per la resistenza del

em −Bav

=

I

circuito si ha l’equazione della corrente, ossia . Considerato inoltre

R

che il vettore campo magnetico e gli infinitesimi di lunghezza sono

dl

ortogonali fra loro, la seconda legge di Laplace si può integrare ottenendo il

modulo della forza:

2 2

a B v

| |

=aBI =

F R

Con il meno tolto dato che è in modulo, questa è proprio la quantità di forza a

cui è soggetta la sbarretta, di lunghezza .

a

Consideriamo ora il lavoro compiuto da una forza esterna (per muovere la

barretta), si tenga conto del fatto che il lavoro è l’integrale della forza per lo

spostamento infinitesimo e quindi:

x+ Δ x x+ Δ x 2 2 2 2 2

B a v B a v

∫ ∫

⃗ | | | |

⃗ =

L= F ∙ d s F dl= F l= Δ x → Δ x=v Δ t → L= Δt

R R

x x

Che è il lavoro compiuto dalla forza esterna, compiuta sulla sbarretta. Adesso si

trovi l’energia dissipata dalla resistenza per effetto Joule partendo dalla duale

definizione di potenza, ossia:

Δt Δt Δt

( )

2 2 2 2 2 2 2

−Bav

dL B a v B a v

∫ ∫ ∫

2

=R =

P= I → L= Pdt R dt= dt= Δt

dt R R R

0 0 0

La forza, dalla seconda legge di Newton, risulta essere una funzione della

dv ¿

F=m

velocità ( , quindi come varierà essa con il propagarsi del tempo? Si

dt

consideri il flusso del campo magnetico con moto rettilineo uniforme:

=Ba(x +

Φ vt)

⃗ 0

B

Per ricavare l’equazione della velocità si risolva la seguente equazione

differenziale per la forza frenante rispetto alla velocità:

2 2 2 2

−a −a −t

dv B v dv B Rm

= = =τ +C

F=ma=m → dt → → log v=

2 2

dt R v Rm τ

a B v

Quindi si risolve l’esponenziale e, ricordando che la velocità iniziale è , si

0

ricava la sua equazione:

−t −t

C C

τ τ

( )=e ( )=k ( )=e

=k =v

v t e → e → v 0 → v t v

0 0

Quindi in realtà la sbarretta non si ferma mai, ma tende a farlo con il tempo che

va all’infinito, con un grafico di tipo esponenziale negativo.

Dalla conservazione dell’energia, sappiamo che l’energia cinetica della barra si

trasforma in calore dissipato sulla resistenza, e considerando che il lavoro

compiuto da una forza è

1 1

2 2

− =calore

Δ E= m v m v dissipato

2 1

2 2

Che alla fine risulta proprio (considerando che la barra tende a fermarsi):

−2 t

1 2 τ

m v e

0

2

Che se si deriva rispetto al tempo viene la potenza, uguale a quella di prima.

Si deve sempre orientare il tutto (superficie, che rappresenta il verso positivo

per il flusso del campo magnetico) e le scelte iniziali si devono propagare di

conseguenza fino alla fine del problema.

Che è proprio uguale al lavoro compiuto dalla forza esterna per spostare la

sbarretta, altra espressione del fatto che l’energia si conservi in questo

sistema.

Si consideri un caso particolare di questo tipo:

Ossia vi è una linea chiusa circolare in moto rettilineo uniforme secondo una

velocità ed è immersa in un campo magnetico uscente dalla pagina, per

v

quanto si possa pensare che la corrente indotta esista, in realtà non è così,

infatti non vi è variazione di flusso del campo magnetico.

Tuttavia, può capitare che questa sezione circolare ruoti su se stessa, avendo

una situazione di questo tipo: