Formule per parte teorica di Fluidodinamica - (prof. De Tullio)

CONS. DELLA MASSA

∫_V₀ ^∂ρ/_∂t dV + ∫_S₀ ρû·n̂ dS = 0

^∂ρ/_∂t + ∇·(ρu̅) = 0 ⟷ ^Dρ/_Dt + ρ·∇·u̅ = 0

CONS. DELLA QDM

∫_V₀ ^∂ρu̅/_∂t dV + ∫_S₀ ρu̅u̅·n̂ dS = ∫_S₀ -p I̿·n̂ dS + ∫_S₀ n̂·m̂ dS + ∫_V₀ ρg dV

^∂ρu̅/_∂t + ∇·(ρu̅u̅) = -∇p + ρg + ∇·τ̿ + ρf

ρ ^Du̅/_Dt = -∇p + ∇·τ̿ + ρf

CONS. DELL’ENERGIA

∫_V₀ ^∂ρϵ/_∂t dV + ∫_S₀ ρϵu̅·n̂ dS = ∫_S₀ (-p I̿·n̂)·u̅ dS + ∫_S₀ (n̂·m̂)·u̅ dS + ∫_V₀ ρpu̅ dV + ∫_V₀ ρϕ dV + ∫_V₀ ρq̇ dV + ∫_S₀ λ∇T·n̂ dS

^∂ρϵ/_∂t + ∇·(ρϵu̅) = -∇·(pu̅) + ∇·(τ̿·u̅) + ρϵ̇ + ρq̇ + ∇·(λ∇T)

ρ ^Dϵ/_Dt = -∇·(pu̅) + ∇·(τ̿·u̅) + ρϵ̇ + ρq̇ + ∇·(λ∇T)

SISTEMI APERTI

ṁ [^|u̅|²/₂ + gz + ϵ + ^p/_ρ]_OUT - [^|u̅|²/₂ + gz + ϵ + ^p/_ρ]_IN = L̇ + Q̇

SISTEMI CHIUSI

ṁ [ [^|u̅|²/₂ + gz + ϵ]_OUT - [^|u̅|²/₂ + gz + ϵ]_IN ] = ΔL + ΔQ

CONS. ENERGIA CINETICA

ρ D [ ^|u̅|²/₂ ]/Dt = - [ ∇p I̿·u̅ + ∇·(τ̿·u̅) + ρ I̿·u̅ ]

CONS. ENERGIA INTERNA

ρ ^Dϵ/_Dt = - ρ(∇·u̅) + τ̿·E̿ + ρϵ̇ + ∇·(λ∇T)

CONS. DELLA MASSA

∫_V0 ^∂ρ/_∂t dV + ∫_S0 ρu . ^n dS = 0

^∂ρ/_∂t + ∇.(ρu) = 0 ⇔ ^Dρ/_Dt + ρ.∇.u = 0

CONS. DELLA QDM

∫_V0 ^∂ρu/_∂t dV + ∫_S0 ρuu . ^n dS = ∫_S0 -p ^n . ^n dS + ∫_V0 ρ_f dV

^∂ρu/_∂t + ∇.(ρuu) = -∇p + _g + ρ_f

ρ ^Du/_Dt = -∇p + _g + ρ_f

CONS. DELL'ENERGIA

∫_V0 ^∂ρe/_∂t dV + ∫_S0 ρu.^ndS = ∫_S0 (-p^n.^n.u dS) + _g0(^n.u dS) + ∫_V0 ρ_fudV + ∫_V0 ρ_fdV +

+ ∫_S0 λ∇T.^n dS

^∂ρe/_∂t + ∇.(ρeε+u) = ∇.(ρu) + ∇.(ρ_f.u) + ρ_f.u + ρ_f.u + _f.u) +∇ρ_f + ρ_f.u +∇.(ΔT)

SISTEMI APERTI

ṁ [ (^|u|2/₂ + gz + ρ) _out - (^|u|2/₂ + gz + ρ) _in ] = L'. + Q̇

SISTEMI CHIUSI

ṁ [ (^|u|2/₂ + gz + ρ) _out - (^|u|2/₂ + gz + ρ) _in ] = ΔL + ΔQ

CONS. ENERGIA CINETICA

ρ [ ^|u|2/₂ ] = -__(∇p) + ∇.(_f.u) + ρ_f.u

CONS. ENERGIA INTERNA

∫_|^{De_f˙`/_dt = -ρ(∇eε) +}

Bilancio Entropia

_{ρ T} ^DS/_Dt = _z ^E + φ| + ∇ . (λ ∇T)

Relazione Costitutiva per Fluidi Newtoniani

_t = -²/₃ μ (∇ . u) ₁ + 2 μ E

Equazione di Navier-Stokes

_J ^∂ū/_∂t + ∇ . (ρ ū ū) = -∇ p + ¹/₃ μ ∇ (∇ . ū) + μ ∇² ū + ρ f

J ^∂ū/_∂t + ∇ . (ρ ū ū) = -∇ p + ∇_t ū + ρ f

Equazione di Bernoulli attraverso la Q.D.M.

∇ (ĥ _ū²/₂ + ^p/_ρ + C) = -ū x ū

Teorema di Crocco (Flusso comprimibile)

∇(ĥ ln _ū²/₂ + C) = T ∇ S - ū x ū

Soluzioni Esatte di Navier-Stokes

Piastre Ferme

u_x(y) = ¹/_2μ ^3p/_3x (y² - γ L y)

u_{x MAX} = ¹/_8μ ^3p/_3x l²

u_{x MEDIA} = ¹/₁₂ ^3p/_3x l² = ²/₃ u_{x MAX}

Flusso di Couette

u_x(y) = ¹/_2μ ^3p/_3x (y² - ηy) ³/_3y

η = γ - y

Hagen-Poiseuille

∇u_x(r) = ¹/_4μ ^3p/_3x (R² - r²)

u_{x MAX} = ¹/_8μ ^3p/_3x R²

u_{x MEDIA} = ¹/_4μ ^3p/_3x R² = u_{x MAX}/₂

Equazioni di Prandtl