Geotecnica: Formulario

Rapporto tra volumi

V_v / V_totv = V_s / V_s = 1 + ee = V_v / V_sS_r = V_vw / V_v

Rapporto tra pesi

w = P_w / P_s

Rapporto tra pesi e volumi

γ = P / Vγ_s = P_s / V_sγ_w = P_w / V_vwγ_d = P_s / Vγ_d = γ / 1 + wγ_d = γ_s / 1 + e

Altre formule

S_r = w γ_s / eS_r = γ_s w / γ_d · eγ_vw = γ

Classificazione terreni

0,002 mm → 60 μm → 2 mm → 60 mm

• Argille
• Limiti
• Sabbie
• Ghiaie

Limiti di Atterberg

• 𝑛: Stato solido
• 𝑙_P: Stato plastico
• 𝑙_L: Stato liquido

I_P = 𝑙_P - 𝑙_L

I_C = (w_L - w) / I_P

ω = I_P / C_F

D₁₀ = (e_max - e) / (e_max - e_min) > 25% "Consistenza"

Tra 5, 15: Debour 0,5

Tra 15, 25, 0,5

Rapporto tra volumi

n = V_s / V_TOTe = V_v / V_sv = V_v / V_s = 1 + eS_r = V_w / V_v

Rapporto tra pesi

w = P_w / P_s

Rapporto tra pesi e volumi

γ = P / Vγ_s = P_s / V_sγ_w = P_w / V_wγ_d = P_s / Vγ^' = γ_d - γ_w

Altre formule

S_r = wγ_s / eS_r = γ_s w / γ_deγ_u = γ / 1 + wγ_d = γ_s / 1 + e

Classificazione terreni

0,06μ     2,000μ     60,000μ

• Argille
• Limi
• Sabbie
• Ghiaie

0,0001 mm                    0,06 mm                    2 mm                      60 mm

Limiti di Atterberg

I_P = W_P - W_L

I_C = W_L - W_P / I_P

ω = I_P / C_F

D₁₀ = e_max - e_min / e_max - e

>25% → “CON”

TRA 15%…TRA 5,1%

…DEBOLE …0,5%

Comportamento meccanico terreni

p = _{σo + 2σz}/3p' = p - uε_ω = ₁/_E [ σ_ω - ν σ_z ]ε_v = _σv/_Eν = - _Eεz/_εωq = σ_ω - σ_zq' = q = σ_ω - σ_zε_z = ₁/_E [ σ_z - ν ( σ_ω + σ_z) ]ε = ε_ω + 2ε_zG = _E/_{2 (1 + ν)}K = _E/_{3 (1 - 2ν)}

Tensioni litostatiche ed efficaci

σ_v = γ Zσ_ω = σ_ω' + uE_d = _Δσω'/_Δεωσ_ω' = σ_ω - uk_o = _ν'/_{1 - ν'}σ_ω' = k_oσ_vU = γ w Z

Permeabilità e moti di filtrazione

• V = _Q/_t
• Q = _V/_t

|Q| = _{KA Δh}/_Li = _Δh/_Lv = - K i-(_∂vx/∂x + _∂vy/∂y + _∂vz/∂z) = 1/_{Vo ∂v/∂t∂vx/∂x} + _∂vy/∂y + _∂vz/∂z = 0_∂h/∂x k_x + _∂h/∂y k_y + _∂h/∂z k_z = 0_{∂²h/∂x²} + _{∂²h/∂y²} + _{∂²h/∂z²} = 0

Moto bidimensionale

_∂h/∂x² + _∂h/∂y² = 0Δh_i = ΔH_TOT/m_sq_i = -K a_i Δh_i/b_iq_i = -K a_i/b_i m_T/m_s ΔH_TOTQ_TOT = m_T q_i

Sifonamento

i_CR = γ/γ_wi_ES = ΔH/Lσ_V = ν ⇒ _∠v = 0E_iCR/iES ≥ 1,5E_{σV / μ}

Filtrazione monodimensionale regime transitorio

- \(\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} = \frac{1}{V_0} \frac{\partial v_x}{\partial t}\)

\(\frac{K}{\gamma_w}\frac{\partial^2 \overline{u}}{\partial z^2} = \frac{\partial \overline{u}}{\partial t} \frac{1}{E_{ed}}\)

\(C_v \frac{\partial^2 \overline{u}}{\partial z^2} = \frac{\partial \overline{u}}{\partial t}\)

\(C_v = \frac{K \: E_{ed}}{\gamma_w}\)

\(\overline{u} = \left(\frac{\overline{u}_0 - \overline{u}(z,t)}{\overline{u}_0}\right) \cdot 100\)

\(\int_0^{2H} \overline{u}_0 \: dz\)

\(t_{cg} = \frac{T \cdot H^2}{C_v}\)

\(\overline{u} = \frac{w(t)}{w_{\infty}}\)

Opere di sostegno

σ_hav = -2c √K_av + γ' K_avσ_hp = 2c √K_p + γ' K_pσ_hav = -2c_w + γ_wσ_hp = 2c_w + γ_wc = c_wσ_hav = -2c √K_av + γ' K_avσ_hp = 2c √K_p + γ' K_pS_av = -2c √K_avH + ½ γ K_av H²

K_av < K_o / K_pK_o = 1 - sen φ / 1 + sen φK_p = 1 / K_oσ_hav = σ_ho + ωσ_hp = σ_hp + ωα = c + γ' tg φ' φ = 30°K_av = 0.33K_p = 3σ_hp ≈ 10 σ_havφ₁ > φ₂35°      30°K_av1 < K_av20.27         0.33K_p1 > K_p23.7           3

Muro di sostegno

• Verifiche: Traslazione, Ribaltamento
• Opera: Corpo infinitamente rigido, Mezzo elastico
• Terreno: Mezzo rigido, Plastico perfetto, Mezzo elasto-plastico perfetto

Traslazione

T_max > S_ou

T_max = t_max · B · lB.T. CNDt_max = α · C_mvα ≤ 1L.T. CDt_max = P_muro · tg δδ ≤ φ

Ribaltamento

M_s > M_r

Paratie

Il cinematismo di rottura di una paratia è una rotazione attorno ad un punto prossimo alla base. Non considero l'estremo inferiore perché altrimenti non risulterebbe verificato o il ribaltamento o la traslazione.

Condizioni drenate

_Ka ^(H+d₀)2R_p = ¹/₂ k_p^* γd₀^2E/_{kp (H+d0)³>1,5Ka} ^(H+d₀)3 = ^{k_p d₀3}/_1,5KO→_Ka Gli spostamenti devono essere _H/₁₀₀₀→_Kp Gli spostamenti devono essere _H/₁₀₀

Condizioni non drenate

C_u = COSTϕ = COSTu = 0H_c è in trazione! Lo ricavo da: -2c_u + ϒH_c = 0H_c = ^2c_u/_ϒ

Tuttavia per questioni di sicurezza non considero il tratto in trazione. C_u^* = ^C_u/_F1.5 C_u ridotta

Fondazioni superficiali

TGF rottura generalizzata TGG punzonamento q_LIM = cN_c + γD N_q + γ₂B/2 N_γ q'_LIM = c'N_c + γ'D N_q + γ'B/2 N_γ q'_LIM = c'N_c + γDN_q + γ'B/2 N_γ q_LIM = c_wN_c + γDCALCOLO DEI CEDIMENTI

1 - Metodo elastico

SEMISPAZIO ELASTICOε_z = ¹/_E [ Δσ_z - ν (Δσ_x + Δσ_y) ]w_z = ∫₀^H ε_z dz = ∫₀^{H 1}/_E [ Δσ_z - ν (Δσ_x + Δσ_y) ] dzw CAMBIA A SECONDO DEL CASO T.E. O T.T.T.E.w_c = ∫₀^{H 1}/_Ew [ Δσ_z - ν (Δσ_x + Δσ_y) ] dzT.T.w_c0 = ∫₀^{H 1}/_Ew [ Δσ_z - ν_w (Δσ_x + Δσ_y) ] dzNEI TERRENI A G.G. Δσ_x e Δσ_y DANNO UN CONTRIBUTO MODESTO RISPETTO A Δσ_z IN PIÙ ν => 0,15 ÷ 0,20 QUINDI AVRÒw = ¹/_Ei ∫ Δσ'_z dz

2 - Metodo edometrico

CONDIZIONI EDOMETRICHEε_v = ε_zε_z = Δσ_z / E_ed→ Δσ_z = Δσ_zw = ∫₀^H Δγ'v / E_ed dν_z = ∫₀^H Δe / 1+e_o c_sc log (1 + Δγ'v / γ'v_o) dν_z→ ε_z = ε_v = Δe / 1+e_oe = e_o - C_sc log (1 + Δγ'v / γ'v_o)T.G.G.w = Σ_i=1ⁿ [Δγ'v,i / E_ed,i] Δz_i→ SPESSORE STRATO i-ESIMOT.G.F.w = Σ_i=1^{m [Δe_i / 1+e_o A_c,sc log (1 + Δγ'v,i / γ'v_o)] Δz_in = NUMERO DI STRATI→ TENERE CONTO DEL Δt EROSIONE PER VALUTARE C_c - C_sIL METODO EDOMETRICO PUÒ ESSERE USATO IN CONDIZIONI NON IDEALI, OVVIAMENTE CON OPPORTUNI ACCORGIMENTIDI NORMA W₀ = 0 → cond. edometricheIN REALTÀ W₀ = d W_edαTERRENO NCα = 0,1W_co = 0,1 W_edW_e = W_edW_co = W_edTERRENO SCα = 0,3W_co = 0,3 W_edW_e = 0,7 W_edW_co = W_ed}

3. Metodo Skempton - Bjerrum

Il metodo elastico è facile ma non considera W₀. Il metodo edometrico trova facilmente W₀

W₀ = ^9B/_E II = (1-⁴/_B) - ℓ

W_c = β W_solΔw = B [Δu₃ + A (Δσ_TN - Δγ₃)] W_c = ∫₀^H ε_{Z cons.} dz

COND. EDOMETRICHE Δγ₃ = Δγ_A ν = 0,5 β = 1

COND. NON EDOMETRICHE A = = ^/3 > ^/3 MATERIALE NC A=0,5 ÷ 1 /3 MATERIALE SC A=0,3 ÷ 0,4

Fondazioni profonde - Pali

q_LIM = P_p + P_L

Punta

P_p = cN_c + γL N_qCND v_c = c_m γ = 0 N_c = 8 ÷ 12 N_q = 1P_p = 3c_w + γLCD c’ = c + v’ tgϕ’P_p = c’N_c + σ’_v N_q

Laterale

P_L = γD ∫₀^L S_max dv_zCND S_max = α C_w0 ≤ α ≤ 1 IN BASE AL MATERIALECD S’_max = S_max = σ’h tgδσ’h = K σ’_v K TABBELLATOδ ≤ ϕ

Pendii

Cinematismi di rotazione, Traslazione, Calamenti, Scorrimento con deformazione, Frana o colaterapido trasporto di materiale lapideo TGG. Oppure terreno che si comporta come un liquido

Metodo delle strisce

T_x = w sen β = N tg βR_r = N tg ϕ′T_r = N tg ϕ′^TN tg β

Coefficiente di sicurezza

Essendo le strisce tutte uguali gli sforzi tra striscia e striscia si annullano a vicenda. Per essere in sicurezza β -> con acqua^F = tg β′^F = tg β′γ′ = 0.5

Quindi F si dimezza ma il problema risiede nelle pressioni generate dall’acqua