Geometria delle masse

Geometria delle Masse

• Massa: è una proprietà intrinseca dei corpi legata alla quantità di materia e rappresentato da uno scalare (m). In base alla sua geometria, parliamo di un corpo come puntiforme con massa m i indicato con (P, m i ) come sistema di masse puntiformi se formato da un insieme finito o infinito numerabile di masse puntiformi, o come vera distribuzione continua (C): dm=β(P)dl

M=∑_i=1ⁿm_i

M=∫β(P)dl_C

• β: funzione scalare che c’è se accoppare l’esistenza per ogni corpo esterso, cioè la densità o di massa. β=cost C è uniforme (omogeneo)

• Baricentro (CM): pto geometrico G interno o esterno ad un corpo di massa M tale per cui:

G-O=1/μ _i=1ⁿ∑m_i(A_i-O)

G-O=1/μ ∫β(P)(P-O)dl

Teorema

Il momento d'inerzia di un sistema rispetto alla retta _{(0, a)} ô vale:

I = A + B² + C² - 2A - 2B - 2C

dove A, B, C sono i momenti rispetto agli assi x, y, z e:

A = ∑_i=1^Nm_iy_i², B = ∑_i=1^Nm_ix_i², C = ∑_i=1^Nm_iz_i²

si dicono MOMENTI CENTRIFUGHI.

Dimostrazione

Sia:

p_i - O = x_iî + y_iĵ + z_ik̂

Si ha che:

ô = dî + βĵ + γk̂

[î(α, β, γ) + ĵ(α, β, γ) + k̂(α, β, γ)]

l_{3 i} = (p_i - O) x ô = | î ĵ k̂ | = ( γy_i - βz_i)î +

| x_i y_i z_i |

| α β γ |

(αz_i - γx_i)ĵ + ( βx_i - αy_i)k̂ = d(p_i, (O, ô))

∑_N=1

l₃I = ∑_i=1m_i²_i

per sostituzione si trova la formula cercata.

(J_i - d_iI₀) u_i = 0 i = 1, 2, 3

Si può dimostrare (ma non lo faremo) la validità dei seguenti teoremi:

1. O_x, è asse principale d'inerzia ⟺ A' = B' = 0
2. O_y, è asse principale d'inerzia ⟺ A' = C' = 0
3. O_z, è asse principale d'inerzia ⟺ B' = C' = 0

Teorema:

Se un continuo C ha un piano o di simmetria geometrico-materiale, allora ogni retta ad esso perpendicolare e passante per o₀ è asse principale d'inerzia.

Dimostrazione

Per definizione di simmetria geometrico-materiale, dati due pti P_i(x_ni, y_ni, z_ni), Q_i(x_il, y_i,

-z_il) e la retta O_xzI o', P_ni e Q_il hanno coppie massa m_i e sono equidistanti da o'.

Vest tra, per come sono definiti i momenti centrifughi B' e C' si ha che: