Cinematica
Iniziamo occupandoci della cinematica dei fluidi e partiamo dal moto di un continuo fluido. Consideriamo dunque un sistema di assi cartesiani 1, 2, 3 ed un continuo fluido. Sia un punto del continuo di al tempo 0 e sia ϰ̅ = (1, 2, 3) il vettore posizione corrispondente. Al generico istante il continuo si... spostato ed indichiamo con ̅ = (1, 2, 3) il vettore posizione di . Il moto del fluido tra gli istanti 0 e può essere rappresentato dal sistema di equazioni: ̅ = (̅,) *
Ovvero, abbiamo:
- 1 = 1 (1, 2, 3, )
- 2 = 2 (1, 2, 3, )
- 3 = 3 (1, 2, 3, )
Se fissato ϰ̅ non faccio variare , la (*) descrive la traiettoria della particella che al t0 occupava la posizione ϰ̅. Se invece fissato e lascio variare ϰ̅, sempre la (*) individua la trasformazione della regione ξ occupata del fluido a t0 nella regione ξ occupata da esso all'istante .
Ritornando al moto dei fluidi, sappiamo che per descrivere il moto è possibile utilizzare due tipi di coordinate e dunque due tipi di approcci:
- approccio lagrangiano: sistema di riferimento solidale con il continuo. Si parla anche di descrizione material e … riferimento a coordinate materiali (ϰ̅).
- approccio euleriano: osservatore fisso in un punto. Si parla di descrizione spaziale e fa riferimento a coordinate spaziali (̅).
Questi due approcci sono duali ed interscambiabili. Consideriamo dunque Ƒ come una generica grandezza, funzione dello spazio e del tempo.
Possiamo definire la derivata totale (o materiale) e quella spaziale (o Euleriana)...
Cinematica
Iniziamo occupandoci della cinematica dei fluidi e partiamo dal moto di un continuo fluido.
Consideriamo dunque un sistema di assi cartesiani (X1,X2,X3) ed un continuo fluido.
Sia P un punto del continuo e al tempo t0
Il moto del fluido tra gli istanti t0 e t può essere rappresentato dal sistema di equazioni x = F(X,t) *
Ovvero, abbiamo:
x1 = F1(X1,X2,X3,t)
x2 = F2(X1,X2,X3,t)
x3 = F3(X1,X2,X3,t)
Se fissato X e si lascia variare t, la (*) descrive la traiettoria della particella P che t0 occupava la posizione X
Se invece fissato t e lascia variare X sempre la (*) individua la traiettoriadella regione X occupata dal fluido a t0 nella regione X occupata da esso all'istante t.
Ritornando al moto dei fluidi, sappiamo che per descrivere il moto è possibile utilizzare due tipi di coordinate e dunque due tipi di approcci:
1- approccio lagrangiano: sistema di riferimento solidale con il continuo. Si parla anche di descrizione materiale e fa riferimento a coordinate materiali ( X ).
2- approccio euleriano: osservatore fisso in un punto. Si parla di descrizione spaziale e fa riferimento a coordinate spaziali ( x ).
Questi due approcci sono duali ed interscambiabili.
Consideriamo dunque f come una generica grandezza funzione dello spazio e del tempo.
Possiamo definire la derivata totale ( o materiale ) e quella spaziale ( o euleriana )
In particolare:
- derivata totale: df⁄dt = ∂F(𝒳,t)⁄∂t (*)
- derivata spaziale: ∂F⁄∂t = ∂F(𝒳,t)⁄∂t (*)
Nel caso (*), la derivata è eseguita mantenendo fissa la 𝒳, per cui df⁄dt può essere interpretata come derivata temporale rispetto ad un osservatore solidale con la particella.
Nel caso (**), invece, la derivazione è eseguita mantenendo fissa la 𝒳; dF⁄dt è dunque la derivata temporale rispetto ad un osservatore fisso nella posizione 𝒳
Vediamo dunque come è sempre il principio granolare per un fluido.
La velocità soffrima possiamo infatti come la derivata materiale della posizione rispetto al tempo, ovvero:
- 𝔲 = d𝑓⁄dt
- L'accelerazione è invece la derivata seconda materiale della posizione rispetto al tempo, cioè:
- = d⁄dt
Calcoliamo dunque l'accelerazione:
a(𝒳,t) = d⁄dt + ∂⁄∂t + •∇ +
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