Funzioni composte derivate, funzioni composte con esercizi

Per (h,k) → (0,0)(x₁,y+tk) → (x,y)(x₁,y)

FUNZIONI COMPOSTE

Sia I⊆ℝ un intervallo e cons. due funzioni:t∈I⟶x(t)∈ℝt∈I⟶g(t)∈ℝ

L'applicazione che ad ogni t∈I⟶(x(t),y(t))∈ℝ² si dice curva del piano.

e.g.: Siano x(t)=cost e g(t)=sent t∈(0,π) { x(t)=cost t∈(0,π) y(t)=sent}

t∈(0,π)⟶(cost,sent)∈ℝ²x²(t)+y²(t)=1,  ∀t, (x(t),y(t))∈C(0,0)Inoltre g(t)=sent>0  poiché t∈(0,π)

^x² + _y² = 3−1           →

Vogliamo stabilire delle condizioni che garantiscano la derivabilità di ƒ rispetto a t in termini delle derivate delle funzioni componenti.

Th. DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE:

ƒ: A→ℝ

F:(t) = Dƒ (x(t)), x(t)=_₂Σⁿ_i=1 f_xi (x(t), x^(')(t))e.g.: ƒ(x,y) = x²−y²

≤ |f_x(x₁,y+k)−f_x(x,y)| ^|h|/_√(h²+k²) + |f_y(x₁,)−f_y(x,y)| ^|k|/_√h²+k² ≤

≤ [|f_x(x₁,y+k)−f_x(x,y)| + |f_y(x,y)−f_y(x₁,y)|] →

(x₁,y+k)→(x,y)

(x₁,y)→(x,y)

→ Per la continuità di f_x e f_y in (x,y) abbiamo la tesi.

FUNZIONI COMPOSTE

Sia I⊆ℝ un intervallo e c.s. due funzioni:

t∈I→x(t)∈ℝ

t∈I→g(t)∈ℝ

L’applicazione che ad ogni t∈I→(x(t);y(t))∈ℝ² si dice curva del piano.

es: Siano x(t)=cost e g(t)=sent t∈(0,π)

{ x(t)=cost t∈(0,π)

{ y(t)=sent

t∈(0,π)→{cost, sent}∈ℝ²

x²(t) + y²(t) = 1 ∀t, (x(t), y(t)) ∈ C_(0,0)

Inoltre g ̇(t)=sent→poiché t∈(0,π)

Vogliamo stabilire delle condizioni che garantiscano la derivabilità di f rispetto t in termini delle derivate delle funzioni componenti.

TH. DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE: Sia A⊆ℝⁿ aperto,

f:A→ℝ

F ̇(t)=(D_xf(x(t)), x(t)) = ∑²_i=1 f_xi(x(t), x_i(t))

es: f(x,y)= x²−y²

funzione da →ℝ²

x(t) = -t², y(t) = t

x(t) = y(t)² e si tratta della parabola di equazione x=-y²

Tramite la funzione composta otteniamo la curva nello spazio triadimensionale x,y,z di equazioni

• x = x(t)
• y = y(t)
• z = F(t) = f(x(t), y(t))

Per determinare i punti di max e min di f sulla curva x(t) = -t², y(t)=t,si può risolvere F’(t) = 0. In base alla formula di derivazione otteniamo

F’(t) = f_x⋅x’ + f_y⋅y’ = 2x’x₁x’₂y

= -2t²⋅(-2t)-2t⋅1=2t(2t² [...]sostituisco con x(t) = -t² ; x’= -2t (derivata) y(t)=t ; y’=1 (t ℝ R 1)

Questa si annulla per t = 0 e per t = ±√2/2

F’’(0)= -2 0

minimo massimo

TEOREMA:

Se le componenti del vettore x(t) = (x₁(t), x₂(t), x_n(t)) sonoderivabili in un punto t e se f è differenziabile in x(t) f alloraè derivabile in t e si ha.

DERIVATE DIREZIONALI:

Un vettore di ℝⁿ di norma uguale ad 1 si chiama “DIREZIONE” un vettore in ℝⁿ r = (a,b) è “DIREZIONE” se ||N||√a²+b²

Sia A⊂ℝⁿ aperto f:A→ℝ con (x,y) ∈ A.Fissata una direzione in ℝ² si definisce “DERIVATA DIREZIONALE” di f nel punto (x,y)nella direzione f il limite (se è finito)

lim ^{f(x+ta,y+tb)-f(x,y)}/_{t→0 　　　　　　t}. Tale derivata direzionale si indica

• ∂f/∂y 　∂f/∂x, ⅅ_y, ⅅ_z f, ⅅ_r f(x)

- Osservazioni -

​

• Se Λ = [0,1] allora la derivata direzionale ^∂f/_∂Λ(x,y) coincide con la derivata parziale ^∂f/_∂g
• ^∂f/_∂Λ(x,y) = lim_t→0 f(x+ty,y+tg) - f(x,y) / t = ^∂f/_∂y(x,y)
• Se Λ = [1,0] allora la derivata parziale = con la derivata direzionale ^∂f/_∂Λ(x,y) = lim_t→0 f(x+tx,y) - f(x,y) / t = ^∂f/_∂x(x,y)

ESERCIZI DERIVATE FUNZIONI COMPOSTE

• g(x,y) = x² + y²
• x(t) = t+t
• y(t) = 1-t
• F(t) = g(x(t), y(t))

F'(t) = ∂g/∂x * x'_x + ∂f/∂y * y' = 2x*x + 2y*y' = 2(1+t) * 1 + 2(1-t) * -1 = 2 + 2t - 2t - (1-t) -2 = 2 + 2t + 2t - ∂ = 4t

• g(x,y) = x² + y²
• x(t) = cost
• y(t) = sint
• z(t) = F(t) = g(x(t), y(t))

F'(t) = ∂g/∂x * x' + ∂f/∂y * y' = 2x*x + 2y*y' = 2 cost * (-Sint) + 2sint(cos t) - 2sint cos t + 2 sint cos t = 0

• g(x,y) = log(x² - y²
• x(t) = cost
• 0 ≤ t ≥ Π/2
• y(t) = sint
• G(t) = P(t) = g(x(t), y(t))

F'(t) = ∂g/∂x (x*x + ∂f/∂y (y) * y'

Calcoliamo le derivate parziali di x² - 2y

∂x_{log (x² + y²)} = ∂log(x² + y²)_XY (1,0)/t = ∂²(x² + y²) - 0 / ∂f (x² + y²) = ∂(x² + y²)/x ->

∂_x [x²] + ∂_x [x(y²)] = 2x = 2x

_______________ _________________

x²+y² x²+y²

∂_y [xy²] = 2y = ___________________

x²+y²

Ora. F’(t) = f_x(x) x + f_y(y) y’ = ________________, y’ =

x² + y² x² + y

q= _________________________________ ⋅ cost =

(cost² (sint²) (cost²)

f(x,y) = x y²

x² + y⁴

x(t) = g(t) = t t ≠ 0

x = F(t) = f(x(t), y(t))

Derivate parziali

∂ (x y² - ______________)

∂x (x² + y⁴)

x( ________________________________________)

- x (_________________________)

( x² + y⁴)

Φ y x

- y² (-x + y⁴) => ∂x = y² (x² + y⁴)

^{( x2 + y4)}

______________________ =

(

∂ ( x y²) = x( ∂ ( y²) = x( ______________________________________)

____________________ (__________________)

- x ( x² ______________________________________)

______ + 2xy⁵ _____________________)

_____________________