Fluidodinamica ambientale - appunti

Cinematica

Iniziamo occupandoci della cinematica dei fluidi e partiamo dal moto di un continuo fluido.

Consideriamo dunque un sistema di assi cartesiani (X₁, X₂, X₃) ed un continuo fluido.

Sia P₀ un punto del continuo al tempo t₀ e sia X̅ = (X₁, X₂, X₃) il vettore posizione corrispondente.

Al generico istante t il continuo si sarà spostato ed indichiamo con x̅ = (x₁, x₂, x₃) il vettore posizioni di P.

Il moto del fluido tra gli istanti t₀ e t può essere rappresentato dal sistema di equazioni:

x̅ = Φ (X̅, t) - (*) Ovvero, abbiamo:

x₁ = Φ₁ (X₁, X₂, X₃, t) x₂ = Φ₂ (X₁, X₂, X₃, t) x₃ = Φ₃ (X₁, X₂, X₃, t)

Se fissato X̅ si lascia variare t, la (*) descrive la traiettoria della particella P che al tempo t₀ occupava la posizione X̅.

Se invece fissato t e lasciato variare X̅, sempre la (*) individua la trasformazione della regione Ω₀ occupata dal fluido a t₀ nella regione Ω occupata da esso all'istante t.

Ritornando al moto dei fluidi, sappiamo che per descrivere il moto è possibile utilizzare due tipi di coordinate e dunque due tipo di approcci:

• 1 - Approccio lagrangiano: sistema di riferimento solidale con il continuo Si parla anche di descrizione materiale e fa riferimento a coordinate materiali (X).
• 2 - Approccio euleriano: osservatore fissato in un punto Si parla di descrizione spaziale e fa riferimento a coordinate spaziali (x).

Questi due approcci sono duali ed interscambiabili. Consideriamo dunque F come una generica grandezza funzione dello spazio e del tempo.

Possiamo definire la derivata totale (o materiale) o quella spaziale (o euleriana)

In particolare:

• derivata totale ^dF/_dt = ∂F(X,t)/∂t (*)
• derivata spaziale ∂F/∂t = ∂F(r(X,t))/∂t (*)

Nel caso (*) la derivata è eseguita mantenendo fissa la X, per cui dF/dt puo' essere interpretata come derivata temporale rispetto ad un osservatore solidale con la particella.

Nel caso (xs), invece, la derivazione è eseguita mantenendo fissa la r, ∂F/∂t è dunque la derivata temporale rispetto ad un osservatore fisso nella posizione r.

Vediamo dunque il significato più semplice in parole granulose per un fluido.

La velocità v (>v) siamo definiti come la derivata materiale della posizione rispetto al tempo, ovvero: ^dr/_dt = v = dr/dt

L'accelerazione è invece la derivata seconda materiale della posizione rispetto al tempo, cioè: ^dv/_dt = ∂b = ^d2r/_dt²

Calcoliamo dunque l'accelerazione.

^dv/_dt = ∂^dv/_dt + ∂v/∂x ^dr/_dt + ∂v/∂y ^dr/_dt + ∂v/∂z ^dr/_dt

Ricordiamo che ∇ = (^∂/_∂x, ^∂/_∂y, ^∂/_∂z)

Quindi, se a x = ^dv/_dt + ∇ v2^v∇ x

In particolare il termine (- ∇) e' l'accelerazione convettiva, il termine (-1) quella locale.

Le componenti convettiva e fortemente non lineare... È importante fare una considerazione sulla accelerazione convettiva.

Il prodotto v∇^v∇ può essere infatti fatto in due modi diversi:

1. 1.- (1^- (x∇ ^{(∂/_∂x, ∂y/∂y, ∂z/∂z)>∇f∇x (∂}

Posso scriverla in modo migliore come:

dρ/dt + ρ ∇·v + v·∇ρ = 0

dottino (-) è la derivata totale di ρ rispetto al tempo.

Per cui

dρ/dt + ρ ∇·v = 0

Questa equazione può essere semplificata nel caso di ρ costante (nel caso dei fluidi questo è vero).

In tal caso si ottiene,

∇·v = 0 (∇·vi = 0)

Condizioni cinematiche di contorno.

Le condizioni al contorno sono fondamentali.

Questa condizione al contorno è sempre necessaria (in seguito vediamo condizioni al contorno non sempre necessarie).

Consideriamo un’interfaccia (ad esempio la superficie del mare).

L’equazione sulle frontiere è: f (r, t) = 0

Le condizioni cinematiche di contorno sono:

f (x, t) = 0

È una condizione che riguarda la componente normale.

Sviluppando l’equazione, si ottiene df/dt = ∂f/∂t + v·∇f = 0

Sviluppiamo l’equazione e otteniamo d[∂f/∂t + v·∇f = 0

Sviluppiamo che il tratteggio (–) sia le frontiere al tempo t+dt.

Abbiamo che f (x, t) = f (x+ dx, t + dt) = 0

Le particelle del fluido si trovano sulla frontiera, e stanno anche al tempo t+dt.

Dunque, df/dt= ∂f/∂t + ∂f/∂x dx/dt = 0

Indichiamo con V_n la velocità normale della frontiera: V_n = df/dt

Risolvendo ∂f/∂x·V_n = ∂f/∂[∇]

Indichiamo ora con w la velocità normale del fluido v_n.

Risulta w = v · ∇f/∂f

Per cui –(d(

La differenza risultata: V_n = V_n – v · ∇f/∂f

Si ottiene:

[ ∂f/∂t + v · ∇f]/∂f [∇] = 0

La differenza [∂f/∂t + v · ∇f]/∂f = 0

Quindi l’equazione (*) si esprime in punto di vista fisico essenza il fatto che le particelle che si trovano sulla frontiera, si spostano con le frontiere stesse e non ci sono disturbi.

È importante risolvare quello che sono concetti da trattare e da linea di condizioni e famigli di linee importanti.

Dunque il z è legato alla temperatura.

Per i gas ρ_j, dunque, non è costante:

dρ = ρ(∂_zdρ_T - ¹/_cdT).

Esercizio - distribuzione densità e pressione in un gas perfetto

Vediamo ora una applicazione di quanto detto.

Consideriamo l'asse z in direzione verticale, vogliamo calcolare la β(z). Le equazioni da utilizzare sono quelle precedenti semplificate (non le moto in questo caso)

dL = P∇T = 0 @ T = (0 0 0)

Proiettiamo dunque l'equazione (x) in direzione verticale:

-ρg - dp/_dz = 0 =

d_ρ/_dz - ρg (x).

Qui abbiamo due casi distinti.

Nel caso in cui le densità è costante, integrando (ρ = cost):

p = -ρgz + cost.

Nel caso in cui le densità e non costante dell'equazione di stato dei gas

perfetti, abbiamo che ρ = ^Mp/_RT P sostituendo a denominatori: P = ^H/_RT.

Ps = ^PO/_P.

La temperatura e la densità variano dunque in modo esponenziale.

Legami costituitivi (Π) - reologie

Il problema è capire le risposta tensionale del sistema.

Nel caso di fluidi in quiete abbiamo già visto un esempio di legame costituitivo,

ovvero che T = un tensore sferico, dunque T = ρp^H

Le tensioni è sempre ortogonale.

• il più importante lega le velocità di deformazione al tensio delle tensioni.
• La velocità di deformazione produce sforzi tensionale Π = f(D).
• f = isotropo (non dipende esplicitamente dello direzioni)
• f = omogeneo (non dipende esplicitamente dello spazio)
• D = 0 ⟹ Π = P I
• f = lineare in D