Funzioni inverse e composte

Funzioni inverse e composteFunzioni inverse e composte

Determiniamo l'espressione della funzione inversa delle seguenti funzioni e il relativo dominio.

a) f(x) = ¹/_{1 + e^x};   b) f(x) = 1 + 2 sen(^{x - π/₄}).

Funzione a)

a) La funzione y = ¹/_{1 + e^x} è definita ∀x ∈ ℝ. Determiniamo la relazione inversa ricavando x, 1 + e^x = ¹/_y → e^x = ¹/_y - 1 → x = ln(¹/_y - 1), e notiamo che è una funzione perché a ogni valore di y corrisponde un solo valore di x.

Quindi scriviamo la funzione inversa scambiando x con y: f^-1(x) = ln(¹/_x - 1).

Il dominio di f^-1(x), che coincide con il codominio di f(x), si ottiene risolvendo la disequazione ¹/_x - 1 > 0. Esso risulta essere l'insieme {x ∈ ℝ | 0 < x < 1}.

Funzione b)

b) Anche la funzione y = 1 + 2 sen(^{x - π/₄}) è definita ∀x ∈ ℝ. Ricaviamo la relazione inversa: 2 sen(^{x - π/₄}) = y - 1 → sen(^{x - π/₄}) = ^{y - 1}/₂ → ^{x - π/₄} = arcsen(^{y - 1}/₂) → x = arcsen(^{y - 1}/₂) + ^π/₄.

Otteniamo una funzione e, scambiando x con y, scriviamo: f^-1(x) = arcsen ^{x - 1}/₂ + ^π/₄.

Questa funzione è definita per quei valori di x tali che -1 ≤ ^{x - 1}/₂ ≤ 1, cioè per -1 ≤ x ≤ 3.