Esercizio esame Teoria e Politica Monetaria

Teoria e politica monetaria

Esercizio: funzione di perdita con disturbo stocastico

Si considerino le seguenti funzioni di perdita della banca centrale (1) e curva di Philips dell’economia (2):

(1) \( L = [\pi + (y - y^{\circ})^2] \), con \( \lambda > 0 \), \( \theta > 1 \)

(2) \( \pi = \pi^{\circ} + \theta(y - y^{\circ} + u) \), con \(\theta > 0\)

dove \( u \) è una variabile aleatoria a media nulla e varianza costante e pari a \( \sigma^2 \), \( \pi \) è il tasso di inflazione, \( y \) il livello di output e \( y^{\circ} \) l’output potenziale.

• Si ricavino l’inflazione ed il livello di output di equilibrio corrispondenti ad una soluzione discrezionale del gioco strategico statico tra banca centrale e settore privato, ricordando che la variabile decisionale di quest’ultimo è rappresentata dalle aspettative di inflazione (\( \pi^e \)).
• Qual è il valore della funzione di perdita?
• Si calcoli il valore della funzione di perdita in caso di adozione di una regola fissa perfettamente creduta dal settore privato.
• Si calcoli ora il valore della “Tentazione”, vale a dire l’incentivo a deviare dalla regola fissa annunciata e creduta, e della “Punizione” di breve periodo, cioè il costo in termini di perdita di benessere nel periodo immediatamente successivo alla deviazione della regola.

\( \Delta L = [\pi^2 + 2(\pi^{\circ} + y + u - y^{\circ} - \lambda y^{\circ})] \)

\( 2\pi + y = y^{\circ} - \pi^{\circ} - u + \lambda y^{\circ} \)

\( (2\pi + y)(\pi^{\circ} = y + \lambda(y^{\circ} - 1) - \pi \)

Funzione di reazione:

\( 2\pi + y + u + 2\lambda y^{\circ}(\theta - 1) = \pi + 2 \)

\( 2\pi + y + 2\lambda y^{\circ}(\theta - 1) - \pi = 2 \)

\( 2\pi + y + 2\lambda y^{\circ}(\theta - 1)(1 - \pi) = 2 \)

\( 2\pi + y + \lambda y^{\circ}(\theta - 1) (\pi) = \)

\( 2\pi + y + 2\lambda y^{\circ}(\theta - 1) + u = \pi^* \)

\( 2(\pi + y) + \lambda y^{\circ}(\theta - 1) = \)