Formulario completo statistica - Prof Gigliarano

Grafico della curva di Lorenz → ANALISI BIVARIATA

Tabella di frequenza assoluta a X\Y

Y FAMC xdoppia entrata X n ...RFAM ... NY X = x e Y=yFrequenza assoluta congiunta n i jPopolazione R C n∑ ∑N iji=1 j=1Frequenze assolute marginali CN = n∑FAM i⠂ ijX j=1RN =FAM n∑⠂jY iji=1Tabella con frequenze relative X\Y Y fC i⠂congiunte a doppia entrata X f fR R⠂f f 1⠂j ⠂CFrequenze relative marginali CF = f∑FRM i⠂ ijX j=1RF =FRM f∑⠂jY iji=1Indipendenza statistica f = f × fMetodo 1 X e Y sono SI se ⠂ji⠂f nMetodo 2 Frequenze condizionate f = =ij iji|jrelative di X dato Y f n·j ·jFrequenze condizionate f nf = =ij ijj|irelative di Y dato X f ni· i·f = FRM = fMetodo 3 X dato Y i|j x i⠂f = FRM = fY dato X ⠂jj|i YDipendenza statisticaMassima dipendenza Ad un valore di X è associato 2χ = 1un solo valore di Y o viceversa 1. Verificare la dipendenzaIndice Chi-quadro 2. Tabella delle frequenzeteoriche3. Tabella

delle contingenze^2χ

4. Indice chi quadro

5. Estremi di chi quadro

6. Chi quadro normalizzato

︿ f × f

Tabella delle frequenze teoriche f ⠂ji⠂ij ni⠂× n⠂j︿nij Nf -

Tabella delle contingenze ︿f ijC n - ︿nij

Chi-quadro R C 2C ij∑ ∑ ︿f iji=1 j=1

χ R C 2C ij∑ ∑ ︿niji=1 j=1

Estremi di con R = n° di righe e C = n° di colonne

2 2χ 0 ≤ χ ≤ min {R 1; C 1}− −

Chi-quadro normalizzato 2 2χ χo20 ≤ χ ≤ 1 min{R 1; C 1} N ×min{R 1; C 1}− − − −

Covarianza COV N(X,Y) 1 (x M ) × (y M )∑ − −x yi iN i=1 N1M - (M × M ) M =→ (x × y )∑xy x y xy i iN i=1

Misura l’associazione lineare N1 (x M ) × (y M ) × n∑ − −x yi i ijN i=1N1 (x M ) × (y M ) × f∑ − −x yi i ijN i=1

Coe ciente di correlazione COV (x,y)1 ≤ ρ ≤ 1− xy δ ×δx y

Analisi di regressione lineare

(solo per x e y quantitativi)
Variabile che si vuole spiegare Y attraverso X
Retta dei minimi quadrati COV︿ (x,y)β = 2δ︿ ︿ x︿Y = α + β x ︿︿α = M β · M−y xSSRCoe ciente di determinazione SSTSSE1−2R SST2[ρ ](x,y)Devianza totale N 2SST (y M )∑ − yii=1Devianza spiegata N 2︿SSR (y M )∑ − yii=1Devianza residua N 2︿SSE (y y )∑ −i ii=1
VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
Probabilità Funzione di densità pn
Valore atteso
Varianza
Trasformazioni di variabili E(Y) = a + b * E(X)
Y = a+bX 2Var(Y) = b * var(X)
Variabile aleatoria standardizzata = unità di scarto quadratico medio utile a Z = a + bX
confrontare variabili casuali con distribuzioni differenti
VARIABILI ALEATORIE CONTINUE
Probabilità 1F(x) = Distribuzione uniforme o rettangolare
Denominazione a, b RX ~ U [a, b] ∈
Funzione di densità f(x)
Media E(x)
Varianza δ x
Funzione di ripartizione F(x) regre
Distribuzione

esponenziale negativa

Denominazione λ>0

X ~ esp(λ)

Funzione di densità f(x)

Media E(x)

Varianza δ x

Funzione di ripartizione F(x)

Distribuzione normale (o Gaussiana) 2 e2

Denominazione δ > 0

M (− ∞,+ ∞)

X ~ N (M , δ ) ∈

Funzione di densità f(x)

Media E(x) M22

Varianza δδ x

Distribuzione normale standardizzata 2e

Denominazione M = 0 δ = 1

Z ~ N (0, 1)

Legame

Funzione di densità f(z) usando le tavole

Funzione di ripartizione F(x)

Simmetria Due variabili aleatorie w = ax + by + c→

Media E(w)

Varianza 2δ w

STIMATORI

Stimatore della media campionaria

Formula generale Per qualsiasi popolazione

Teorema Centrale del Limite

Formula standard - Per n>30 se varianza nota- Per n>50 se varianza non nota

Il valore atteso dello stimatore

fornisce in media una stima uguale

Proprietà alla media della popolazione

Varianza dello stimatore

Errore standard dello stimatore

Stimatore della varianza campionaria

Per qualsiasi popolazione (tranne quella normale), la formula generale per la formula standard è:

Formula standard: Per popolazione normale, il valore atteso dello stimatore fornisce in media una stima uguale alla varianza della popolazione.

Stimatore della proporzione campionaria: Per qualsiasi popolazione, la formula generale bernoulliana (variabili qualitative) è utilizzata.

Teorema Centrale del Limite: Formula standard per n>50.

Il valore atteso dello stimatore fornisce in media una stima uguale alla proporzione della popolazione.

Proprietà: Varianza dello stimatore.

PROPRIETÀ DI UN BUON STIMATORE

Uno stimatore puntuale T si dice corretto per il parametro quando il suo valore medio coincide con il valore del parametro da stimare. ΘE(T) = Θ

Se tale uguaglianza non si verifica, si avrà distorsione o bias dello stimatore, definita come differenza tra la sua media e Θ. Correttezza / non distorsione BIAS(T,Θ) = E(T) - Θ

Uno stimatore puntuale è asintoticamente non

distorto se la differenza tra il valore atteso dello stimatore e il parametro oggetto di stima diminuisce al crescere dell'ampiezza del campione (varianza).

E(T) = per n +∞Θ →

Nel confronto non distorti per uno stesso parametro, si dice stimatore più efficiente in assoluto quello che ha la varianza più piccola.

Si misura con l'errore quadratico medio:

2EQM(T,Θ) = E[(T-Θ) ]

SE cienza relativa 2EQM(T,Θ) = [E(T) - + Var(T)Θ]

Var(T) decresce al crescere della numerosità del campione.

INTERVALLI DI CONFIDENZA

Livello di significatività α

Intervalli di confidenza per la media di una popolazione distribuita normalmente

Margine di errore

Varianza nota Lunghezza (L) o ampiezza (w) 2*ME n ricavata

Varianza NON nota Margine di errore

Lunghezza (L) o ampiezza (w) 2*ME

Grandi campioni n ricavata

Intervalli di confidenza per la differenza tra medie di una popolazione distribuita normalmente

Varianza nota

Varianze

uguali ma NON note 2S pooled 2Intervalli di confidenza per la varianza di una popolazione distribuita normalmente (χ )Distribuzione Chi-quadrato VERIFICA DI IPOTESIIpotesi nulla H Rispecchia la situazione prima dell'osservazione campionaria0Ipotesi alternativa H Nuova rilevazione1 Valori campionari che implicanoRegione di accettazione di H l'accettazione dell'ipotesi nulla0Test statistico Valori campionari che implicano ilRegione di rifiuto di H rifiuto dell'ipotesi nulla0H vera H vera0 1Accetto H Nessun errore Errore del 2° tipo (β)0Rifiuto H Errore del 1° tipo (α) Nessun errore0Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione distribuita normalmente - varianza notaTest statistico da utilizzare(tavole distribuzione normale)Sistema di ipotesi Rifiuto H se0Unilaterale a destraH μ ≤ μ Z > z→0 0 1-αH μ > μ→1 0Unilaterale a sinistraH μ ≥ μ Z < -z→0 0 1-αH μ < μ→1

<h2>Bilaterale (o a due code)</h2> <p>Z > zH μ = μ 1-α/2→ Z < -z0 0H μ ≠ μ 1-α/2→1</p> <h2>Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione distribuita normalmente - varianza NON nota</h2> <p>Test statistico da utilizzare(tavole distribuzione Student)</p> <h2>Sistema di ipotesi</h2> <p>Rifiuto H se</p> <ul> <li>Unilaterale a destra</li> <ul> <li>H μ ≤ μ→0</li> <li>H μ > μ→1</li> </ul> <li>Unilaterale a sinistra</li> <ul> <li>H μ ≥ μ→0</li> <li>H μ < μ→1</li> </ul> <li>Bilaterale (o a due code)</li> <ul> <li>H μ = μ→0</li> <li>H μ ≠ μ→1</li> </ul> </ul> <h2>Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione generica</h2> <p>VARIANZA NOTA (n≥30) VARIANZA NON NOTA (n≥50)</p> <h2>Sistema di ipotesi</h2> <p>Rifiuto H se</p> <ul> <li>Unilaterale a destra</li> <ul> <li>H μ ≤ μ Z > z Z > z→0 0 1-α 1-α</li> </ul> <li>Unilaterale a sinistra</li> <ul> <li>H μ ≥ μ Z < -z Z < -z→0 0 1-α 1-α</li> </ul> <li>Bilaterale (o a due code)</li> <ul> <li>H μ = μ Z > z Z > z→0 0 1-α/2 1-α/2</li> <li>H μ ≠ μ Z > z Z > z→0 0 1-α/2 1-α/2</li> </ul> </ul>

μ→1 0 Verifica di ipotesi su una proporzione

Test statistico da utilizzare (tavole distribuzione normale)

Sistema di ipotesi

• Rifiuto H se 0
• Unilaterale a destra
• H p ≤ p Z ≥ z→0 0 p 1-α
• H p > p→1 0
• Unilaterale a sinistra
• H p ≥ p Z ≤ -z→0 0 p 1-α
• H p < p→1 0
• Bilaterale (o a due code)
• Z ≥ zH p = p p 1-α/2→ Z ≤ -z0 0
• H p ≠ p p 1-α/2→1 0

Verifica di ipotesi sulla differenza tra medie di una popolazione distribuita normalmente - varianza nota

Test statistico da utilizzare (tavole distribuzione normale)

Sistema di ipotesi

• Rifiuto H se 0
• Unilaterale a destra
• H μ -μ ≤ μ Z > z→0 1 2 0 1-α
• H μ -μ > μ→1 1 2 0
• Unilaterale a sinistra
• H μ -μ ≥ μ Z < -z→0 1 2 0 1-α
• H μ -μ < μ→1 1 2 0
• Bilaterale (o a due code)
• Z > zH μ -μ =