Funzioni: Appunti di Analisi matematica I

Esercizio

Dire se S è limitato inferiormente allora ∃ s ∈ R : ∀ a ∈ S a ≥ s

• S è inf
• s ∈ a ∈ S

s ≤ a ∀ a ∈ S

• ∀ ε > 0 ∃ a ∈ S : a ≤ s + ε

Osservato che S ≠ ∅ posto ε = s - m. Da 2) - ∀ m < s ∃ a ∈ S : a > m = a 2) * ∀ ε > 0 ∃ a ∈ S : a > s - ε. a > s - ε q.e.d. a ∈ A s ≤ a m 1 inf A S è il più piccolo dei minoranti.

Funzioni

Definizione: Siano A e B insiemi non vuoti. Si chiama funzione di dominio A e codominio B una relazione tra A e B con la seguente proprietà:

• ∀ a ∈ A ∃! b ∈ B : (a, b) ∈ f

Osservato che S-infA, posto ε = S-m. Da 2) - ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A: a > S-ε. Quindi -*∀ ε > 0 ∃ a ∈ A: a se invertibile.

f : A^- B ^g- g: B^- A

Nota: Associatio dio è Dim.(^-): f è- Si o f(x = (y))

Funzioni monotòne

Definizione: Una funzione f: A ⊆ → R si dice:

• Monotòna strettamente crescente se x < y → f(x) < f(y)   ∀ x,y ∈ A
• Strettamente decrescente se x < y → f(x) > f(y)   ∀ x,y ∈ A
• Monotona debolmente crescente (non decrescente) se x < y → f(x) ≤ f(y) (può essere costante)
• Debolmente decrescente se x < y → f(x) ≥ f(y)

Se f è strettamente crescente e invertibile, → f^-1 = f monotona e strett. crescente. Q. e. d.

Funzioni elementari

Funzioni lineari da ℝ in ℝ. Funzione reale di variabile reale f: A ⊂ ℝ → B A ⊂ ℝ = variabile reale B ⊂ ℝ = reale. f(x) = mx m ∈ R. f: R → R x → f(x) = mx. u = 0 xy = f(x) u ≠ 0 retta → u.

Proprietà:

• Omogeneità ∀ x ∈ ℝ f(λx) = λf(x)
• Additività ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂)

Dim: f(λx) = mλx = λmx = λf(x) f(x) = mx + q m, q ∈ ℝ = funzioni affini (stesse proprietà di quelle lineari) q = f(0) f(x) = c c ∈ ℝ se f è iniettabile Ǝ f^-1 (f(x)) = x^-1 (c)↔ x = f^-1 (c).

Le funzioni affini sono invertibili se e solo se iniettive e suriettive m ≠ 0 se m > 0 allora f^-1 strettamente crescente e iniettiva se m < 0 allora f è strettamente decrescente e iniettiva f suriettiva se ∀ y ∈ ℝ A, R ∈ ℝ f: A ⊃ y ∈ A, A = R f¹ x y ∀ y ∈ ℝ Ǝ x ∈ Ɛ: mx + q = y f: R → R y = f(x) y = 4 - 9 + 4 y ≠ 4 y = 9 ↔ x = f^-1 (c) f^-1(f(x)) = x

Potenze ad esponente naturale

x⁰ = 1 x¹ = x x^m : xⁿ = x^m-n definizione per induzione

Proprietà: xⁿ ⋅ x^m = x^m+n, (x^m)ⁿ = x^m⋅n

se n = 2 f(x) = x² f(-x) = (-x)² = x² se n = 3 f(x) = x³ f(-x) = (-x)³ = -x³

Definizione: una funzione f: ℝ → ℝ si dice:

• Pari se f(-x) = f(x) ∀ x ∈ ℝ
• Dispari se f(-x) = -f(x) ∀ x ∈ ℝ

f(x) = x³ f₁: ℝ → ℝ f₂: ℝ → ℝ y → f₁^-1(y) = ∛y

Proprietà: f₁^-1(x) = ∛x ⇔ x ∀ x ∈ ℝ f(f₁^-1(y)) = y ⇔ (∛y)³ = y ∀ y ∈ ℝ f è invertibile.

se f(x) = x² { [0, +∞) : [0, +∞) } ↪ [0, +∞) restrizione x → f(x) = x²

f^-1: [0, +∞) → [0, +∞) y → f^-1(y) = √y f^-1(f(x)) = x ∀ x ∈ [0, +∞) ⇔ √x² = x ∀ x ∈ [0, +∞)

f(f^-1(y)) = y ∀ y ∈ [0, +∞) ⇔ (√y)² = y ∀ y ∈ [0, +∞)

Funzioni elementari

n ∈ N\{0, 1}, x ∈ R, x > 0 f(x) = xⁿ, f : R → R n = 2t + 1, k ∈ N → xⁿ è iniettiva f : R → R → dispari n = 2k, k ∈ N → xⁿ è suriettibile su [0, +∞)

∀ x ∈ R V → [0, +∞) → [0, +∞)

es. 1) x² = 2, x = ± √2

x³ ↘ f(x)(x - 1)-1. soluzione : x = 3√2

2) x² = 2 2 soluzioni: x₂ = √2 x₁ = -√2

Polinomi

n ∈ N\{0} P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a_n-1x^n-1 + a_nx^u

a_i = coefficienti reali: i = 1, … , n = a₀ + ∑ⁿ a_ixⁱ = ∑ⁿ a_ix = a₀(xⁱ … a_nx^u)* f(x) = xⁱ f : R\{0} → R x → x^t x⁰ → è definitivo

Funzioni razionali

R_(x) = P_(x) / Q_(x) P_(x), Q_(x): R → R / x ∈ R : Q_(x) ≠ 0 → R(x ∈ R : Q_(x) ≠ 0)

Es: R_(x) = 1 / x^(u) {N ∈ N {0}} = x^(-n) (potenza ad esp. negativo)

P₀(x) = a₀ = 1 Q_m(x) = x^(u) xⁿ p ∈ Z R: R \ N / x ∈ R : x^(u) x = 0 u-dispari u-pari x ≠ 0

Potenze ad esponente razionale

x^{(m / n)} m ∈ Z, n > 0 intero n ∈ N \ {0} 1 / f (p) f(x): [0, +∞) → [0, +∞)

se k ∈ K \ {0} se m = 1 x^{1 / n} = n√x

Potenza ad esponente reale

Siano α ∈ R x ∈ [0, +∞) x^r = {inf S_x : r S_x x ≤ t{sup S_x : r S_x x ≤ t

Proprietà: x^α x^β = x^{α + β} x^α/x^β = x^{α - β} α, β ∈ R

Funzioni esponenziali

Definizione: Sia a>0. Si chiama esponenziale di base a la funzione:

exp_a: ℝ → (0; +∞) x → exp_a(x) = a^x, qualsiasi numero reale

exp_a: (0; +∞) → (0; +∞) x → x^real ↑ equivalence funzione reale

Se a=1 è costante exp_a: ℝ → (0; +∞)

Se a>1 exp: ℝ → (0; +∞)

Se 0<a<1 exp: grafico: a^x → 0 per x → + ∞ (a^x)^y = a^{x * y}

Se a>0 e a≠1 exp_a è invertibile → phi_a: (0; +∞) → ℝ x → exp_a = log_a(x)

Osservazione: log_a ℝ log di numeri negativi ¬ log_a1=0

Se a>1 log_a(x log_a

Se 0<a<1 Proprietà: log_aa^x = x ∀x ∈ ℝ a^log_ax = x ∀x ∈ (0,+∞)

Proprietà: log_a(xy)=log_ax+log_ay log_ax^y = y log_ax log_ab = log_bb / log_ba log_a(1 / y) = - log_ay

Equazioni algebriche

ax + b = 0, a ≠ 0 S = {x ∈ ℝ: ax + b = 0} = { = -^b∕_a}

ax + b = 0 ⇔ ax = -b ⇔ x = -^b∕_a

Disequazioni

ax + b > 0, a ≠ 0 S = {x ∈ ℝ: ax + b > 0}

ax + b > 0 ⇔ {{x > -^b∕_a se a > 0} ⇒ S = {x ∈ ℝ: x > -^b∕_a} = {^-b∕_a, ∞}{x b∕_a se a b∕_a} = {∞, -^b∕_a}

Equazioni di secondo grado

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 S = {x ∈ ℝ: ax² + bx + c = 0}

a(^{x2 + b∕a x + c∕a}) = 0 = a[^{(x + b∕2a)2 + c∕a - b2∕4ac}] = a[^{(x + b∕2a)2 - b2-4ac∕4ac}]

Δ = b² – 4ac ⇒ se Δ ⇒ se Δ = 0: S = {^-b∕_2a} ⇒ se Δ > 0: S = a[ (x + ^b∕2a – √^Δ∕2a) (x + ^b∕2a + √^Δ∕2a)] S: {x = ^{-b ± √Δ}∕_2a}

Significato geometrico f(x) = ax² + bx + c = 0 a > 0

Funzioni circolari o trigonometriche

Periodiche: Sia T>0 e A ⊂ R, tale che x ∈ A ⇒ x+T ∈ A

Sia B ≠ ∅ una funzione f: A ⊂ B si dice periodica di periodo T>0 se:

• f(x+T) = f(x) ∀ x ∈ A,

Si ha anche: x+2T ∈ A, f(x+2T) = f(x) = f(x) Se x+kT ∈ A, f(x+kT) = f(x) ∀ x ∈ R,k ∈ Z f è periodica di periodo kT ∀ k ∈ Z

Seno e coseno In ℝ² C = {(x,y) ∈ ℝ² : x² + y² = 1 } → circonferenza C(0) ∈ R: 1 funzione ρ: ℝ → ℝ² con:

• ρ(0) = (1,0)
• x ≠ 0 ar(x): parte di (0,x) nel verso orario

ρ è periodica di in 2π. Siccome C = 2π, allora ρ(x) = ρ(x + 2π) ∀ x ∈ ℝ,

ρ₁: ℝ → ℝ, le due coordinate di ρ, per ogni x si ha ρ(x) = (ρ₁(x), ρ₂(x)), ρ₁ è COSENO = COS x ρ₂ è SENO = SIN x

Identità fondamentale: COS² x + SIN² x = 1 ∀ x ∈ ℝ

Grafico di Sin x Grafico di Cos x SIN e COS x assumono tutti i valori compresi tra -1 e 1 sono periodiche di periodo 2π COS(-x) = COS x - f. pari SIN(-x) = -SIN x - f. dispari

Relazioni Seno-Coseno:

• sinx = cos ( x⁺π/2 ) = cos ( π/2 - x )
• cosx = sin ( π/2 - x )

Formule duplicazione:

• sin(2x) = 2sinx cosx
• cos(2x) = cos²x - sin²x

Bisezione:

• sin²x = 1 - cosx / 2
• cos²x = 1 + cosx / 2

Formula di addizione:

• sin(x + y) = sinx cosy + siny cosx
• cos(x + y) = cosx cosy - sinx siny

Formula di sottrazione:

• sin(x - y) = sinx cosy - siny cosx
• cos(x - y) = cosx cosy + sinx siny

Seno e coseno non sono né iniettive né suriettive: cos(R) = sin(R) = [-1, 1], periodiche. Si possono però considerare le funzioni inverse:

• cos [0, π] : [0, π] -> [ -1, 1 ] è iniettabile f: Arccoseno arccos x = (cos [0,π] , [ -1, 1 ] -> [0, π])
• sin [ -π/2 , π/2 ] : [ -π/2 , π/2 ] -> [ -1, 1 ] f: Arcsin arcsin x = (sin [ -π/2 , π/2 ] , [ -1, 1 ] -> [ -π/2 , π/2 ])

arccos (cos x) = x x ∈ [0, π] arcsin (sin x) = x x ∈ [ -π/2 , π/2 ]

Equazioni con seno e coseno

cosx = a ⇔ può essere soddisfatta se a ∈ [-1, 1] ⇒ |a| > 1 ⇔ se a ∈ [-1, 1] : S = arccos a + 2kπ arccos a + 2kπ (k ∈ ℤ)

sinx = a ⇔ a ∈ [‒1, 1] S = arcsin a + 2kπ arcsin a + 2kπ (k ∈ ℤ)

cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ k ∈ ℤ

sinx = 0 ⇔ x = kπ k ∈ ℤ

Tangente e arctangente

tgx = sinx / cosx ∀ x: cosx ≠ 0 se D = ℝ\ { π/2 + kπ k ∈ ℤ } la tangente è periodica di periodo π → tgx = tg(x + π) ∀ x ∈ D tg(0) = ℝ:

tg x|_−π/2^π/2 = ] −π/2 π/2 [ → ℝ è invertibile arctgx = tg^{[−π/2, π/2]} |R → ]−π/2π/2[= funzione diparati grafico di tangente grafico di arctangente