Fni e limiti in più variabili

FINE DI PIU VARIABILI

f: E ⊆ Rⁿ→ R

E = dominio luogo dei pt. in cui la f.ve ϵ ben definita

E ϵ aperto cu n Eⁿ

f(x) ≥ 0 f. si dice positiva

f(x) < 0 f. si dice negativa

Dato una retta r nello spazio Rⁿ, scriviamo in forma parametrica

π(t) = {: x₀ + t v

con t ϵ R

v ϵ E

Definiamo f_π(t) la restrizione di f alla retta π : f_π(t) = f(x₀ + t⋅v) : tϵ(-δ δ) con δ>0

ESEMPIO:

f(x,y) = x² - y²

π:{x(t) = t⋅v₁

y(t) = t⋅v₂

f_π(t) = t² [v₁² - v₂²]

fissati v₁ e v₂ quale è il greafico della f.ve?

una parabola per f(t)

v₁² ≥ v₂²

(|v₁|>|v₂|)

v₁² = v₂²

(v₁ = ±v₂)

v₁² < v₂²

f: E ⊆ Rⁿ → R

E = dominio luogo dei P.ti in cui la f.ve è ben definita

E grafo su Rⁿ

f(x) ≥ 0 f si dice positiva

f(x) ≤ 0 f si dice negativa

se f è una Lce undefined di polinomi si dicono z.poi di continuità

data una retta r nello spazio Rⁿ, scriviamola

in forma parametrica π(t) = x₀ + t ⋅ v¹

con t ∈ R

x₀ ∈ E

definiamo f_π(t) la restrizione di f alla retta π:

f_π(t) = f(x₀ + t ⋅ v) t ∈ (-δ δ) con δ > 0

ES: f(x, y) = x² - y²

x(t) = t ⋅ v₁

y(t) = t ⋅ v₂

f_π(t) = t² [v₁² - v₂²]

fissati v₁ e v₂ quale è il garafo della f.ve?

una parabola

f_π(t)

v₁² < v₂²

C_k = {x ∈ ℝ² | f(x) ≤ k}

• f(x,y) = e^|x| / e^|y| - Traccia di curve di livello
• C_k ∈ ℝ² - e^|x| / e^|y| = k —> k > 0 cioè C_k = ∅ se k ≤ 0
• |x| = |y| —> e^|x| / e^|y| = k

l.q. y = x - θln k

I^quadr^ante: x = y + θln k; y = x - θln k

II^q. y = θln k - x

• II^q: y = x + θln k

k > 1

k < 1

k = 1

Im(f) = |f(x)/x ∈ ℝ¹|

quale è l’immagine di questa f.ne?

x è un vettore!!

f ≠ ϕ, t > 0 > Im(f) = (0,+∞)

LIMITI IN PIÙ VARIABILI

Def: Sia x₀ un punto di accumulazione per A, diremo che

L = lim f(x) se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / f(x) - L| < ε, ∀ x ∈ A

x → x₀

con 0 < |x-x₀| < δ

OSS: Se L è l’unico limite di

f lungo ∀ ℓ ≠ 0

lim f_γ(t) = L

t → 0

esistenza

γ

con γ(t) = x₀ + t*v

forma parametrica

f(x,y) = x⁴ | (x,y) + (0,0) - D = ℝ² = ℤ{0,0}

x⁴ + y²

esiste il lim(x,y)→(0,0) f(x,y)?

cambiamo la partizione di f ad una generica retta uscente dall’origine:

γ :r(t) = (tv₁,tv₂)

f_γ(t) = -t²v₁v₂ = con v ≠ 0

t⁴(v₁²+v₂²)

il candidato limite è L = 0.

|f(x,y)| - 0| < ε |-x4y2 | < ε

Metodo 1:

x² + y² ≥ 2 |x| |y|, per il quadrato della somma.

|x| |y| / √(x² + y²) ≤ x² + y² / √(x² + y²) - √(x² + y²) ε ||(x,y)|| ⊙

∀ ||(x,y) - (0,0)|| ≤ ε il quoziente limite si nota

∴ La def. di limite è verificata.

Metodo II: coordinate polari

f̂(β, θ) = β^-1 |cos(θ)| - |β |cos(θ)| | cos(1/β)

ε

cos(1/β) = ε;

lim β

Esempio: f(x,y)=^x+y⁄_√x²+y²

(x,y) ≠ (o,o)

diretta nel contesto.

Regole (o manuale) per studiare il limite lungo direzioni variabili:

1. Test sulle rette uscenti da x₀.

   ∀∀∑∈ℝ \{0\}, ⊤ ^lim_t→o f_⊣(t)=L

2. Se il test su ∀ fallisce.
3. Solo L è candidato limite.

Ex 3

f(x,y)=1

^x⁄_y²=

A=f(x,y)∈ ℝ⁴ {x³}

Si annulla su una curva

⇒ limite notevole

Test superficie

r(t)=t (v₁,v₂)

f_r(t)= ^{t2 v₁v₂}⁄_t³v2²-tv2 t≠0

^lim⁄_t→0⁺ f_r(t) ^lim⁄_t→0⁺ t: v₁v₂ = 0 per v₂= 0 e volontariamente uguale a 0

O il calcolato limite e L=0

dimostriamo che il numeratore va a zero + velocimente del denominatore utilizzando una curva = y=x²

y=a