Funzioni: Appunti di Analisi matematica I

Esercizio: Dim che se B è limitato inferiormente allora

• s + inf A ⩾ inf(A+s)

1. s ⩽a ∀ a ∈A
2. ∀ s ⩽ a ∈ A εa,m

Osservato che S >0

posto ε = S = m

pa q2)* smsa ∈a ∈aε a: a >m a > ε

¹ s + (a - S ε ⩽ a + S>ε ∈

* menor. a ∈A

^if A s E, S ε S ∈

*inf A S E, E pτε picad dei minizaoif

FUNZIONI:

Def: Siamo A ε B insieme bcu vori. Si chiama funzione di

• domini A e coodimeno B, una velazione tra A ε B con la seguente prozieto
• ∀ a ε A(∃)(bεB): (a,b) ε f <->afb -> f(a) = b

es. A = B = R

f ⊆ R x R = x²

b uqu puna

R×R = scriozione deo prodotm cartasiano

0}

Def:

Data f, si chiama grafico di f:

Gf = {(a,b) ∈ A x B: f(a) = b} = sottoinsieme prodotto cartesiano A x B

f = G

f: A → B (f dominio A e codominio B)

a ↦ f(a) = (a, f(a))

es.

f: R → R

x ↦ f(x) = x² (ad ogni x del dom, qui el codominio)

se f: R → [-m,0] se f: R →

x ↦ f(x) = x² { nel codominio o no funzione (p. es →(dom) = f .5) semratory e sub-set produ cartesi)

funzione costante f: A → B

a ↦ f(a) = a se (a,a) ∈ f

f(x) = c ∀ x ∈ A

identità f: A → A

a ↦ f(a) = a ≤ < (a,a)∈f

inclusione: A funzione B = sottoinsieme

f: B → A

b ↦ f(b) = b (stessa legge di identità)

FUNZIONI MONOTONE

Def: Una funzione f: A ⊆ ℜ → ℜ si dice:

• Monotona strettamente crescente se x < y ⇒ f(x) < f(y) ∀ x,y ∈ A
• Strettamente decrescente se x < y ⇒ f(x) > f(y) ∀ x,y ∈ A
• Monotona debolmente crescente (non decrescente) se x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)
• Debolmente decrescente se x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)

Se f è strettamente crescente e invertibile, ⇒ f^-1 = f monotona è strett. crescente

QED

FUNZIONI ESPONENZIALI

Def: Sia a > 0. Si chiama esponenziale di base a la funzione:

• (R -> (0, +∞))_{prossimamente reale}
• exp_a(x) = a^x a^um

• (-∞, 0) x (-∞, 0)
• (-0, +∞)

• exp_acarn: R -> (0, +∞) x -> a^x = variabile all'esponente

Se a = 1 → è costante

Se a > 1 exp = 1

Se a < 1 se 0 < a < 1 exp_a è iniettiva => φ_a:(0, +∞) -> R 1/x x -> x^ixta

• Se a > 1

Osservazione: log_aA

Non log di numeri negativi

• Se a > 1

• Se 0 < a < 1

Proprietà log_a(xy) = log_ax + log_ay

∀a > 0, ≠ 1 ∀x, y > 0

log_a(x^y) = ylog_ax log_ab = log_ab ∕ log_aa log_1/ax = log_ay

• log_aa ^x = (\forall x\in R)
• alog_ax = x ∀x ∈ (0, +∞)

La funzione cotangente

cotg x = ^{cos x} / _{sin x} ∀ x . sin x ≠ 0 su

E = ℝ | \