Fni e limiti in più variabili

Funzione di più variabili

f: E ⊆ ℝⁿ → ℝ

E = dominio, luogo dei punti in cui la f.ne è ben definita

E ⊆ ℝⁿ

f(x) ≥ 0, f si dice positiva f(x) < 0, f si dice negativa

Notevole importanza riveste l'analisi dei luoghi su cui dato una retta r nello spazio ℝⁿ e la sua equazione parametrica x(t) = x₀ + t ⋅ ū con t ∈ ℝ x₀ ∈ E

definiamo f_r(t) la restrizione di f alla retta x f_r(t) = f(x₀ + t ⋅ v)

dato un punto P nel ℝⁿ, perpendicolare

ES: f(x, y) = x² - y²

x = x(t) = t ⋅ v₁ y(t) = t ⋅ v₂

f_r(t) = t² [v₁² - v₂²]

Fissati v₁ e v₂, qual è il grafico della f.ne?

una parabola f_r(t)

v₁² > v₂² (|v₁| > |v₂|)

v₁² = v₂² (v₁ = ±v₂)

v₁² < v₂²

C_k = { x | x ∈ ℝ / f(x) = k }

Curva di livello: associato alla fine f: ℝ ⁿ→ ℝ

Curva di livello è il taglio il grafico con piano orizzontale

La sezione è il taglio grafico con piano verticale

Es: ℝ ² f(x,y) = |x| - |y|⟺ |x| - |y| = k

Trovare le curve di livello:

C_k:

C_{x ϵ ℝ}= piano di livello D:

k = costante e semplicità piano

e^|x|

e^|y| = k

|x| - |y| = θuκ

y = x - θuκ

Quadranti: x - y = θuκ y = x - θuκ

|x| ⅅ < 1

Π₄: y = x + θuκ

Π₄: y = θuκ - x

|x| ⅅ < 1

k = -1

Ex₃

f(x, y) = ^x3/_y

A = { (x, y) ∈ ℝ² | x⁴ + x³ }

si annulla su una area → ∃ limiti finito

Test curvette

• r(t) = t (v₁, v₂)

f_t (t) = ^{t2 v₁ v₂}/_{t v2³ = t ^v1/v2}

lim t→0⁺ f_t (t) = lim t→0⁺ t^{. v₁}/_{t² v2} = 0 per v₂ ≠ 0

per v₂ = 0 è volontariamente uguale a 0

0 &exists; cauviato limite e L ≠ 0

dimissione che il numimetore va a zero + bicicliette del denominatore amsando una ciepa x y = x³

y = a(x) x³ cai o dia det

f(x,y) = ^a(x)x4/_{x⁶(1- a(x)x)} = ^-1/

a(x) = ¹/_1-a(x)

a(x) = ¹/_x= ^a(x)/_x

(1 - ²/_x) a(x) = ¹/_x ⇒ a(x) = ¹/_1+x

→ lim oileo minierer anna aucia

&y = ^x3/_1+x x → 0

→ lim x→0 f(x, f(y(x))) = ¹/₁ il limite non esise!!

poete ho imcato