Metodi iterativi per equazioni non lineari
Newton-Raphson
Il metodo di Newton-Raphson è definito dalla formula: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] Nel caso di radici multiple, il metodo di Newton-Raphson ha un ordine di convergenza pari a 1. Per ripristinare la convergenza quadratica, occorre utilizzare il metodo di Newton modificato.
Newton modificato
Il metodo di Newton modificato è dato da: \[ x_{n+1} = x_n - r \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] dove \( r \) è la molteplicità delle radici, ovvero il grado della prima derivata non nulla.
Tangente fissa
La formula per la tangente fissa è: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_0)} \] Se il metodo converge, allora \[ |1 - \frac{f'(x_n)}{f'(x_0)}| < 1 \]
Punto fisso
Nel metodo del punto fisso: \[ x_{n+1} = g(x_n) \] La soluzione dell'equazione viene fatta coincidere con il punto fisso di una funzione \( g \). La condizione di convergenza è: \[ |g'(x)| < 1 \]
Secante variabile (o Regula Falsi)
Il metodo della secante variabile si esprime con: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)(x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \] L'ordine di convergenza è superlineare e pari a 1.618.
Interpolazione
Lagrange
La formula di Lagrange per l'interpolazione è: \[ P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x) \] dove \( L_i(x) \) sono i polinomi di Lagrange. Vedi "regola del paron".
Polinomio di Newton
Il polinomio di Newton è dato da: \[ P(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \ldots \] dove gli \( a_i \) sono calcolati usando le differenze divise.
Approssimazione ai minimi quadrati
Il metodo di approssimazione ai minimi quadrati minimizza gli scarti verticali: \[ \sum (y_i - ax_i - b)^2 \] Si ottiene la retta di regressione lineare: \[ y = ax + b \]
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